Теоретические аспекты управления портфелем ценных бумаг

(5) 

Стандартная девиация - это среднее квадратичное отклонение от ожидаемой нормы дохода.  По акциям  А  стандартная  девиация составит 5.2%  .  Тогда в случае  нормального (симметричного) распределения дохода по данному проекту по теории  вероятностей в 68  из  100 случаев (точнее, с вероятностью 68,26%)будущий доход окажется между 7,8% и 18,2% .

Вероятность того,  что  доход  по данным акциям окажется в пределах между 2,6 и 23,4% составит 95,46% . В общем виде, пределы вероятностей для нормального распределения показаны на графике 

    

    рис.2 Пределы вероятностей для нормального распределения 

    В момент времени t=0 инвестор должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг, которые будут находиться в его портфеле до момента времени t1. Подобную проблему часто называют проблемой выбора инвестиционного портфеля. Принимая решение, инвестор может оценить ожидаемую доходность различных ценных бумаг, основываясь на некоторых предположениях, а затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью. [6, С.154] Инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении (риске). Это означает, что инвестор должен оценить оба этих параметра, а затем сделать выбор портфеля, основываясь на соотношении этих параметров. [6, С.156] Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение- как мера риска. Марковиц предлагает использовать кривые безразличия. Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности  и, таким образом, могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого является стандартное отклонение , а по вертикальной оси- вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность.  

 

  

Рис.3.Кривые безразличия инвестора 

Рисунок представляет собой график кривых безразличия  гипотетического инвестора. Каждая кривая линия отображает одну кривую безразличия инвестора и представляет все комбинации портфелей, которые обеспечивают заданный уровень желаний инвестора. В зависимости от восприятия риска инвестором  кривые безразличия разных инвесторов различаются: [9, С.241]

 
 

         

4.а) инвестор с высокой степенью избегания риска 

 

         

4.б) инвестор со средней степенью избегания риска

        

4.в) инвестор с низкой степенью избегания риска 

• все портфели, лежащие на одной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора.
• кривые безразличия не пересекаются.
• инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится ниже и правее.

       Таким образом, Марковиц утверждает, что максимальный доход от  портфеля не должен быть основой  для принятия решения из-за  элементов риска. Для сведения  риска к минимуму портфель  нужно диверсифицировать. Уменьшение  риска, однако, означает и уменьшение доходности. Фактически нужен такой портфель, в котором соотношение риска и дохода было бы приемлемым для инвестора. [9, С.243]

                Диверсификация по Марковицу  представляет собой сочетание  ценных бумаг, имеющих менее чем позитивную корреляцию с тем, чтобы сократить риск, не сокращая ожидаемого дохода. В целом, чем меньше корреляция между ценными бумагами, тем меньше степень риска по портфелю. Проще говоря, это означает включение в портфель ценных бумаг, из которых одна поднимается в цене, в то время как другая падает.

Модель  Блека

      Модель  Блека аналогична модели Марковица, но в отличии от последней в ней отсутствует условие неотрицательности на доли активов портфеля. В следствии отсутствия ограничений на доли активов в портфеле потенциальная прибыль инвестора не ограничена максимальной доходностью одного из активов, входящих в портфель.[12, С.128]

Индексная модель Шарпа

 В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины  независимую Х и зависимую Y линейным вы ражением типа Y = а + (ЗхХ. В модели Шарпа независимой считается ве личина какогото рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какойто i ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью, а доходность rm   доходностью рыночного портфеля. Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1, rm 2, ... , rmN . При этом до ходность ri какойто i ой ценной бумаги имела значения ri 1, ri 2, ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:                      

где ri, t   доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2000 года); a i   параметр , постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ; P i   параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности; rm t   доходность рыночного портфеля в момент t ; it   случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri t и rm t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое  значение необходимо уделить параметру  р i , поскольку он определяет чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности. В общем случае, если j >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при P j < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E ( r ) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1  менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной Р .

Определение параметров ai и _№ регрессионной модели. Для нахождения параметров a i и _P i по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров a i и _P i берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок в. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры a i и _P i принимают следующие значения: изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri . Однако величины a i и й не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки _e i . Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri , определяется разбросим случайных ошибок , который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки.

Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.  Дисперсию i-ой ценной бумаги можно представить в виде двух слагаемых:

    В этом случае первое слагаемое будет  показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели ( ri t = a i + _P irm t ), а второе слагаемое  степень неточности рег рессионной модели. Значит, чем ближе величина ^а² /а] ближе к единице, тем более точная регрессионная модель.

    Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой  оценки линейной регрессии, то есть мерой  того, насколько точно уравнение  регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri t и rm t .

    Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий   случайных ошибок, то вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

      В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на ( N 2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении a i и _P i. Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

1)  Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E ( ε i )=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .  
2)  Дисперсия случайных ошибок σ_ε ² _{, i} для каждой ценной бумаги постоянна.  
3)  Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.  
4)  Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

5)  Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.  
Используя эти упрощения, можно получить выражения E ( ri ), σ _i ² и σ i , j для любых ценных бумаг в портфеле:

      Можно подвести итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии a i и _P i позволяет выразить с их помощью все начальные элементы  ожидаемую доходность E( ri ) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии  а² и ковариации б i j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений i, n величин _Рi , n значений <, а также E ( rm ) и a 2 m . Следовательно всего потребуется найти: ( n + n + n +2) = 3 n +2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.  
При различных стадиях рынка (растущий, падающий) для достижения лучшего эффекта можно пользоваться следующими комбинациями коэффициентов:

      Таблица 5

Комбинации  коэффициентов регрессионного анализа

      На  западных рынках значения a, b, R² регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать a-, b-, R²-анализ.

Модель  Тобина с безрисковым активом

В отличии  от моделей Марковица и Блека, которые связаны с выбором  класса допустимых портфелей, модель Тобина в большей степени относится к структуре рынка, нежели к структуре допустимых портфелей. В этой модели предполагается существование безрискового актива, доходность которого не зависит от состояния рынка и всегда имеет одно и то же значение. Корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.

      Дж. Тобин показал, что если Q = (p_i, …, p_n) – некоторый портфель (p_i – доля i-го актива в портфеле), а f – безрисковый актив, то все портфели вида