Численные методы

1) половинного  деления;

2) хорд;

3) Ньютона;

4) простой итерации.

На каждой итерации в одну строку напечатать  и ответить на контрольные вопросы.

 

Таблица 1.1

1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24
13		25

 

1.3 Контрольные вопросы

 

1. Какие уравнения называются трансцендентными?

2. Какие вычислительные процессы считаются итерационными?

3. Для чего нужен первый этап - отделение корней?

4. Сформулируйте условия существования решения уравнения. Являются ли эти требования необходимыми и достаточными?

5. Почему монотонность функции является необходимым условием единственности для решения уравнения ?

6. Что такое точность вычисления корня уравнения?

7. Можно ли использовать вышеприведенные программы для решения других уравнений?

8. Какие точные методы решения нелинейных уравнений вы знаете?

9. Что можно сказать о точности методов половинного деления, хорд, касательных и комбинированного? По каким параметрам их еще можно сравнить?

 

 

2 Лабораторная работа  № 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений

 

Цель работы: научить студентов решать систему n - линейных алгебраических уравнений, к которым часто приводятся математические модели инженерных задач.

 

 

 

2.1 Теоретические сведения

 

Многие практические задачи механики, электротехники, автоматизированного управления и других часто приводят к системе линейных алгебраических уравнений, и решение её рассматривают как важное прикладное значение при разрешении различных проблем науки и техники. Общий вид такой системы может быть представлен так

                                                          (2.1)

где заданные коэффициенты и свободные члены системы уравнений, неизвестные величины, значения которых должны быть определены,

В настоящее время хорошо разработан арсенал численных методов решения линейных алгебраических уравнений на ЭВМ. Многообразие численных методов решения линейных алгебраических систем можно разделить на прямые (точные) и итерационные.

Примером прямого метода является метод Гаусса, метод Крамера, метод квадратного корня и другие.

К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод  Зейделя, метод релаксации, градиентные  методы и их модификации.

 

2.1.1 Алгоритм метода Гаусса

 

Компактная  схема Гаусса. Компактная схема Гаусса дает экономный способ записи. Рассмотрим порядок составления схемы для системы (2.1). Все результаты вычислений будем записывать в одну таблицу 2.1.

Таблица 2.1

	i				Свободные члены
I	1
	2
	3
		1
II	2
	3
			1
III	4
IV				1
			1
		1

 

Порядок заполнения таблицы.

 

Прямой ход.

1) Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырёх столбцах раздела I таблицы 2.1.

2) Суммируем все коэффициенты  по строке и записываем сумму  в столбце ∑ (столбец контроля), например,

3) Делим все числа, стоящие  в первой строке, на  и результаты записываем в четвертой строке раздела I.

4) Вычисляем и делаем проверку. Если вычисления ведутся с постоянным числом знаков после запятой, то числа и не должны отличаться более чем на единицу последнего разряда. В противном случае следует проверить действия пункта 3).

5) По формулам  вычисляем коэффициенты (i=2,3; j=2,3,4).

6) Делаем проверку. Сумма элементов  каждой строки  не должна отличаться от более чем на единицу последнего разряда. Результаты записываем в первые три строки раздела II.

7) Делим все элементы первой  строки раздела II на и результаты записываем в третьей строке раздела II.

8) Повторяем п. 5)-7).

Обратный ход.

9) Вычисляем 

10) Для вычисления значений  используются лишь строки разделов I, II, содержащие единицы (отмеченные строки), начиная с последней.

 

11) Вычисляем  для чего используем элементы отмеченной строки раздела I:

 

 

2.1.2 Итерационные методы Якоби и Зейделя

 

В методе Якоби итерации определяются следующим образом:

 

где

Начальные значения задаются произвольно. Окончание итераций определяется либо заданием максимального числа итераций , либо условием

 

где— заданное число.

Итерационный метод Зейделя  имеет вид 

 

                                                                            (2.3)

Чтобы понять, как находятся отсюда значения , i=1,2…,n запишем подробнее первые два уравнения системы (2.4):

 

 

 

Условием сходимости итерационного  процесса для систем линейных уравнений  будет достаточно выполнения одного из следующих условий:

а)  в пространстве с метрикой

 

т.е. максимальная из сумм модулей  коэффициентов при неизвестных  в правой части системы (2.1), взятых по строкам, должна быть меньше единицы;

б)  в пространстве с метрикой

 

т.е. максимальная из сумм модулей  коэффициентов при неизвестных  в правой части системы (2.1), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы;

в)  в пространстве с метрикой

 

т.е. сумма квадратов всех коэффициентов  при неизвестных в правой части  системы (2.1) должна быть меньше единицы.

 

 

Пример 1. Решить систему

 

Методом простой итерации с точностью 

Решение. Для обеспечения условия сходимости нужно получить систему вида (2.6) из системы (2.1) так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части системы были существенно меньше единицы. Систему (2.1) с помощью равносильных преобразований надо привести к системе, у которой абсолютные величины коэффициентов, стоящих на главной диагонали, были больше абсолютных величин каждого из других коэффициентов при неизвестных в соответствующих уравнениях. Для этого первым уравнением возьмем второе, третьим- первое, а вторым – сумму первого с третьим:

 

Разделим теперь каждое уравнение  на его диагональный коэффициент  и выразим из каждого уравнения  диагональное неизвестное:

,

Теперь необходимо проверить одно из условий сходимости (2.6)-(2.8). Не выполнение одного из условий еще не означает, что метод итераций применить нельзя. Установим условие сходимости в пространстве с евклидовой метрикой Имеем:

 

 

 

Итерационный процесс в евклидовом пространстве сходится, причем коэффициент  сжатия За начальное приближение можно взять точку (0;0;0).

 

Пример 2. Решить вышеприведенную систему методом Зейделя с точностью

Решение. Преимущество метода Зейделя перед методом простой итераций состоит в быстрой сходимости. Расчетные формулы итерационного процесса Зейделя будут иметь такой вид:

 

За начальное приближение можно  взять столбец свободных членов      

(-0,8;-5,7;-1,2).

 

2.2  Индивидуальные задания

 

Цель работы: решить систему линейных уравнений (см. таблицу 2.1) двумя способами, используя один из методов прямых и метода итерации:

1) метода Гаусса;                 2) метода Якоби;

3) метода Зейделя.

При применении итерационных методов преобразуйте систему к приведенному виду с выполнением условия сходимости итерационной последовательности.  Взяв в качестве начального приближения вектор свободных членов приведенной системы, найдите вручную первое приближение, затем определите его абсолютную погрешность и проверьте условие окончания итерационного процесса.

Таблица 2.1

№ варианта	Матрица коэффициентов системы  А				Столбец свободных членов
I	II				III
1	13.14 -2.12 1.17	-2.12 6.3 -2.45	1.17 -2.45 4.6		1.27 2.13 3.14
2	7.31 0.42 0.54 0.66	0.42 -6.30 0.22 0.24	0.54 0.22 5.20 0.31	0.66 0.24 0.31 4.17	0.3 0.5 0.7 0.9
3	24.21 2.31 3.58	2.31 31.49 1.52	3.58 1.52 28.72		30.24 40.95 42.81
4	4.31 0.26 0.61 0.27	0.26 2.32 0.18 0.34	0.61 0.18 3.20 0.31	0.27 0.34 0.31 5.17	1.02 1.00 1.34 1.27
5	2.0 -0.45 1.6	-0.45 5 -2	1.6 -2 10		-3 1 0
6	10 2 1	2 10 3	1 3 10		12 13 14
7	5.1 1.5 1.0	1.5 8.5 0.5	1.0 0.5 10		10.83 9.20 17.20
8	3.1 1.5 1.0	1.5 2.5 0.5	1.0 0.5 10		10.83 9.20 17.20
9	-4.12 0.42 1.34 0.88	0.42 3.95 0.87 0.43	1.34 1.87 3.20 0.31	0.88 0.43 0.31 5.17	11.17 0.115 9.909 9.349
10	3.65 -2.27 0.18	-2.27 5.37 0.46	0.18 -0.46 2.16		2.25 0.93 1.33
11	3.23 0.42 1.24 0.88	0.42 4.06 0.87 0.43	1.24 1.87 4.30 0.35	0.88 0.43 0.35 6.28	1.17 0.11 7.90 8.34
12	7.6 05 -1.3	0.5 9.1 0.2	-1.3 0.2 5.8		1.9 9.7 -1.4
13	8.7 -2.2 -1.1 -0.7	-2.2 10 2.3 -0.7	-1.1 2.3 -5.1 2.8	-0.7 -0.7 2.8 7.9	1.1 -3.3 8.5 -1.7
14	2.23 -0.71 0.65	-0.71 -5.37 -1.46	0.65 -1.46 2.16		1.25 0.93 -0.87
15	5.23 0.14 0.30 0.40	0.14 7.32 0.22 0.24	0.30 0.22 -9.20 0.31	0.40 0.24 0.31 -4.17	1.02 1.00 1.34 1.27
16	5.8 0.3 -0.2	0.3 4.0 -0.7	-0.2 -0.7 -6.7		3.1 -1.7 1.1
17	3.88 3 2.67	3.78 2.79 2.37	3.45 2.39 1.96		10.41 8.36 7.62
18	2.53 3.95 2.78	2.36 4.11 2.43	1.98 3.66 1.94		12.66 21.97 13.93
19	2.69 2.73 2.93	2.47 2.39 2.52	2.07 1.92 2.02		19.37 19.43 20.80
20	4.07 2.84 4.99	3.79 2.44 4.50	3.37 1.95 3.97		40.77 27.68 49.37
21	3.19 4.43 3.40	2.89 4.02 2.92	1.48 3.53 2.40		33.91 47.21 32.92
22	2.95 5.11 4.38	2.58 4.62 3.82	2.16 4.14 3.30		44.16 46.68 65.34
23	2.93 3.47 4.78	2.55 2.98 4.22	2.14 2.50 3.70		46.41 54.78 75.81
24	3.74 4.02 4.18	3.36 3.51 3.61	2.94 3.04 3.09		63.26 67.51 70.03

 

2.3 Контрольные вопросы

 

1. Какое условие является условием существования   единственного решения системы линейных алгебраических уравнений (2.1)?

2. Что такое прямые и итерационные методы?

3. От чего зависит точность данного метода ?

4. Назовите известные вам методы решения СЛАУ.

5. Чем точные методы отличаются от приближенных?

6.Что такое прямой и обратный ход в методе Гаусса?

7. Сравните достоинства и недостатки точных и приближенных методов.

8. Что такое матрица Якоби?

9. Исходная СЛАУ решается независимо двумя методами – методом Якоби, методом Зейделя. Будут ли равны значения:

а)  начального приближения (нулевой  итерации);

б)  первой итерации?

 

3 Лабораторная работа № 3. Интерполирование и приближение функций

 

Цель работы: изучение методов математико-статистической и компьютерной обработки результатов экспериментов, испытаний и статистических наблюдений, т.е. по значениям функции в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках данного отрезка.

 

1. Теоретические сведения

 

Для установления закономерностей  при изучении многих природных явлений  проводятся эксперименты или осуществляют сбор статистических данных об объекте  исследования.

Пусть функциональная зависимость задана таблицей 3.1.

 

Таблица 3.1

 

Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен степени не выше n, значения которого в точках                            совпадают со значениями данной функции, то есть .

Геометрически это означает, что  нужно найти алгебраическую кривую вида

 

проходящую через заданную систему  точек  (см. рисунок 3.1). Многочлен называется интерполяционным многочленом. Точки называются узлами интерполяции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.1 - Интерполирование алгебраическим многочленом

 

 

3.1.1  Интерполяционный многочлен Лангранжа

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа:

 

 

При n=1 мы имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:

 

При n=2, получим уравнение параболы , проходящей через три точки: