Предмет финансовой математики

 

  Проверка точности модели

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abc{E(t}), поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%xabs{E(t)}/Y(t)} в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 3.3) составляет 27,7, что дает среднюю величину 27,7/16 = 1,73%.

Следовательно, условие точности выполнено.

 

  Проверка условия адекватности

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков Е(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 10.

Рассчитаем значение q:

q=int[2(N-2)/3-2 ].

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16

q = int[2(16-2)/3-2 ]= int[28/ 3-2 ] =

= int[9,33 - 3,1 8] = int[6,16] = 6 .

Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 10, q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию Дарбина-Уотсона;

2) по первому коэффициенту  автокорреляции r(1).

1)

Примечание. В случае если полученное значение больше 2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4.

Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличными значениями d1 и d2. Таблицу значений d1  и d2 можно найти, например, в литературе. Для нашего случая d1=1,08, а d2=1,36.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае это условие выполнено, так как 1,36<1,86<2, следовательно, уровни ряда Е(1) независимы.

2)

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|<rтаб, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб - 0,32. Имеем: |r(1)|<rтаб< rтаб = 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

RS= (Еmax  - Еmin)/S

где Еmax - максимальное значение уровней ряда остатков Е(t);

      Еmin - минимальное значение уровней ряда остатков Е(t) (гр. 2 табл. 4):

              S- среднее квадратическое отклонение.

      Еmax =14,74, Emin =-15,08,      Еmax - Еmin= 14,74 - (-15,08) = 29,82;

RS=2982/7,96=3,75.

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5%-го уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00 < 3,75 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Ур(t) на четыре квартала вперед.

 

Расчет прогнозных значений экономического показателя

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты а(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения а(16) и 6(16) (см. табл. 3), по формуле 5.1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Ур(t)- Для t=17 имеем:

Yp(17)-Уp(16+1)-[а(16)+1хb(16)]хF(16+1-4)=[а(16)+1хb(16)]х F(13)=[409,21+1х6,26]х0,9360=388,9.

Аналогично находим Уp(18), Ур(19) и Ур(20):

Ур(18)=Ур(16+2)=[а(16)+2хb(16)]хF(16+2-4)=[а(16)+2хb(16)]х

хF(14)=[409,21+2х6,26]х0,9826=414,4;

Ур(19)=Ур(16+3)=[а(16)+3хb(16)]хF(16+3-4)=[а(16)+3хb(16)]х F(15)-[409,21+3х6,26]х1,0256-438,9;

Ур(20)=Ур(16+4)=[а(16)+4хb(16)]хF(16+4-4)=[а(16)+4хb(16)]х хF(16)=[409,21+4х6,26]х1,0268=445,9.

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

Рис.2. Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных