Шпаргалка по "Финансовой математике"

— для срока больше года сложные проценты больше простых:

— для срока, равного году, множители наращения равны друг другу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Формулы наращения по ставке сложных процентов. Множитель наращения и способы его определения.

Идея сложных процентов  очень проста. В них, в отличие  от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Формула наращения сложных  процентов   S = P (1 + i) n,

где Р - первоначальная сумма долга;  S - наращенная сумма; i - ставка наращения (десятичная дробь);    n - срок ссуды.

Увеличение суммы долга  в связи с присоединением к  ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма  – наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Наращение по сложным  процентам следует законам геометрической прогрессии и при большом числе  периодов начисления приводит к впечатляющим результатам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. Начисление сложных процентов несколько раз в год.

Идея сложных процентов  очень проста. В них, в отличие  от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся  в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Начисление сложных  процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления. При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m.

Тогда  S = P (1 + j/m) mn

P – первоначальная сумма, S – наращенная сумма, i – годовая процентная ставка (проценты сложные), n – период начисления в годах

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Номинальная и эффективная ставки процентов.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Наряду с номинальной  ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат.

Расчет эффективной  ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку  ее значение позволяет сравнивать между  собой финансовые операции, имеющие  различные условия: чем выше эффективная  ставка финансовой операции, тем (при  прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Эффективная процентная ставка по вкладу учитывает капитализацию  процентов во вклад и отличается от номинальной процентной ставки, указанной банком в условиях депозитного  договора.

Эффективная процентная ставка всегда не меньше, чем номинальная. Такую ставку рассчитывают, чтобы сравнить доходность вкладов на разных условиях: с капитализацией и без.

Чтобы рассчитать ее самостоятельно, можно воспользоваться формулой:

Процентный доход = сумма  вклада * [(1 + процентная ставка / количество периодов начисления в году) ^ количество периодов начисления — 1]

Эффективная % ставка (iэ) – это % ставка, которая дает такую же % ставку, что и номинальная  с начислением % m раз в году. iэ = ((1+j/m)^m )- 1 – показатель доходности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Начисление процентов с дробным числом лет: общий метод и смешанный метод.

Часто срок в годах  для начисления процентов не является целым числом. В этом случае применяют  два метода: общий и смешанный.

1) Согласно общему методу, расчет ведется непосредственно по формуле S=P(1+i)n,

1) Смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов

S=P(1+i)в степени a *(1+bi), где n=a+b, a-целое число лет, b-дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления

является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета  следует иметь в виду, что множитель  наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, причем наибольшая разница наблюдается при дробной части, равной 0.5. (1/2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Простые и сложные процентные ставки: номинальная и реальная.

Различают номинальную и реальную процентной ставки. Когда говорят о процентных ставках, то имеют ввиду реальные процентные ставки. Однако реальные ставки не могут быть непосредственно наблюдаемы. Заключая кредитный контракт, мы получаем информацию о номинальных процентных ставках. Номинальная % ставка - это процент в денежном выражении.

Реальная ставка процента - это увеличение реального богатства, выраженное в приросте покупательной  способности инвестора или кредитора, или обменный курс, по которому сегодняшние товары и услуги, реальные блага, обмениваются на будущие товары и услуги. То что, рыночная норма процента испытает непосредственное влияние инфляционных процессов первым предположил И.Фишер.

Фишер Ирвинг (1867-1947), американский экономист. Труды в области теории денежного обращения и займа., который определял номинальную процентную ставку и ожидаемого темпа инфляции.

Взаимосвязь между ставками может быть представлена следующим  выражением:  i=r+e,, где i - номинальная, или рыночная, процентная ставка;

 r - реальная процентная ставка; е - темп инфляции.

 Только в особых  случаях, когда на денежном  рынке нет повышения цен (е=0), реальная и номинальная процентные  ставки совпадают. Номинальная ставка % может изменяться вследствие изменений реальной % ставки процента или вследствие изменения инфляции. Так как заемщик и кредитор не знают, какие темпы примет инфляция, то они исходят из ожидаемых темпов инфляции. Уравнение обретает вид: i=r+eе,  где eе - ожидаемый темп инфляции.

 Уравнение известно, как эффект Фишера. Его суть в том, что номинальная % ставка определяется не фактическим темпом инфляции, так как он не известен, а ожидаемым темпом инфляции. Динамика же номинальной % ставки повторяет движение ожидаемого темпа инфляции.

Иногда может сложиться  ситуация, когда реальные процентные ставки по займам имеют отрицательное значение. Это может произойти в случае превышения темпов инфляции темпов роста номинальной ставки. Отрицательные процентные ставки могут установиться в период галопирующей инфляции или при гиперинфляции, а также в период спада в экономике, когда спрос на займы падает и номинальные процентные ставки понижаются. Положительные реальные процентные ставки означают рост прибылей кредиторов. Это происходит, если инфляция снижает реальную цена кредита (полученного ссуды).

В отличие от эффективной, номинальную процентную ставку как правило относят к единице времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. Определение срока ссуды и уровня ставки процентов.

Определение процентной ставки - одна из наиболее трудных задач  кредитования. Кредитор стремится установить достаточно высокую ставку для того, чтобы получить прибыль по кредиту  и компенсировать все свои затраты и риски. В то же время ставка должна быть достаточно низкой, чтобы заемщик не обратился к другому кредитору и мог успешно погасить кредит. Чем выше степень конкуренции на рынке банковских кредитов, тем острее необходимость поддерживать процентную ставку на разумном уровне, сопоставимом с показателями конкурентов на данном сегменте рынка.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость  решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких  как срок финансовой операции или  уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и  величина процентов.

Если срок определяется в годах, то n = (FV - PV) : (PV • i),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная  база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV) : (PV • i)] •  T.

Необходимость определения  уровня процентной ставки возникает  в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Эквивалентные процентные ставки.

Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалентных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки – такие ставки, значения, которых в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции.

 Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные стачки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется  инструмент для корректного сравнения  различных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.