Предмет финансовой математики

Пример. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю

1 000 000 рублей. Банк  приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Р = 1 000 000 ( 1 – 90/360 * 0,2 ) = 950 000 руб.

Полученная сумма составит 950 000 руб., а дисконт 50 000 руб.

 

 

 

Тема 3

Модели развития финансово-кредитных операций по схеме сложных процентов.

3.1   Начисление сложных годовых  процентов.

3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам

3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки

3.4.Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

 

 

3.1  Начисление сложных годовых процентов

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные процент.. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение сложным процентам можно представить как последователь-реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой их начисления, часто называют капитализацией процентов. Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная ставка наращения.

          3.1

Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1 + i) Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам

представлена на рис. 3.1.

Величину (1 + i)" называют множителем наращения по сложным процентам. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/ АСТ.

ПРИМЕР 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (3.1) находим

5 = 1 000 000(1 + 0,155)5 = 2055464,22 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и n. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмысленным. Например, уже при i = 120% (а такая инфляционная ставне столь уж давно наблюдалась в России, правда для краткосрочных ссуд) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множитель наращения (1 + 1,2)10 = 2656.

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Выше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делите на два периода и . Соответственно,

ПРИМЕР 3.2. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 1998 г. по 1 мая 2000 г. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка 14% АСТ/АСТ) по календарным годам.  Получим следующие суммы процентов (в тыс. Руб.):

за период с 1 мая до конца года (244 дня): 10 000( - 1) =

= 915,4; 

за 1999 г.: 10 000 х х 0,14 = 1528,2;

наконец, с 1 января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10 000 х х

 

х ( - 1) = 552,4. Итого за весь срок — 2996 тыс. руб. Такой же результат получим для всего срока в целом:

10 000 х(1,142 - 1) = 2996.

Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Не устойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать "классическую" схему, например, с помощью приме нения плавающих ставок. Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - постфактум. В этом случае, а также тогда, когда изменения размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

Пример 3.3 Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит

q = (1 + 0,125)2(1 + 0.1275)3 = 1,81407.

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций (проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления). Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле. Второй, смешимый, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

,

где n=a+b - срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для n < 1 справедливо соотношение 1 + ni/ > (1 + i)". Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.

ПРИМЕР 3.4. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 2 года и 160 дней ( = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. Сумму долга на конец срока определим по формуле (3.1): 5 = 3 000 000 х 1.1653'43836 = 5071935,98 руб., в свою очередь, смешанный метод дает 5 =-3 000 000 х 1,1653 х (1 + 0,43836 х 0,165) = 5086595,98 руб.

3.2. Сравнение  роста по сложным и простым процентам

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых  уровнях  процентных  ставок  соотношения   эти множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):

— для срока меньше года простые проценты больше сложных:

,

— для срока больше года сложные проценты больше простых:

— для срока, равного году, множители наращения равны друг другу.

Заметим также, что при п > 1 с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. В табл. 3.1 приведены значения множителей наращения для 1s = I = 12%, К = 365 дней.

Множители наращения	Срок ссуды
	30 дн.	180 дн.	1 год	5 лет	10 лет	100 лет
1+ni	1.01644	1.05918	1.12	1.6	2.2	13
(1+i)	1.00936	1.05748	1.12	1.76234	3.10584	83522.3

 

 Наиболее наглядно влияние  вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые удвоения первоначальной суммы. Получим следующие формулы удвоения:

удвоение по простым процентам:

п =

удвоение по сложным процентам:

n=

ПРИМЕР. Найдем сроки удвоения для is = i = 22,5%: 
n=      n= =3.04

3.3. Наращение  процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки

 В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой. Параметр п в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5 х 4 = 20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,0820 = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% годовых с поквартальным начислением" процентов.

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/т. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

S=P(1+j/m)N,                                              

где N - число периодов начисления (N=mn, может быть и дробное число).

Пример Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка 60% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Вычислить наращенную сумму.

Решение. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется N = (28/3) кварталов. Число периодов начисления в году m=4. По формуле находим:

S = 20 000 000 х (1+ 0,60/4) (28/3) = 73 712 844,81 руб.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/т.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+iэ)n=(1+j/m)mmn                                       

Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

iэ=(1+j/m)m-1.                                               

Обратная зависимость имеет вид:

j=m[(1+iэ)1/m-1]                                                  

Пример. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки в 10% годовых.

Решение. По формуле находим:

iэ=(1+0,1/4)4 - 1 - 0,1038,    т.е. 10,38%.

Пример. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку в 12% годовых.

Решение. По формуле находим:

j=4х[ (1+0,12)(1/4) - 1]=0,11495,  т.е. 11,495%.

 

3.4.Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

S=Р(1+i)n и решим ее относительно Р

Пример. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить его современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов в 10% годовых.

Решение. По формуле находим:

Р = 1 000 000х(1+0,10)(-5) = 620 921,32 руб.

Если проценты начисляются т раз в году, то получим:

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.

Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Разность D=S-Р называют дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

Р=S(1-dсл)n                                            

где dсл - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен:

D=S-Р=S-S(1-dсл)n

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Пример. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1000000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке в 10% годовых. Определить дисконт.

Решение. По формуле (1.2.11) находим:

Р = 1 000 000 х (1 - 0,10)5= 590 490,00 руб.;

D =S - Р = 1 000 000 - 590 490 - 409 510 руб.

3.5 Доходность ссудных  и учетных операций с удержанием  комиссионных.