Особливості протікання газів в капілярах

     Потік  молекул газу через отвір в тонкій стінці при настільки малому тиску газу або при настільки малому отворі, що довжина вільного пробігу молекул більших розмірів отвору, називається еффузійним потоком. При цьому стінку

                                                                               _

називають тонкою, якщо її товщина менша λ

 

мал.  1

     Формула  (3) була застосована Кнудсеном для розрахунку тиску газу парів ртуті в наступному досліді. В кільцевому жолобі посудини ( показаному на малюнку  1) поміщена ртуть. Температура в А підтримується постійною за допомогою термостата Т. Посудина А з’єднується за допомогою циліндричної трубки В з каліброваним капіляром  М. Вся система відкачується  до  високого  вакууму.  Капіляр М  охолоджується  рідким  повітрям.  Пари  ртуті  прямують  в  В  і конденсуються в М. Дослід  виконують до  тих пір,  доки  в М  збереться достатня  кількість  ртуті.  Знаючи  N, m, T  і s,  можна  розрахувати тиск парів.   Тиск  парів ртуті виявилося  рівним  0,25·10 ^-6   атм.

     Припустимо  зараз,  що  тонка  перегородка  з   отвором  радіуса  d  розділяє  дві посудини  А і В,  які містять один  і той же  газ,  але при різних  тисках,  настільки малих,  що  λ >d.  Тоді  молекули  будуть  еффундувати  з  В  в  А  і  з  А  в  В.  Ці  потоки  не  залежать  один  від  одного,  так  як  зіткнення  між  молекулами  біля  отвору  відсутні. Тому  результуючий  потік молекул через одиничну  площину за  одиницю часу  визначається  рівнянням:

                                          N=C (p_A-p_B)                                          (4)

де  рА  і рВ   -  тиск  газу  в посудинах А і В відповідно.

     Якщо  в  посудинах   А  і  В  знаходяться   суміші  обох  газів  при  одній  і  тій  же  температурі,  то  кожен  газ  буде  еффундувати  через  отвір  s  незалежно  від  іншого.  Еффузійні  потоки  обох  газів  будуть  визначатися  різницею  парціальних  тисків  по  обидва  боки  отвору.  Таким  чином:

                                

N1=C

(p_1,A  - p_1,B)                                        (5)

де  p1,А  і p1,В  -  парціальний тиск  першого газу  в посудинах А і В відповідно.

     Аналогічно  для   другого  газу  маємо,  що 

                                         N2=C (p_2,A  - p_2,B)                                                                      

     Знайдемо  величину  відношення  N1/N2  у  вигляді

                                                             (6)

     Отже,  еффузійні   потоки  молекул  обернено  пропорційні  корню  квадратному  з  маси  молекул.  З  усього  цього  випливає,  що  при  рівних  умовах  бистріше  буде  витікати  через  отвір  в стінці  той газ,  маса  молекул якого менша.  Припустимо,  наприклад,  що  посудина  А заповнена гелієм  (газ 1),  а посудина  В киснем  (газ 2)  при однаковому  тиску і одній і тій же  температурі.  Тоді  в  рівнянні  (6)  p1,В=0,  p2,А=0  і p1,А = p2,В.  Згідно  (6):

 

де  m₁  -  маса  молекули  гелію,  а m₂  -  маса  молекули  кисню.

     Таким   чином,  в  початковий  момент  часу,  коли  в  одній  з   посудин  знаходиться  лише  гелій,  а  в  іншій   знаходиться  тільки  кисень,  при  однаковому  тиску і одній і тій же  температурі молекули  гелію будуть  входить в В в 4  рази  швидше,  ніж звідтілля будуть  виходити  молекули  кисню.  Тому  тиск  в В спочатку  збільшується,  а потім знову зрівноважується з тиском  в А,  коли  парціальний тиск  цих газів в обох  посудинах стане одноковим.

     Навіть  якщо  б  початковий  тиск  кисню  в  В  був   не  набагато  більший  від   тиску  гелію  в  А,  то  все-таки  в  В  влітало   б  більше  молекул  гелію,  чим  звідтіля  вилітало  б  молекул  кисню.  В  протиріччя  цьому,  якщо  гелій  і  кисень  мають рівні, але  настільки  високі  тиски, що  умова  еффузії  не  задовольняється,  то  еффузійний  потік  газів  з  однієї  посудини  в  іншу не виникає,  а  буде  виникати  їх  взаємна  диффузія, доки  концентрації  компонент  суміші  не  стануть 

однаковими  в  обох  посудинах.

     Кнудсен (1908)  провірив  формулу (5)  на  досліді,  випускаючи  газ через отвір при різних  тисках.  В двох  платинових  пластинках  товщиною  0,0025  і 0,0050  мм  були  зроблені  отвори  вільної  форми.  Площа  одного  з  отворів  була                                                         

5,21 · 10 ^-4  ,  а іншого  66 · 10 ^-4  мм².  При таких тисках,  коли  середня довжина вільного  пробігу  молекул  була  більша  лінійних  розмірів  отворів,  результати  дослідів  виявилися  вірними  відповідно  до  теорії.

     Формулою  (5)  можна  скористатися  для   вимірів  максимального  тиску   парів  деяких  дуже  мало  летучих  речовин,  наприклад  ртуті.  Для  цього  достатньо  випустити  пар  через  невеликий  отвір  в  пусту  посудину  і  охолодити  цю  посудину, щоб  пар  сконденсувався. Якщо  потім  виміряти  масу  сконденсованого пару,  то  можна  розрахувати  тиск.

     Ефузія  газу  через  мембрану  з  великою  кількістю  отворів  застосовується  на  практиці  для   розділу  ізотопів.

 

 

ІІІ. Явища  переносу  в  газах.

 

1.Теплова  ефузія  -  ефект Кнудсена.

  Абсолютний  манометр  Кнудсена.

 

     Нехай   дві  посудини  1  і  2  з’єднані  між  собою  трубкою (див. мал. 2  )

 

                

                 

                                                                                                                      мал.  2

 

в  яких  підтримується  різна  температура  Т1  і Т2.  коли  поперечний  переріз трубки  дуже  великий в порівнянні  з довжиною  вільного  пробігу,  газ можна розглядати  як  однорідне середовище.  Умова рівноваги в цьому випадку носить  гідродинамічний  характер:  повинні  бути  рівними тиски Р1  і  Р2  в обох  посудинах.  В протилежному  випадку,  коли  довжина вільного  пробігу дуже  велика  в порівнянні  з поперечними розмірами трубки,  гідродинамічний підхід  застосувати  неможливо.  Умова рівноваги потребує,  щоб середнє число  молекул  газу,  які  проходять  через  трубку  в  одному  напрямі,  дорівнювало  середньому  числу  молекул,  які  проходять  в  протилежному  напрямі.  Ця  умова  приводить  до  співвідношення:

                                                                                         (7)

З  цього  слідує,  що  якщо  температури  Т1  і Т2  різні,  то  при рівновазі будуть  різні і тиски Р1  і Р2

мал. 3

     Уявимо  собі  посудину,  яка  розділена  пористою  перегородкою  А  на  дві  частини  В  і  С  (див. мал. 3);  нехай  В  і  С  з’єднані  один  з  одним  манометричною  трубкою,  яка  заповнена  рідиною.  Коліна  манометра з’єднуються  один  з  одним  через  трубки  з  краном  К.  Нехай розріджений газ в В має температуру Т1,  а в С  температуру Т2,  які підтримуються постійними.  Нехай Т1< Т2.  відкриємо на  деякий  час кран  К для того  щоб тиск  по  обидві  сторони перегородки зрівнявся.  Якщо  потім кран  К закрити,  томи  побачимо,  що  рідина  в  коліні  Р  опуститься,  а  в  коліні  Q  підніметься.  Це  пояснюється  тим,  що  газ  проходить  через  пори  перегородки  від  менш  нагрітих  країв  пор  до  більш  нагрітих.  Таким  чином,  різниця  температур  на  кінцях  капілярів  породжує  різницю  тисків.  Це  явище  називається  ефектом  Кнудсена  або  тепловою  ефузією.

Мал. 4

   Поль  (1884 – 1976)  запропонував  наступну  демонстрацію  цього явища.  Береться  пористий  стакан  з необпаленої глини,  всередині  якого  знаходиться електричний нагрівник (мал. 4).  Повітря з посудини  може  виходити  назовні через скляну  трубку,  нижній  кінець  якого опущений  в воду.  Так як  температура зовні посудини  вища  ніж температура  оточуючого  повітря,  то  зовнішнє  повітря  неприривно  буде  втягуватись  всередину  посудини.  Тиск  в  посудині  збільшується  і  зайве  повітря  неприривно  виходить  через  скляну  трубку  у  вигляді  пузирьків.

     Теплова  ефузія  грає  важливу роль  в явищах  природи.  Вдень  поверхня  землі  нагрівається  сонячними  променями.  Повітря  з  більш  глибоких  шарів  підгрунття  виходить  по  капілярам  на  поверхню  і  розсіюється  вітром.  Вночі  поверхневий  шар  підгрунття  охолоджується і виникає  обернений  потік повітря з поверхні  в більш глибокі шари  підгрунття.  Так виникає обмін повітря в ґрунті,  який  необхідний  для нормального життя рослин.

     Умова  (7)  була  б  очевидною,  якби  з’єднувальна  трубка  була  б  безкінечно  короткою.  Тоді  її  можна  було  б  розглядати  як  малий  отвір  в  стінці  між  посудинами  1  і  2.  Але  якщо  з’єднувальна  трубка  довга,  то  маємо  деякі  складності.  Припустимо,  що  з’єднувальна  трубка    має  циліндричну  форму.  З  лівого  кінця  в  неї щосекундно  входить N=(1/4)n₁ ū₁ s  частинок.  Частина з цих частинок  відображається  назад в посудину  1,  а інша  частина проходить в посудину  2.  Число  пройдених  частинок  можна представити у вигляді N=(1/4)n₁ ū₁ s α_{1 2},  де  α_{1 2}  -  коефіцієнт  проходження в напрямку  від посудини  1  до  посудини  2.  В  оберненому  напрямі з 2  в 1  проходить N=(1/4)n₂ ū₂ s α _{2 1}  частинок,  де  α _{2 1}  -  коефіцієнт  проходження в цьому напрямі.  В установленому стані N_{1 2} = N_{2 1},  тобто

n₁ ū ₁ α _{1 2}=  n₂ ū ₂ α _{2 1}                 (8)

Труднощі  питання  виникають  в  тому  щоб  доказати  правильність  співвідношення  α_{1 2} = α _{2 1}.  Коефіцієнт  проходження ультрарозрідженого  газу  через трубку  не  може  залежати  від його  тиску,  так  як  молекули  такого  газу  між  собою  практично  не  стикаються,  а  відчувають  зіткнення  лише  зі  стінками трубки.  Значно  важче  вияснити  вплив  температури. Значення  коефіцієнтів  α1 2  і α _{2 1}  залежить  від характеру взаємодії  молекул  зі  стінками  при  зіткненні.  Припустимо,  що  молекули  газу  приходять  в  теплову  рівновагу  зі  стінками  в  результаті  вже  одного  або  небагатьох  зіткнень,  причому  їх  відображення  являється  ізотропним.  Якщо  ця  гіпотеза  справедлива,  то  відносна  доля  молекул,  які  вибиваються  з  пучка  при  відображенні,  залежить  тільки  від  температури  точки,  в  якій  відбулося  зіткнення,  але  не  буде  залежати  від  напрямку  поширення  пучка.  Один  пучок  поширюється  в  сторону  підвищення, а  інший  -  в  сторону  пониження  температури.  Точки  на  поверхні  трубки  в  яких  молекули  відображаються  і  вилітають  з  пучка,  проходяться  пучками  в  оберненій  послідовності.  Але  ця  обставина  не  може  позначитися  на  втраті  частинок  в  результаті  всіх  відображень,  а  тому   α_{1 2} = α _{2 1} тоді  (8)  зводиться до            

n₁ ū ₁  =  n₂ ū ₂                                              (9)

а  це  співвідношення  вже  легко  зводиться  до  вигляду  (7).  Та  обставина,  що  закон  (7)  справджується  на досліді  може  розглядатися  як  експериментальне  підтвердження  відношення  α_{1 2} = α _{2 1}.

  Розглянемо  елементарну   теорію  ефекту  Кнудсена.  В першому наближенні  можна думати,  що  до  потоку  молекул розрідженого  газу  через  пористу  перегородку  можна  застосувати  рівняння  (5),  яке  визначає  еффузійний  потік молекул через отвір в тонкій  стінці.  Тоді  потоки  молекул з В в С і з С в В відповідно  запишуться  у вигляді:

N₁=(

) p₁s,              N₂=( ) p₂s

 

Умовою  рівноваги  газів,  які  знаходяться  по  різні  сторони  перегородки,  виявиться  рівність  потоків  N₁ = N₂ ,  тобто

                                                ( ) p₁s =  ( ) p₂s

     

Звідціля

                                                                                 (10 )

     Таким  чином,  якщо  в  посудині  розділити  газ   на  дві  частини  пористою  перегородкою,  діаметр  капілярів  якої  менше середньої довжини вільного  пробігу молекул,  то  різниця температур  на  кінцях  капілярів приведе до  виникнення  різниці тисків  газів,  а умовою  рівноваги буде  не  рівність  тисків,  а рівність  відношення  тисків  до  корню  квадратного з абсолютною  температурою.

     Абсолютний  манометр  Кнудсена.  Припустимо,  що  пластинки   А  і  В поміщені  в   дуже  розріджений  газ  паралельно  один  одному  на  відстані  значно  меншій  середньої довжини  вільного  пробігу  молекул  (  мал.  5  ).  Рухома пластина  В має таку  ж температуру Т ,  як  і оточуючий газ,  а температура нерухомої пластини  А не набагато  вище   і дорівнює  Т+t .  Температуру газу який знаходиться  між пластинами можна  вважати рівною середній температурі пластин Т+t/2.  Завдяки  різниці температур тиск  газу між

 

мал. 5

пластинами  р1 буде більший чим в іншому газі р. Таким чином, на рухому пластину  буде  діяти  тиск

р₂ = р₁- р                                                         (11)

      Згідно умови (10) рівновага неоднаково нагрітого розрідженого газу повинно  зберігатися наступна рівність: