Особливості протікання газів в капілярах

 x: dN_ст = dN_ст (x) .

     Для  визначення  повного  числа  молекул  N ,  які проходять через переріз S  за  одиницю,  потрібно  вираз  для  dN  проінтегрувати  по  перерізу  S  і  по  бічній  поверхні  циліндра.  Але  так  як  всі  площадки  dS’  на  поясі розташовані абсолютно однакові  відносно  перерізу S,  то  dS’  можна зразу замінити  на  площу поясу 2πа dx.  Для спрощення  розрахунків  вершину  тілесного  кута  dΩ  можна  помістити  на  осі  Y,  як  це  зроблено  на  мал.  7.  Нехай y  і  z  -  координати  центру  площадки  dS.  Тоді 

сos

= ,  cos ’ = ,

N=2a

y dS N_cт(х) dx

 

     Якби  число  ударів  N_ст було  однакове  по  всій  довжині труби,  тобто не  

залежало  від  х,  то  підінтегральний  вираз  N_ст (x)   був би  непарною  функцією  х,  і інтеграл  по  х  перетворився  б в нуль.  Помітивши це  і припускаючи,  що  функція N_ст (x)  не  зовсім  швидко  змінюється  вздовж  труби,  розкладемо  її  в ряд по  степеням  х  і обірвемо  розклад на  квадратичному члені:

N_ст = N_ст (0) +

)_x=0 x+ ( _х=0 х².

При  інтегруванні  по  х  перший  і останній  члени не  внесуть ніякого внеску  в інтеграл,  і  ми  отримаємо

N=2a

y dS dx

                                                                                                                                 

     Вважаючи  трубу  довгою,  замінимо  в  останньому  інтегралі  кінцеві  межі  нескінченними.  Для  взяття  всього  інтеграла  введемо  в  площі  перерізу  S  полярні координати  r і  φ,  помістивши  початок  полярної системи  координат в

точку  О.  Тоді  y = r cos φ,  R² = r²  + x² ,  dS = r dr dφ,  а  тому

 

N=2a

Для  інтегралу  по  х  отримуємо

Виконавши  останні  інтегрування,  знаходимо 

N=

                                      (22)

     При  стаціонарній  течії  величина  N,  а з нею і похідна dNст/dx  залишаються постійними  вздовж  труби.  Використовуючи  це,  а також вираз Nст = (1/4) n ū.,  без труднощів отримаємо

Після  цього  формула  (22)  зводиться  до  вигляду  (19).  Числові  значення  коефіцієнта  С  в  строгому  і  оцінюючому  висновках  співпадають,  це  звичайно  виявляється  випадковістю.

 

 

 

 

 

 

І\/. Рішення  рівняння  Больцмана  для  вироджених  течій.

  Течія  Куетта.

 

1.Нелінійні  задачі.  Моментний метод.

 

     Однією  з  простіших  задач,  для якої  до  сих пір отримано  точне рішення рівняння  Больцмана,  виявляється задача  Куетта  про течію і теплообмін  між паралельними  безкінечними  пластинками,  які  рухаються  одна  відносно  одної.   

                                             (1)

це  рівняння  Больцмана.

    Розглянемо  насамперед  розв’язок  задачі  Куетта  при довільних числах  Кнудсена  методом моментів.  Будемо  розглядати  повне  рівняння  Больцмана.  Щоб  спростити  обрахунки  моментів  від  інтеграла  зіткнень,  будемо  вважати  газ  максвелівським.  В  нелінійному  наближенні  задача  про  зсув  не  відділяється  від  задачі  про  потік  тепла між пластинками.  Візьмемо  найпростішу  апроксуючу  функцію  у  вигляді  двохстороннього  максвелівського  розподілу.

                 (2)

де  n_1,2,  h_1,2  i  u_1,2  -  шість  невідомих  функцій;  індекси  2  і  1  відносяться  до  функцій  розподілу  для  відповідно.

     Для  отримання  шести  невідомих  функцій  необхідно  побудувати  шість  моментних  рівнянь.  Із  перших  п’яти  рівнянь  моментів  маємо

       (3)

Так  як  на  стінках  u_x=0,  то

u_x(x)≡0                                                                                       (4)

     Рівняння  P_xz = const = 0  задовольняється  рівносильно.  Утворимо два додаткових  рівняння  моментів,  помноживши  рівняння  Больцмана на  m   i    і про інтегрувавши  по  всім  швидкостям.  Для максвелівський  молекул маємо

                                                                   (5)

                                                  (6)

Підставляючи  в  інтеграли  які  сюди  входять  і  в  рівняння  u_x,  u_z,  P_xx,  P_xz  і   q_x  апроксуючу  функцію (2)  отримаємо шість рівностей для визначення  шести невідомих  функцій.

     Рівняння  нерозривності

 

                                                  (7a) 

     Рівняння  кількості  руху

      

                                                                 (7б)

      

                                                                      (7в)

     Рівняння  енергії

                                              (7г)

     Рівняння  тензора  напруг

                            (7д)

     Рівняння  потоку  теплоти

(7е)

де  а_1,   а₂  і а₃  -  сталі інтегрування,  = с_р / с_v.

     В  рівняннях  (7)  введені  безрозмірні  величини  (які  виділені  рискою  зверху)  і  x=x/d.  В якості  характерних величин вибрані n⁺,  T⁺,  ω  і  d.  Крім  того,  введені числа Маха  і Рейнольдса

         i                                      (8)

Одна  гранична  умова  (u_x≡0)  вже  використана.  Для  функції  розподілу  відображених  молекул  при    маємо ще  п’ять граничних умов:

при     при                                             (9)                                                                  

З  цього  бачимо,  що  параметр  М/Re  пропорційний  числу Кнудсена,  так що  Re/М=0 відповідає  свободномолекулярній  течії,  а    Re/М   -  течії Нав’є-Стокса.

     При   малих  числах  Маха  (М²<<1)  система (7)  розпадається  на  дві.  Із  рівнянь (7г)  і (7е)  випадають швидкісні змінні  _1,2,  так що  система рівнянь (7а),  (7в),  (7г)  і (7е)  дає рішення задачі  про передачу  тепла при будь-якому відношенні  Т^-/Т⁺.  Після рішення цієї  задачі  із  рівнянь (7б)  і (7д)  оприділяються функції _1,2.  При будь-якому числі Маха  всі рівняння  (7)  повинні розв’язуватися  одночасно.

    На  мал. 8  наведені  результати  розв’язків  тертя,  які  отримані  за  допомогою  рівнянь  (7).  З   мал.  8  видно,  що  криві,  які  відповідають  різним  відношенням  температур,  сильніше  всього  розходяться  при  великих  Re/M,  тобто поблизу нав’є - стоківського  режиму.  Для  течії  по  Нав’є – Стоксу  неважко  отримати

                                   (10)   

де  -  відповідне  свободномолекулярне  значення,  отримане  при  тих  же    n⁺,  T⁺,  і  Т^-  ;  Pr = c_рμ / λ  -  число Прандтля.

     Очевидно,  що  при  великих  значеннях  Re/M  криві мал.  8,  які відповідають  різним  відношенням температур  стінок  і  різним  числам  Маха,  повинні  зблизитися,  якщо  їх  побудувати  по  змінній

                            (11)

                                                                                                                 мал.  8

          Перебудовані  по  цій  змінній   криві  мал.  8  приведені   на  мал. 9.  Кореляція  даних   значно  покращилась. 

 

                                                                                                              мал.  9

     На  мал.  10  і  11  приведені  профілі   швидкостей  для  числа  М  = 3  і  двох  відношень   температур:  Т^-/Т⁺ = 4  і 1.

 

 

                                                                                                        мал.  10

Цікаво  відмітити,  що  при  рівних  температурах  стінок  профілі  швидкостей  близькі  до  лінійних.

                                                                                                                     Мал.  11

 

 

При  всіх  числах  Кнудсена  (крім  Re/M = ∞)  спостерігається стрибок швидкостей  на  стінці.  Однак прийнята  апроксимація  для функції розподілена,  по-видимому,  виявляється занадто грубою  для виявлення структури пристінкового кнудсенівського стою. 

     Таким   чином,  метод  моментів  з  найпростішою  апроксимуючою  функцією  (2)  дозволяє  вияснити  якісну  картину  течії  між  пластинками  при  довільних  числах  Кнудсена  і  відношення  температур  пластинок  і  числах  Маха  порядку  одиниці.  Однак  точність  отриманих  результатів  повністю  оприділяється  тим,  наскільки  вдало  вибрана  апроксимуюча  функція. Для отримання точних  рішень  необхідний  деякий  алгоритм  послідовного  уточнення функції розподілу.  Але подальше  просування  на  цьому шляху,  відповідно  пов’язане  з  суттєвим  ускладненням  отриманих  моментних  рівнянь  і  збільшені  їх  числа.  Розглядаючи течію Куетта  як  найпростішу схематизовану модель  для апробації методів,  призначених для рішення складних  практичних  задач,  легко  представити  труднощі,  які  виникають  при  рішенні  цих  задач  моментним  методом  з  достатньо  точною  апроксимуючою  функцією.

 

2.Нелінійні  задачі.

  Метод  Монте - Карло.

 

     Досить  перспективним  для  рішення   складних  задач  з  достатньою  для  практики  точністю  представляється  метод  Монте  -  Карло.  Можливо множина схем  застосування  метода  статистичних  опитів.  Приведемо одну  з них для задачі  про передачу  тепла між пластинками.  Функція  розподілу  для  цієї  задачі  залежить  від  трьох  змінних: х,  _х  і

R=

Розіб’ємо  цей  тьохмірний  фазовий  простір  на  ячійки,  кожна  з  яких  відповідає  відповідним  значенням  x_i,  ξ_xj  i  ξ_Rk.  Задача  в  кожній  ячійці  чисел N_ijk  оприділяє  функцію  розподілу,  для  якої   N_ijk  -  число молекул в елементі  ∆х  біля  точки x_i  зі  швидкостями ξ_xj  i  ξ_Rk   в елементі  швидкісного простору  ∆ξ_х∆ξ_R.

     Нехай   задано  деякий  початковий  розподіл,  тобто  задані  відповідні  числа  N_ijk..  молекули  цього розподілу будемо  називати  польовими.  Розглянемо  рух частинки,  яку будемо  називати  пробною.  Нехай пробна  частинка  входить в деяку ячійку  фазового  простору.  Частинка  з  визначеною  ймовірністю,  яка  залежить  від  закону  взаємодії  молекул  і  функцій  розподілу  польових  частинок,  може  або  відчувати  зіткнення  в  ячійці,  або  пройти  без  зіткнення.  В  першому  випадку  частинка  в  результаті  зіткнення  набуде  іншої  швидкості,  тобто  потрапляє  в  ячійки  з  іншою  швидкістю,  але  з  тією  ж  координатою  x_i .  В другому випадку частинка  входе в сусідню по  x_i  ячійки,  але з тією  ж швидкістю.  В першому випадку час перебування частинки  в ячійці  <∆x/ ξ_х,  в другому =∆x/ ξ_х.  Розраховуючи  на  обчислювальній  машинці розподіл  з густиною,  яка пропорційна ймовірності зіткнень,  випадкові числа,  визначаємо  той чи  інший «час  життя»  пробної молекули  в даній ячійці.  Спостереження за  пробною молекулою починається тоді,  коли  вона  покидає одну  з стінок,  і закінчується,  коли  вона  повертається  на  стінку.  Після цього вибирається  нова  пробна  молекула,  швидкість  якої  визначається  розігруванням  випадкових  чисел  з  густиною,  яка  залежить  від  закону  взаємодії  молекул  зі  стінкою.  Спостерігаючи  рух  достатньо  великого  числа  пробних  молекул  і  запам’ятовуючи  час,  проведення  цими  молекулами  в кожній  ячійці,  тим самим запам’ятовуємо  нову  функцію розподілу.   Молекули,  які відповідають  новій функції розподілу,  приймаються за  польові молекули,  і починається розрахунок  наступного  приближення.

     На  мал.  12 наведені  результати  розрахунку  теплопередачі,  проведеного для максвелівських  молекул,  при відношенні  температур  пластинок 4:1.  тут - середня густина,  Kn = /d  число Кнудсена,  де  довжина пробігу    визначається  по  формулі

 

 

 

                                                                                                    мал.  12