Особливості протікання газів в капілярах

p₁ /р =

  ≈ 1+                         (12)

Із (11) і (12) знаходимо, що

p₂=

                                                        (13)

       Тиск р₂ можна виміряти по відхиленню рухомої пластини. Температури Т і  t доступні для вимірювання. Таким чином, можна визначити тиск газу в посудині. Розглянутий прилад отримав назву абсолютного манометра

Кнудсена. З допомогою цього приладу виміряють тиск порядку 10^-3   торр і нижче.

 

2.  Молекулярне  перетікання  розрідженого

газу  через  капіляр.

 

     А).  З’єднаємо  капілярною  трубкою  дві  посудини,  один  з  яких  заповнений  газом,  а  інший  пустий.  Якщо  діаметр  трубки  малий  порівняно  з  довжиною  вільного  пробігу  молекул,  то  швидкість  перетікання  газу  через  трубку  визначається  не  зіткненням  молекул  одна  з  одною,  а  зіткненням  з  стінками  капіляра.  Якби  стінки  капіляра  були  дзеркальними  і  гладкими,  то  швидкість  молекул  після  зіткнення  зі  стінками  завжди  була  б  направлена  тільки  вперед,  тобто  в  напрямі  протікання  газу.  В  цьому  випадку  стінки  капіляра  не  впливали  б  на  кількість  витікаючого  газу  і  через  капіляр  щосекундно  проходило  б  стільки  газу,  скільки  і  через  отвір в стінці  такого  ж розміру,  як  і поперечний  переріз капіляра.  Однак поверхня  стінок  капіляра  завжди  шорстка,  завдяки чому  молекули  відображаються  від неї в усіх  можливих  напрямках.  Існує ще  одна  причина недзеркального  відображення  молекул  газу  від  стінок:  в  крайньому  випадку  деякі  молекули  не  просто  відображаються  від  стінки,  а  спочатку  адсорбуються  стінкою,  деякий  час  блукають  по  її  поверхні,  а  потім  при  сприятливих  умовах  злітають  зі  стінки.  При  цьому  напрямі,  по  якому  рухається  молекула,  покидаючи  поверхню  стінки  випадково:  молекула  ж  « не  піклується »  про  те,  щоб  дотримувався  закон  пружного  удару,  який  стверджує,  що  кут падіння довівнює  куту  відбивання,  а також  « не  пам’ятає »  в  якому  напрямі  вона  рухалася  перед  зіткненням  з  стінкою

     Отже,  молекули  відображаються  від  стінок  капіляра  так,  як  від  шорхості  поверхні,  і  багато  з   них,  входячи  в  капіляр,  рухаються  не  вперед,  а   назад,  до  входу в капіляр,  повертаючись  в ту  посудину,  з якої  вони  потрапили в капіляр.

     По  дослідженням  Кнудсена,  маса  розрідженого  газу,  щосекундно  протікаючого  через  капіляр,  виражається  рівнянням

М=

(p₁ – р₂),                                             (14)

                                                                

де  опір  капілярної  трубки  W=3l/4 r³ ,  ₁ -  відношення густини газу  ρ  до  його тиску,  р₁ – р₂    це  різниця парціальних тисків  на  кінцях  капіляра,  l  -  довжина трубки,  а r  -  радіус  трубки.

     З  (14)  випливає,  що  маса  розрідженого,  який  протікає  через капіляр за  одну  секунду,  не  залежить  від тиску  газу  (із-за  постійності  величини р₁),  а залежить  тільки  від розмірів  капіляра  і різниці парціальних тисків  на  його  кінцях.  Перетікання газу  через капіляр,  яке підлягає  під цей закон,  називається молекулярним  або кнудсеновим.

  Для  того  щоб  пояснити  значення  формули  (14),  наведемо  приклад з техніки високого  вакууму.  Коли  насосом  відкачують  повітря  з  будь-якого  апарату,  трубка,  яка  з’єднує  насос  з  апаратом,  спричиняє  опір  проходженню газу.  Якщо  тиск  газу  малий,  то  опір,  згідно  (14),  обернено  пропорційний  кубу  його  радіуса.  Таким  чином,  якщо  взяти  трубку  малого  радіуса,  опір  буде  настільки  великим,  що  можна  залишитися  без  всіх  позитивних  якостей  користування  сучасним  швидко  діючим  насосом:  хоча  такий насос і міг би  щосекундно  забирати  велику  кількість газу,  але цьому заважає сповільнений  рух газу  через трубку.

     Пояснимо  це  на  прикладі.  Припустимо,  що  дифузійний  насос може  відкачувати 50  л/с.  Якби  його  сполучити  з   відкачуваною  посудиною  за  допомогою  трубки  (вакуумпровода)  радіуса  r  і довжиною  50  см,  то  швидкість відкачування  буде  дорівнювати 1,92  л/с при r = 1  см,  26,5  л/с при r = 3  см  і 43,5  л/с при r = 5  см.  Таким чином,  ефективність  відкачування  в даному  випадку робиться  гарною  при радіусі вакуумпровода не  менше 5  см.

     Б).  Розглянемо  стаціонарну молекулярну течію через трубу,  довжина якої  l  дуже  велика  в порівнянні  з її  поперечним  розміром  а (  У випадку циліндричної  труби під а  будемо  розуміти  її  радіус).

     Припустимо  спочатку,  що  через  отвір  на  одному  кінці  трубки  поступає  щосекундно  N₁  молекул,  а на  іншому  кінці підтримується повний вакуум.  Визначимо число молекул N,  які проходять через трубу і виходять  із  її  другого кінця.  Число N  істотно  залежить  від  характеру  відображення  молекул  від  стінок  труби.  Якби,  наприклад,  стінки  труби  були  абсолютно  гладкими,  а  молекули  відображались  від  них  дзеркально,  то  всі  молекули,  які  ввійшли  в  трубу  з  одного  кінця,  вийшли  б  з  іншого  кінця,  тобто  було  б  N= N₁.  Насправді такий ідеалізований випадок ніколи  не  виникає.  В реальному досліді  значна  кількість  молекул,  які  вдарились  об  стінку  труби,  летить  назад.  Визначити  залежність  N   від N₁  і віл параметрів  труби можна із  міркувань розмірностей.  З механізму явища слідує,  що  повинен існувати  функціональний  зв’язок  між  величинами  N, N₁,  а,  l.  З цих величин можна скласти дві незалежні безрозмірні комбінації,  а саме  N/ N₁  і а/l.  При течії по  трубі одна  з них довжина  бути  функцією  іншої:

N / N₁  =  f(а/l),

 так  що

N = N₁ f(a/l).

    Функція   f(а/l)   залежить  від  форми  поперечного  перерізу  труби,  а  також  від  характеру  відображення  молекул  від  її  стінок.  Очевидно  f(0) = 0,  так як  при а = 0, потік  який  виходить  N  перетворюється  в нуль,  якого б не  було  значення  N₁.  Припустивши,  що  функція f(а/l)  розкладається  в  степеневий  ряд,            виконаємо  цей  розклад  і  обірвемо  його  на  лінійному члені.  Тоді  отримаємо

N=CN₁ a/l,

де  С  -  постійна,  яка  залежить  від  форми  поперечного  перерізу  труби  і  від  характеру  відображення  молекул від стінок.  В  частинному  випадку  вона  може  залежати  від  того,  як  змінюється  температура  стінки  вздовж  труби.

     Нехай  тепер   через  один  кінець  в трубу входить щосекундно  N₁  молекул,  а  через  інший  -  N₂.  Так  як  обидва  потоки  не залежать  один  від одного,  то  через поперечний  переріз труби буде  проходити число молекул,  яке дорівнює

N=C (N₁  - N₂ )a/l                                    (15)

     Можна   собі  уявити,  що  труба з’єднує  дві  посудини.  В одній підтримується тиск  Р₁  і температура Т₁,  а в іншому  -  тиск  Р₂  і температура Т₂.  Якщо  концентрації  молекул в посудинах   рівні п₁ і   п₂  відповідно,  то

                                                           

                                                   

N₁=

S n_{1 1,}      N₂ = S n_{2 2}

де  S  -  площа поперечного перерізу  труби.

     Використовуючи  співвідношення  Р=nkT і   ū=   перетворимо  вираз для N  до  вигляду

                                          N =A   ( )              (16)

 

 де  А -  нова  постійна:

                                       A=                                              (17)

     Для  маси  газу,  щосекундно  протікаючого  через  поперечний  переріз  труби,  отримуємо

                                               Q= A ( )                       (18)

     В).   Чисельні  коефіцієнти  С  і  А  можна  оцінити  за  допомогою  таких  елементарних  міркувань.  Розглянемо  круглу  трубу і будемо  припускати,  що  температура газу  одна  й та  сама  по  всій  трубі.  Протікання  газу  через трубу можна розглядати  як  процес  дифузії.  З цього випливає,  що  N = - DS dn/dx,  де D = (1/3)λ   -  коефіцієнт  дифузії  (вісь  Х  направлена  вздовж  вісі  труби).  Для  стаціонарного  процесу  N = const ,  а тому  dn/dx =  const. Значить,  dn/dx=(п₂ –п₁)/l,  і  далі

N =

λ ū S

     При  кнудсенівській  течії  зіткненням  між  молекулами  можна  повністю  знехтувати.  Довжина  вільного  пробігу  повністю  визначається  зіткненням  молекул  зі  стінками  труби.  По  порядку  величини  вона  дорівнює  діаметру  труби  2а.  Приймаючи це  значення, отримуємо

                                            N = ū

або

N =

                                                    (19)

     Порівняння  цієї  формули  з  (15)  показує,  що  для  круглої труби

С =

,  А =                                                  (20)

     Приведений  елементарний  висновок  показує також,  що  у випадку зміни температури вздовж  труби N  і  Q  строго  пропорційні  різниці  тисків  P1 – Р2.  Навпаки,  при зміні температури  вздовж  труби пропорційність  між тими  ж

величинами  і  різницею (P₁/ – P₂/ )  -  тільки  приблизна.  Вона  справедлива лише  до  тих  пір,  доки  в  розкладі  функції  f(а/l)   в  степеневий  ряд  можна  обмежитись  тільки  лінійним  членом.

     Формули  (16)  і  (17)  при  числових  значеннях   постійних  С  і  А  (20)  називаються  формулами  Кнудсена.

   

     Г).  Формула (18)  показує,  що  при даних рівних  умовах  розтрата  газу  Q  пропорційна  кубу  радіуса  труби. Це  повинно  враховуватися  при  конструюванні  вакуумних  установок.  Припустимо,  що  потужність  високо вакуумного  насоса  дозволяє  відкачувати в секунду  \/  літрів  газу,  а  труба,  яка  з'єднує  насос  з  відкачуваним  балоном,  здатна  пропускати  за  той же  час и  літрів.  Якщо  и<<\/,  то  застосовувати потужний  насос недоречно.  Для правильного застосування  насосу  розміри з'єднувальної  труби  треба  вибирати  так,  щоб  було  и ~ \/ .

     Д).  Наведемо  тепер більш строгий молекулярно-кінетичний  висновок  отриманих формул.  Найбільш  суттєвим  моментом  нашого  висновку  буде  припущення  відносно  характеру  взаємодії  молекул,  які налітають на  стінки  труби.  Припустимо,  що  після удару об  стінку  молекули  відображаються  назад так,  що  їх  швидкості стають  розприділяючими по  закону  Максвела  при температурі,  яка дорівнює  температурі стінки.  Це  припущення  означає,  що  молекули  газу  сприймають  температуру  стінки,  а  їх  швидкості    розприділяються  ізотропно вже в результаті  однократних ударів  об  стінку.  Хоча  це  і не  зовсім  правильно,  але таке  припущення  виявляється найпростішим  і  в  розглянутому  питанні  призводить  в  основному  до  правильних  результатів.

     Відбиті  молекули  рухаються тільки  від стінки,  серед них немає таких,  які рухаються до  стінки.  Тому  про максвелівський  розподіл  швидкостей  цих  молекул можна говорити  лише  умовно.  Смисл нашого  припущення  полягає в тому,  що  якщо  дані  молекули  доповнити  таким  же  числом  молекул,  які  летять  з  тим  же,  але  протилежно  направленими  швидкостями,  то  отримається  максвелівський  розподіл.

мал.. 6

Припустимо  тепер,  що  з  одиничною  площадкою  S  в одну  секунду  зтикається  N_ст  молекул.  Знайдемо  частину цих молекул dN_ст,  які відбиваються  в тілесний  кут dΩ,  вісь  якого складає кут з  нормаллю  до  площадки  S  (див. мал. 6 ).  Так як  по  нашому  припущенню  розподіл  даних  молекул по  кутам і швидкостям  не  залежить  від швидкостей  і напрямку  руху  падаючих  молекул,  то  можна уявити,  що  падаючі молекули  разом з відбитими  

розприділяються  по  закону  Максвела.  Нехай п -  число всіх  молекул в одиниці об’єму.  Тоді  число молекул в тілесному куті  dΩ,  падаючих  за  одиницю  часу                     

на  площадку  S  під кутом   до  нормалі,  буде  n ū S cos 4 π  .  Таким же  буде  число молекул dN_ст,  які відобразилися в симетрично  розташований  тілесний  кут по іншу  сторону нормалі.  Повне число падаючих  молекул дає  формула    N_ст = (1/4) n ū. Виводячи  це  число  отримаємо

dN_ст =

cos dΩ                                     (21)

 

            мал.. 7

     Е).  Повернемося   до  задачі  про  молекулярну   течію  газу  через  трубу.  Трубу  будемо  вважати  циліндричною,  яка  має  радіус  а.  Так як  витрата газу  Q  одна 

й  та  ж  через  весь  переріз  труби,  то  для  його  розрахунку  можна  взяти  переріз 

S,  який  проходить через середину  труби (  див.  мал. 7 ).  Площину перерізу  S  приймемо  за  координатну площину YZ,  вісь  X  направимо по  одній із  твірних циліндра.  Нехай dS -  елементарна площадка  в перерізі  S.  Візьмемо  на  боковій поверхні  нескінченно короткий пояс ширини dx’  і на ньому елементарну  площадку  dS’.  Із  середини  площадки  dS’  площадка   dS  видна під тілесним кутом dΩ  = .  Число молекул dN,  які летять  від площадки  dS’  і проходять через dS  за  одну  секунду,  визначається  виразом:

dN =

cos ’ dΩ = dSdS’

де  R –  відстань  між  площадками,  і -  кути  між нормалями до  них і лінією,  яка з’єднує центри  площадок.  Величина  dN_ст відноситься  до  місця  знаходження  площадки  dS’  і являється функцією  її  координати