Предмет финансовой математики

За открытие счета, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые повышают доходность операции, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере Р выдана на срок n лет. При ее выдаче удерживаются комиссионные.

 

Тема 4. Модели финансовых потоков.

 

4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры.

4.2. Наращенная сумма и современная стоимость постоянной ренты постнумерандо.

4.3. Модели расчета параметров потоков платежей постнумерандо и пренумерандо.

 

1. Виды потоков  платежей и их основные параметры.

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серия платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты в целях погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей - это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

Финансовые ренты и их классификация

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты -величина каждого отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признакам.

В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р-срочные, где р - число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один раз в году, т раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.

Верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов (или ограниченные) и бесконечные (или вечные). В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные (или отсроченные). Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

 

2. Наращенная сумма и современная  стоимость постоянной ренты постнумерандо.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины  R(1+i)n-1 ,так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии:

S = R + R(1+i) + R(1+i)2 + … + R(1+i)n-1,

в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Отс юда:

                                                              (4.1)

где                                                                                              (4.2)

коэффициент наращения ренты. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки

Пример 5.1. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (4.1) находим:

S = 10х[(1+0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 млн. руб.

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:

R(1+j/m)m(n-1),  R(1+j/m)m(n-2),…,  R.

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)m, а число членов п. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна:

                                                                                            (4.3)

Пример. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m=4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (4.3) находим:

S = 10х[(1+0,1/4)(3*4) - 1] / [(1+0,1/4) 4 - 1] = 33 222 млн. руб.

Рента р-срочная, m=1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/р. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

у которой первый член R/р, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

                                                   (4.4)

где                                                                                                  (4.5)

(коэффициент наращения р-срочной ренты при m=1).

Пример. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (4.4) находим:

S = (10/4)х[(1+0,1)3 - 1] / [(1+0,1) (1/4)- 1] = 34 317 млн. руб.

Рента р-срочная, р=т. В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом, число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Получаем:

                                                           (4.6)

Пример 5.4. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб., в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (4.6) находим:

S = 10х[(1+0,1/4)(ЗХ4) - 1] / 0,1 - 34 489 млн. руб.

Рента р-срочная, р≥1, т≥1. Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р≠т.

Первый член ренты R/р, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

Второй член ренты к концу срока возрастет до

Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/р, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов пт.

В результате получаем наращенную сумму.

                                                 (4.7)

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.

Пример. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (4.7) находим:

S-(10/4)х[(1+0,10/4) (ЗХ4)-1]/[(1+0,10/4)(12/4)-1]-34   5296   млн. руб..

Формулы современной величины. Обычная годовая рента. Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна:

,

где         v = - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv2, Rv3, …, Rvn, сумма которой равна:

                                                                     (4.8)

где       - коэффициент приведения ренты.                                  (4.9)

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты п и процентной ставки i.

Пример В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке в 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение. По формуле (4.8) находим:

А = 10 х [1- (1+0,1)(3)]/0,1 =24 868 млн. руб.

Рента р-срочная, р≥1, m≥1. Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений р и т.

                                                                                  (4.10)

от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных р и т.

4.3. Модели расчета параметров потоков платежей постнумерандо и пренумерандо.

Рента описывается набором основных параметров - R, n, i и дополнительными параметрами p, m. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна их двух обобщающих характеристик – S или A, и необходимо рассчитать значение недостающего параметра.

Определение размера члена ренты. Исходные условия: задается S или A и набор параметров, кроме R. Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обратившись к формуле , получим

R = S / sn;i                                                                                                                           (4.12)

Пусть теперь условиями договора задана современная стоимость ренты. Если рента годовая (m=1), то из (4.8) следует

R = A / an;I                                                                                           (4.13)

Таким образом, если ставится задача накопить за определенный срок некоторую сумму S, то прибегают к формуле (4.12), если же речь идет о погашении задолженности в сумме A, то следует воспользоваться (4.13).

Аналогичным образом  можно определить R и для других условий ренты.