Особливості протікання газів в капілярах

 

Для  максвелівських  молекул  виникає  трудність,  яка  зв’язана  з  тим,  що  молекули  взаємодіють  на  скільки  завгодно  великій  відстані  одна  від  одної.  Тому  приходиться  обмежувати  радіус  взаємодії  молекул,  відкидаючи  зіткнення,  які  приводять  до  відхилень,  меншим  деякого  малого  кута.

    

                                                                                                               мал.  13

     За  функцію   розподілу  приймався  розподіл,  який  відповідає  свободномолекулярній  течії.  Якщо  враховувати  неминучі  флуктуації,  які  властиві  методу  статистичних  випробувань  і  спадаючи  обернено  пропорційно  корню  з  числа  випробувань,  то  можна  вважати,  що  ітерації  сходяться.  Для  отримання  більш  певних  результатів  необхідно  зменшити  статистичне  розкидання.  Але  для  зменшення  флуктуацій  на  порядок  потрібно  збільшити  число  розіграшів  на  два  порядки.  Однак  для  цього  необхідно  збільшити  на  два  порядки  час  рахунку.  Для  порівняння  на  мал.  13  нанесені  результати  розрахунків  за  допомогою  описаного  вище  методу  моментів  для  нелінійного  рівняння  Больцмана  при  двохсторонній  максвелівській  апроксимуючий  функції  і  для  лінійного  рівняння  при  апроксимуючий  функції  з  вісьмома  функціями

Як  видно  з  цього  рівняння,  монте - карлівські  дані  дещо  ближчі  до  розв’язку  лінійного рівняння  з більш детальною функцією  розподілу,  ніж  до  розв’язку  нелінійного рівняння  з більш грубою  двохсторонньою  максвелівською  функцією.  Можливо,  що  в розглядуваному  випадку при Т^-/Т⁺ = 4  вплив нелінійних  ефектів ще  не  стільки велике,  так що  вирішальним виявляється вибір апроксимуючої функції.

 

3.Течія  Пуазеля.

  Парадокс  Кнудсена.

 

     Розглянемо  течію  між  двома  нескінечними  паралельними  нерухомими  пластинками.  (див. мал.  14).

 

                     

 

                                                                                                          мал.  14

     Нехай   температура  пластинок  постійна  і  рівна  Т .  Припустимо,  що  течія відбувається  під дією  малого  градієнта тиску і що  стінки  відображають  молекули  по  максвелівському закону  з температурою,  яка дорівнює  температурі стінки  (тобто що  коефіцієнт  акомодації  а_е=1).

     Течію   будемо  описувати  модельним   рівнянням,  яке  для  задачі  яка  розглядається  приймає  вигляд

                                               (1)

На  стінках  при  зроблених  припущеннях 

                       (2)

Будемо  шукати  рішення  рівняння  (1)  в  наступному  виді:

                           (3)

де  -  мала  добавка і   -  постійна.

     Підставляючи  (3)  в  рівняння  (1)  після   лінеаризації  отримаємо

                             (4)

Тут  введені  такі  позначення

υ ,  х₁=х/d,  z₁=z/d,  u₁=u_z ,  a=An₀d ,  T=T_ω(1+τ),  n=n₀(1+ν),  ν= υ,  τ= ν,  u_z=                (5)

Тиск  можна  представити  у  вигляді

p=p₀(1-Kz)                                                                          (6)

де  p₀=kT_ωn₀

Величина  K p₀  = -  це  градієнт  тиску.

З  іншої  сторони

                                    (7)

Звідсіля  видно,  що  функція  φ  повинна  мати  вигляд

                                               (8)

Після  підстановки  рішення  (8)  в  рівняння  (4)  воно  приймає  вигляд

                                          (9)

де 

на  стінках  (х₁= 1/2)  згідно

,                         (10)

Так  як  ні  в  рівнянні  (9),  ні  в  граничній  умові  (10)  немає  z,  то    не  залежить  від z.  Тоді  рівняння  (9)  можна записати  у  вигляді

                                                   (11)

Запишемо  це  рівняння  в  інтегральній  формі:

                            (12)

Помноживши  на    і інтегруючи  по  ,  отримаємо

                        (13)

Функція  J_-1(a|x₁-s|)  має логарифмічну  особливість при s=x₁.  Тому  в грубому наближені правої  частини рівняння  (13)  можна u₁(s)  замінити  на  u₁(x₁). Тоді  враховуючи,  що 

Без  труднощів  отримаємо

                          (14)

Функція  J₀(x)  має  наступні  асимптотичні  властивості

    при  х 0

і

         при   х .

     Згідно  грубому  приближенню  (14)  швидкість  u₁  наближається  до  безкінечності як  при   (тобто ),  так і при   (тобто при ).  Таким чином,  швидкість мінімальна  при деякому значенні  а.  Аналогічно  веде  себе  і об’ємна витрата

(швидкість  вимірюється   в  одиницях  теплової  швидкості   молекул   ).

     Мінімальна  розтрата  при  деякому  тиску  (при  0<a<∞)  отримується  і  з  численного  рішення  рівняння  (13).  Це  явище  вперше  знайдено  експериментально  і  відомо  як  парадокс  Кнудсена.  На  мал.  15  приведено  зміни  величини  2Q/Kd²  по  а,  а на  мал.  16  дані  профілі швидкостей,  отримані  по  формулі (14).

                                                                                                              Мал.  15

     При   великих  тисках  (при  a>>1)  справедливо рішення Пуазеля,  згідно  якому витрата  зростає  пропорційно  тиску:

                                                                                                        мал.  16

При  малих  тисках  Кнудсен  виявив  логарифмічний ріст  витрати з зменшенням  тиску.

     Якісно  ті  ж  результати  дає   рішення  рівняння  (13).  Кількісне   порівняння  затруднено,  так   як  досліди  Кнудсена  проведені   в  круглих  трубах,  в   той  час  як  приведене   рішення  відноситься до  плоскої конфігурації.  Більш того,  для розглянутої виродженої  геометрії витрата прямує  до  безкінечності при ,  в той час як  в трубі з обмеженою площею  поперечного перерізу  в свободномолекулярній  межі  витрата  залишається  кінцевою.  Тому  навіть  для дуже  вузької щілини  при   величина  витрати буде  відходити від отриманого  вище  рішення,  прямуючи  до  кінцевої  свободномолекулярної  межі. 

 

\/. Проблема  статистичних  структур.

 

1. Введення.

 

     Під   статистичними  структурами   будемо  розуміти,  просторово  – обмежені  скупчення  частинок,  які  утримуються  в  умовах  статистичної  рівноваги  внутрішніми   або  зовнішніми  силами  без   участі  стінок.

     Ми  знаємо,  що  розподіл  Максвела – Больцмана  і  Гібса  не  приводить  до  подібних  виникнень,  так  як  пропонують  посудину,  в  якій  повинна  бути  поміщене  розглядуване  скупчення  частинок.  Без  посудини  рій  частинок  в умовах  стаціонарності  заповняє  увесь простір незалежно від сил взаємодії між частинками,  лише  б тільки  вони  спадали з збільшенням відстані  між частинками,  по  крайній мірі  починаючи з деякої  відстані.  Оскільки  існують скупчення частинок  в умовах,  які характеризуються  статистичним  розподілом  швидкостей,  і просторово – обмежені,  не  дивлячись на  відсутність стінок,  то  виникає задача  аналізу таких структур.

     Покладемо   в  основу  описання  властивостей  гравітуючих  частинок  шестимірні  функції  розподілу.  Будемо  вважати,  що  гравітаційне  поле  має  статистичну  природу  в  тому  ж  смислі,  як  це  було  для  електродинамічно  взаємодіючих  частинок.  Маємо

∆

,                 

де  форма  з  мимовільною  енергією  взаємодії  між  парою  частинок  K(|r-r’|)  зручна  для аналізу випадків  відхилення  від ньютонівського  гравітаційного  закону  сил.

 

2. Стаціонарний  стан  як  задача

на  власні  значення  нелінійних  рівнянь.

 

Не  дивлячись  на  відсутність  в  рівняннях  стохастичного  механізму,  вони  мають в стаціонарному стані   точні розв’язки   у вигляді максвелівської  функції розподілу.  Саме,  функції  з  розділяючими  змінними  по  координатам  і  швидкостям

приводять  до  максвелівського  розподілу  як  до  єдиного  рішення  такого  типу.  Наведений  підхід  до  отримання  стаціонарних  розподілів  диктується  взаємовідношенням  між  механікою  і  статистикою.  Механіка  точок  і  стаціонарна  статистика  отримуються  лише  як  частинні  рішення  відповідно  різними  фізичними  постановками  задач.  Виділення стаціонарних  розподілів  на  шляху відмови від задачі  Коші запобігає  топологічним  труднощам  на  загальному  шляху  використання  інтегралів  руху  вздовж  траєкторії.

     Практичні  переваги  подібного  підходу  заключаються  в  значній  загальності  стаціонарних  розподілів.  Вони  отримуються  не  за  рахунок  обмежень  типу  ергодних  гіпотез,  а  охоплюють  неергодні  системи  і  не  мають  в  собі  обмежень  на  сили  взаємодії,  подібні  до  тих,  які  є  в  інших  способах  підходу.  Аналізуючи  випадки  розподіляємості  змінних  не  у  всіх  напрямках,  легко прийти  до  найпростіших  типів еліпсоїдальних  законів розподілу.  Саме,  для випадку циліндричної  симетрії  покладемо

де  F  -  підлягаюча  визначенню  функція,  враховуючи  рух системи.  Знайдемо

звідкіля  функція  F  може  залежати  від r  i  ,  тільки  через їх  добуток: r .  Вибираючи за  функцію F  експоненту    отримаємо

де  середня  швидкість    і «потенціальна функція»  S  виражаються за  формулами Оорта

,              

ω – класична  частота  обертання.

     Для   випадку  одного  сорту  частинок,  взаємодіючих  втручанням  центральних сил,  отримуємо

∆ ,  

Ці  рівняння  приводять  до  відсутності  рішення  з  рівномірним  розподілом  по  всьому  простору,  так  як  для  гравітаційних  сил

Тільки  у  випадку  зміни  асимптотичної  поведінки  гравітаційних  сил  на  безкінечність,  так  щоб

<∞

просторово – однорідний  розподіл  отримується  як  рішення  приведеного  рівняння.

     Для  гравітаційного  закону  немає  рішень  і  у  вигляді  просторово – локалізованих  скупчень  в  трьох  напрямках.  Саме,  для  всіх  сил,  спадаючих до  нуля  в безкінечність,  для повної  маси  скупчення маємо

>

якщо  взяти  достатньо  велике  R.

     Рішення   з  кінцевою  масою  мають   місце  тільки  у  випадках  просторової  локалізації   в  одному  або  двох  напрямках.  Таким  чином,  з  точки   зору  описуючої  теорії  плоский   шар  і  циліндр  фізично  виділяються в порівнянні  з іншими  геометричними формами гравітуючої матерії.

      Друге з наведених вище  рівнянь визначає  стаціонарні стани системи багатьох  частинок  як  проблему  власних значень нелінійного інтегрального рівняння.

     Приєднаємо  до  диференціального  рівняння  вимогу  кінцевої  маси  системи,  яка  припадає  на  одиницю   площі  перерізу,  перпендикулярного   напрямку,  в  якому  обмежена  структура,  або  на  одиницю   довжини  у  випадку  циліндричних  конфігурацій:

,    D²<∞

де  D, D² – ефективні одномірні і двохмірні розміри системи (в одному  і двох  напрямках).  Тоді  отримаємо задачу  на  власні  значення  нелінійного диференціального  рівняння.

     Враховуючи  звичайні  умови  нумерування  потенціалу  і  рівності  нулю  напруженості  поля  в  точках  симетрії  задачі,  ми  впевнимося,  що  поставлена  задача  має  розв’язок  лише  при  досить  визначених  значеннях  параметра  λ: