Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Апреля 2014 в 04:02, методичка
На сегодняшний момент проблема управления и оценка рисков в коммерческой деятельности занимает ведущее значение практически во всех разделах теории и практики внутрифирменного управления, планирования и контроля, а выбор оптимального соотношения риска и уровня деловой активности, доходности и надежности, основанный на анализе роли и места риска, составляет значительную часть содержания процесса принятия и реализации хозяйственных решений.
В табл. 2.3. для каждой альтернативы представлены значения функции выбора для склонного к риску ЛПР. Наилучшей следует выбрать альтернативу А4 (60,90), поскольку она обладает наибольшим значением такой функции. Такой выбор объясняется тем, что данная альтернатива имеет наибольшую величину риска, которая позволяет при отклонении дохода в благоприятную сторону получить наибольший положительный конечный результат. Такое сочетание доходов и рисков устраивает склонного к риску ЛПР, конкретизировавшего свое отношение к риску через соответствующий индивидуальный коэффициент .
Необходимо отметить, что при изменении единиц измерения корректируются и значения соответствующих коэффициентов, определяющих окончательный вид функций выбора. В примере 2.1. при измерении доходов не в тыс. руб., а в руб. имеем, в частности, ks = (m4 – m3) / (σ42 – σ32 )= (60000 – 40000) / (900002 – 700002 )=0,00000625. Таким образом учитывается переход к другим единицам измерения.
Для более глубокого понимания проблемы сравнения альтернатив в условиях риска удобно представить их как набор точек в двухмерном декартовом пространстве. При этом каждой альтернативе с известными ее параметрами математическим ожиданием дохода (m) и среднеквадратическим отклонением дохода (σ) соответствует точка с координатами (m,σ) в указанном пространстве (далее пространство «Доход -риск»).
Предположим, имеются три альтернативы A1 (m1,σ1), A2 (m2,σ2), A3 (m3,σ3), которые графически в пространстве «Доход - риск» представлены на рис 2.1 (при допущении m3<m1<m2 и σ1<σ2<σ3). Для сравнения данных альтернатив необходимо формализовать отношение ЛПР к риску при помощи аппарата линий уровня, суть которого раскрыта ниже.
Как видно на рис. 2.1., при нейтральном отношении к риску наиболее предпочтительной для ЛПР является альтернатива A2 (m2,σ2) как имеющая наибольшее значение среднеожидаемого дохода.
Допустим, отношение ЛПР к риску осторожное. В таком случае функция выбора имеет вид fs(m, σ) = m – ks·σ2 и необходимо определить соответствующий коэффициент осторожности (ks). Для этого ЛПР указывает некоторую альтернативу A1* (mа,σа), эквивалентную A1 (m1,σ1) (см. рис. 2.2.). Отсюда получаем:
ks = (m1 – mа) / (σ12 – σа2 ).
Зафиксировав значение функции fs(m,σ) при заданном ks, можно получить множество точек, представляющих в пространстве «Доход – Риск» эквивалентные друг другу альтернативы. Действительно, полагая:
fs(m1, σ1) = m1 – ks·σ12= K1 => mi = K1+ ks·σi2,
где (mi, σi) координаты i-той точки, представляющей эквивалентную A1 альтернативу. Перебирая значения σi с заданным шагом (пусть, например, σ0=0, σ1=1 и т.д.) получаем достаточное количество значений mi, необходимых для построения кривой, отражающей множество альтернатив, эквивалентных A1 (m1,σ1). Такая кривая представлена на рис. 2.2. Заметим, что при σi = 0 получаем:
σ0 = 0 => m0 = K1+ ks·σ02 = K1+ ks·02 = K1 => K1= m0
Таким образом, удобно идентифицировать такую кривую как линию уровня K1, причем K1 = m0. Форма кривой предопределена функцией m = K1+ ks·σ2 как m = f(σ), при положительных K1 и ks это парабола с ветвями вверх. При этом точка A1* (m0,0) отражает «безрисковую» альтернативу, поскольку величина риска в этой точке нулевая.
Под линией уровня K понимается геометрическое место точек в пространстве «Доход – Риск», эквивалентных определенной «безрисковой» альтернативе с заданным значением дохода (K = m0). При построении соответствующего семейства линий уровня, форма которых характеризует отношение к риску, сравнение альтернатив происходит удобнее и очевиднее на основе аппарата линий уровня.
Построение линии уровня, проходящей через точку A1***(mc,σ1) требует построения функции m = K1а+ ks·σ2, где K1а= mс – ks·σ12. Таким образом, удобно получить все необходимые кривые любых уровней от 0 до наивысшего.
На рис. 2.3 видно, что на линии уровня m0 расположены точки A1*(m0,0), A1*(mа,σа), A1*(mb,σb), эквивалентные исходной точке A1(m1,σ1). При этом для ЛПР наиболее предпочтительными являются точки, лежащие на более высоких линиях уровня, на которых расположены точки, представляющие альтернативы с бóльшими значениями функции выбора.
При выраженном отношении к риску на рис. 2.3 также видно, что при фиксированном σ1 любая точка ниже A1(m1,σ1) является менее предпочтительной для ЛПР и, соответственно, любая точка, расположенная выше, будет более предпочтительной, поскольку лежит на линии более высокого уровня. В частности, точка A1**(m0,σ1) однозначно менее предпочтительна, чем A1(m1,σ1), поскольку лежит на линии уровня 0. Точка A1***(mc,σ1) более предпочтительна для ЛПР, чем A1(m1,σ1), так как лежит на линии уровня m1> m0.
Очевидно также, что все точки, лежащие на прямой m = m0 на рис. 2.3 будут заведомо менее предпочтительны, чем «безрисковая» A1* (m0,0), поскольку будут иметь ненулевой риск при сохранении среднеожидаемого дохода на прежнем уровне. Для того, чтобы достичь эквивалентности с «безрисковой» альтернативой, для каждой точки прямой m = m0 необходимо такое увеличение среднеожидаемого дохода альтернативы, которое бы компенсировало принимаемый риск. В частности, для точки A1** (m0,σ1) потребуется увеличение среднеожидаемого дохода на величину m1 – m0, чтобы стать эквивалентной точке A1* (m0,0) при заданном отношении к риску.
Вернемся к задаче сравнения трех альтернатив A1 (m1,σ1), A2 (m2,σ2), A3 (m3,σ3). Зная выраженное отношение к риску , в пространстве «Доход – Риск» графически определяемое функцией m = K+ ks·σ2 при ks = (m1 – mа) / (σ12 – σа2) (см. рис. 2.2.), построим эти кривые через интересующие нас точки. Полагаем, что для точки A1 (m1,σ1) K = K1= m1 – ks·σ12= m0, для точки A2 (m2,σ2) K = K2= m2 – ks·σ22= m2а, для точки A3 (m3,σ3) K = K3= m3 – ks·σ32= m3а.
Таким образом, из рис. 2.4 следует, что на основе аппарате линий уровня при осторожном отношении ЛПР к риску с коэффициентом индивидуальной осторожности ks наиболее предпочтительной является точка A2 (m2,σ2) как лежащая на линии уровня m2а> m0 > m3а.
При склонности к риску функция выбора имеет вид fs(m, σ) = m + kr·σ2, что определяет и форму соответствующих линий уровня m = K – kr·σ2. При этом, если, допустим, ЛПР сочтет альтернативы A2 (m2,σ2) и A3 (m3,σ3) эквивалентными, то представляющие их точки будут лежать на одной линии уровня m1b, как показано на рис. 2.5.
При этом, как видно на рис.2.5., наиболее предпочтительной окажется точка A2 (m2,σ2) как лежащая на наивысшей линии уровня. Однако, рассуждения в общем виде дают лишь общую схему решения задачи выбора наилучшей альтернативы при заданном отношении к риску, определяющем форму линий уровня. В каждом случае решения и их точные графические представления зависят от конкретных значений параметров рассматриваемых альтернатив.
Пример 2.2 В условиях примера 2.1. требуется выбрать наилучшую среди семи альтернатив с использованием аппарата линий уровня.
Представим на рис. 2.6. рассматриваемые альтернативы А1(40,50), А2(50,40), А3(40,70), А4(60,90), А5(50,60), А6(30,30), А7 (40,20) в пространстве «Доход – Риск».
Как с очевидностью следует из рис 2.6., при нейтральном отношении к риску наилучшей является альтернатива А4(60,90), поскольку имеет наибольшее значение среднеожидаемого дохода.
При осторожном отношении к риску, как известно из примера 2.1., ЛПР счел эквивалентными А3 (40,70) и А4 (60,90), при этом коэффициент индивидуальной осторожности составил ks=0,00625. Соответственно, была получена функция выбора fs(m, σ) = m –0,00625·σ2.
Построим линию уровня, на которой будут лежать точки А3 (40,70) и А4 (60,90) как эквивалентные друг другу. Найдем значения K3 и K4:
fs(m3, σ3) = fs(m3, σ3) => K3= 40 –0,00625·702= K4= 60–0,00625·902=9,375
Искомая кривая описывается функцией m = 9,375+ 0,00625·σ2. Зная значения функций выбора из табл. 2.2., которые совпадают со значениями уровней линий, проходящих через остальные точки, легко построить семейство линий уровня при осторожном отношении к риску данного ЛПР. Имея fs(m1, σ1)= 24,375; fs(m2, σ2)= 40; fs(m5, σ5)= 27,5; fs(m6, σ6)= 24,375; fs(m7, σ7)= 37,5; получаем функции: m = 24,375 + 0,00625·σ2; m = 40 + 0,00625·σ2; m = 27,5 + 0,00625·σ2; m = 24,375 + 0,00625·σ2; m = 37,5 + 0,00625·σ2. Линии уровня, построенные с использованием этих функций, представлены на рис. 2.7.
Как видно на рис.2.7., наилучшей при таком отношении к риску является альтернатива А2(50,40) как лежащая на наивысшей из построенных линии уровня 40.
При склонности к риску на основании мнения ЛПР в примере 2.1. А2 (50,40) и А3 (40,70) признаны эквивалентными, склонность к риску определена соответствующим коэффициентом kr=0,00303. Функция выбора при этом найдена как fr(m, σ) = m +0,00303·σ2. Линии уровня описываются функцией вида m = К- 0,00303·σ2
Аналогично построим линии уровня для всех рассматриваемых точек на основе значений функций выбора в табл. 2.3. при склонности к риску данного ЛПР. Имея fs(m1, σ1)= 47,576; fs(m2, σ2)= fs(m3, σ3)= 54,848; fs(m4, σ4)= 84,545; fs(m5, σ5)= 60,909; fs(m6, σ6)= 32,727; fs(m7, σ7)= 41,212; получаем функции: m = 47,576 - 0,00303·σ2; m = 54,848 - 0,00303·σ2; m = 54,848 - 0,00303·σ2; m = 84,545 - 0,00303·σ2; m = 60,909 - 0,00303·σ2; m = 32,727 - 0,00303·σ2; m = 41,212 - 0,00303·σ2. Линии уровня, построенные с использованием этих функций, представлены на рис. 2.8.
Как следует из рис.2.8., наиболее предпочтительной для ЛПР при такой склонности к риску является альтернатива А4(60,90), поскольку она принадлежит наивысшей из построенных линии уровня 84,545.
Графическое представление альтернатив в пространстве «Доход – Риск» имеет существенные преимущества для ЛПР. Во-первых, линия определенного уровня ясно показывает геометрическое месторасположение всех теоретически допустимых альтернатив, эквивалентных заданной. Это позволяет более широко оценивать ситуацию, принимая во внимание возможные варианты любого решения при различных сочетаниях доходов потерь при сохранении их эквивалентности при заданном отношении к риску. Во-вторых, каждой альтернативе наглядно поставлен в соответствие ее безрисковый эквивалент, что позволяет оценивать снижение ожидаемого дохода при сведении принимаемых рисков к нулю.
Как правило, на практике ЛПР имеет дело не с набором альтернатив, для которых уже известны их параметры, а с постановкой задачи в условиях риска, заданной на содержательном уровне и нуждающейся в формализации. При этом требуется формализовать не только сами альтернативы, но и различные сочетания доходов и потерь при реализации определенных случайных событий, не зависящих от ЛПР. Иными словами, содержание задачи включает в себя структуру взаимосвязанных между собой альтернатив и последующих случайных событий, которую необходимо описать формально для нахождения наилучшего решения при заданном отношении ЛПР к риску.
Такая формализация и структуризация задачи и поиск наиболее предпочтительной для ЛПР альтернативы с учетом его отношения к риску может быть реализовано на основе метода дерева решений. Данный метод позволяет синтезировать имеющиеся альтернативы и случайные события с учетом их параметров и представить их структуру в виде графа специального вида, называемого деревом решений (то есть граф без циклов). Развернутая графически и конкретизированная численными значениями параметров структура задачи позволяет использовать критерии выбора наилучшей альтернативы, соответствующие выраженному ЛПР отношению к риску, с использованием процедур свертки и блокировки.
Процедура построения дерева решений на основе постановки задачи на содержательном уровне требует разграничения доступных ЛПР альтернатив и предполагаемых случайных событий, сопутствующих каждой из них в процессе развития рассматриваемой ситуации. Альтернативы зависят от ЛПР и должны быть ясно сформулированы как на содержательном уровне, так и формально с указанием параметров и конкретных изменений их значений при выборе той или иной альтернативы. Случайные события не зависят от ЛПР и должны быть сформулированы как полная группа событий с известными вероятностями их наступления.
Граф состоит из вершин и соединяющих их ребер и построен таким образом, что от его начальной вершины существует набор цепей соединений, каждая из которых характеризует определенную траекторию развития рассматриваемого процесса, приводящую к концевой вершине, которая отражает экономический результат такой траектории. Различают вершины прямоугольного и круглого типов.
Вершина прямоугольного типа отражает необходимость выбора непосредственно самим ЛПР из некоторого класса альтернатив (например, выбор транспорта). Ребра, исходящие из такой вершины, отражают возможности такого выбора в виде определенных альтернатив (например, морской транспорт и т.д.). При этом альтернативы могут быть представлены с указанием конкретных значений параметров, значимых для расчетов при реализации такой траектории развития процесса.