Курсовая работа по «Математической экономике»

График функции издержек С(Q) в краткосрочном периоде относительно аналогичного графика в долгосрочном периоде остается неизменно возрастающим. Функция средних издержек AC(Q) как в долгосрочном, так и в краткосрочном периоде убывает. В свою очередь функция предельных издержек MC(Q) в долгосрочном периоде убывает, а в краткосрочном периоде возрастает. Это может значить, что фирме А предпочтительнее осуществлять производство продукта в долгосрочном периоде, снижая тем самым свои предельные издержки.  
3. Анализ потребительских предпочтений и определение функции спроса на продукцию корпорации

3.1 Выражение функции полезности

 

      Запишем выражение  функции полезности:

, где

Степенная функция полезности применяется для описания предпочтения потребителя, который не удовлетворен при отсутствии полезного вклада хотя бы одного блага. Коэффициенты степенной функции полезности b1 и b2  характеризуют относительный вклад товаров в совокупную полезность потребителя. Значения Q01 и Q02 показывают количества товаров, при которых потребитель ощущает неудовлетворенность, выражают так называемые «уровни бедности».

Подставим имеющиеся данные и получим функцию полезности в следующем виде:

 

Таким образом, видно, что объем блага фирмы А, соответствующий полной неудовлетворенности потребителя, составляет Q01 = 20. Объем блага фирмы В, соответствующий полной неудовлетворенности потребителя, составляет Q02  = 10. Также можно сказать, что 25% потребителей нуждаются в благе А и 75% потребителей нуждаются в благе В.

3.2 Анализ функции полезности

Зависимость полезности  от объема  потребления блага при  фиксированных  объемах потребления  других  благ  называется кривой полезности.

      Функция полезности  представляет собой зависимость  между количественно выраженной  удовлетворенностью потребителя  использованными благами (товарами) и объемами потребления этих  благ.

      Зависимость полезности  от объема потребления блага  xi при фиксированных объемах потребления других благ называется кривой полезности U(xi).

Построим графики кривых полезностей для фирмы А и В, если функция полезности выглядит следующим образом:

Таблица 13 – Расчет вспомогательных данных для построения кривых полезности

QA	QB	UA	UB
1467,9	5930,4	4795,2	4491,49
1787,1	6650,7	5040,08	4895,39
2024,4	7232,4	5201,37	5213,61
2223,9	7749,0	5326,23	5490,87
2402,4	8225,7	5430,95	5742,63

Рисунок 25 – График кривой полезности при фиксированном объеме товара В

 

Рисунок 26 – График кривой полезности при фиксированном объеме товара А

На основании полученных графиков можно сделать вывод, что кривые полезности возрастают, а их темпы роста замедляются с  увеличением потребления товара.

Кривые безразличия – это изолинии функции полезности (кривые постоянной полезности), основным условием которых является неизменность величины полезности во всех точках кривой:

Построим кривые безразличия для различных уровней полезности. Для этого найдем уравнение кривой безразличия. Основное условие, которому отвечают кривые безразличия – неизменность величины полезности во всех точках кривой:

          

         

 

Возьмем следующие значения уровней полезности: U1 = 4795,2;  U3 = 5201,4;  U5 = 5430,95

Таблица 14 – Расчет данных для построения кривых безразличия

Qa	Qb,U1	Qb,U3	Qb,U5
1467,9	7157,64	7976,08	8448,3
1787,1	6698,39	7464,25	7906,12
2024,4	6423,29	7157,64	7581,34
2223,9	6223,62	6935,11	7345,62
2402,4	6064,39	6757,65	7157,64

 

Рисунок 27 – Кривые безразличия

 Предельная полезность представляет  собой прирост полезности набора  благ (x1,x2) при увеличении объема потребления i–го блага на единицу. Функция предельной полезности имеет следующий вид:

Таким образом, подставляя имеющиеся данные, получим следующие функции предельных полезностей: 

 

 

 

Таблица15 – Расчет предельных полезностей

Qa	Qb	MUa	MUb
1467,9	5930,4	0,828	0,569
1787,1	6650,7	0,713	0,553
2024,4	7232,4	0,649	0,541
2223,9	7749,0	0,604	0,532
2402,4	8225,7	0,570	0,524

 

Рисунок 28 - Кривая предельной полезности  товара А при фиксированном объеме товара В

Рисунок 29 - Кривая предельной полезности  товара В при фиксированном объеме товара А

     Исходя из полученных  графиков можно сказать, что при  увеличении объема потребления  предельная полезность падает  как для товара А, так и для  товара В.

Количественной характеристикой интенсивности эффекта замены (а значит и формы кривых безразличия) служит предельная норма замены. Предельная норма замены показывает, на сколько единиц можно сократить потребление блага x2, чтобы при единичном увеличении потребления блага x1 полезность набора благ не изменилась. Функция предельной нормы замены имеет следующий вид:

             . 

            .

 

Таким образом, подставляя имеющиеся данные, получим следующие функции предельных норм замены: 

 

 

 

      Фиксируя значение ресурса заменителя, найдем значения соответствующих предельных норм замены. Это величина определяющая количество данного одного товара, от которого потребитель готов отказаться ради увеличения другого товара на единицу. При этом происходит замещение одного товара другим, а интенсивность замещения как раз показывает предельная норма замещения.

 

Таблица 16 – Расчет предельных норм замены

Qa	Qb	MRSab	Qb	Qa	MRSba
1467,9	7889,2	1,8	5930,4	3454,3	1,7
1787,1	7382,9	1,4	6650,7	2453,6	1,1
2024,4	7079,7	1,2	7232,4	1911,6	0,8
2223,9	6859,6	1,0	7749,0	1557,6	0,6
2402,4	6684,1	0,9	8225,7	1305,1	0,5

 

Рисунок 30 – График предельной нормы замены MRSAB

 

Рисунок 31 – График предельной нормы замены MRSBA

По полученным графикам можем сделать вывод, что предельная норма замены товара А на товар В, как и товара В на товар А убывает с увеличением заменяемого блага.

3.3 Задача потребительского выбора

 

Задачей потребительского выбора является нахождение такого набора потребляемых благ (х1; х2), при котором максимизируется совокупная полезность, вместе с тем, расход не должен превышать доход, т.е. должно   выполняться бюджетное ограничение:

Решим задачу потребительского выбора, при заданных значениях ограничения бюджета и ценах услуг, установленных фирмами исходя из их средних издержек в 5-й год, увеличенных на уровень рентабельности фирм.

Рассчитаем значения цены на услуги фирм А и В:

 

Подставляя исходные и полученные данные, получим следующий вид задачи потребительского выбора:

 

Графически задача выбора потребителя может быть решена путем построения бюджетной линии  и кривой безразличия, таким образом, чтобы построенная кривая безразличия касалась бюджетной линии. Соответствующая этой кривой безразличия полезность U будет максимально возможной полезностью при данном доходе I, а сочетание хА и хВ – искомый набор благ.

Qb = ( I - p1*Qa)/p2

Таблица 17 - Расчет данных для построения бюджетной линии

Qa	Qb
1879,969	8334,260
2879,969	7721,276
3879,969	7108,293
4879,969	6495,309
5879,969	5882,325

 

Таблица 18 - Расчет данных для построения кривой безразличия

U	6095,529
Qa	Qb
1879,969	9064,127
2879,969	7854,430
3879,969	7108,293
4879,969	6583,611
5879,969	6186,134

 

Рисунок 32 – Графическое решение задачи потребительского выбора

Полученная точка касания отражает оптимальный набор потребления услуг:

                  хA=3879,9;

                   хВ=7108,3;

Аналитически задачу потребительского выбора можно решить через следующую систему:

 

Подставляя ранее полученные данные, получим:

 

Решив заданную систему, получим:

Таким образом, результаты графического решения равны полученным результатам аналитического решения.

Сравним найденные оптимальные объемы потребления с их объемами производства (предоставления) услуг. Оптимальный объем предоставляемых услуг фирмы А больше объема производства услуг на протяжении всех периодов. Это говорит о том, что фирма А осуществляет недовыпуск своих услуг на рынке. Оптимальные объемы по предоставлению услуг фирмой В сначала превышают, но в последствии становятся меньше объема производства услуг. Это свидетельствует о том, что вначале спрос на услуги, предоставляемые фирмой В превышает объем их предоставления, но позже фирма В перенасыщает рынок своими услугами.

3.4 Функция потребительского  спроса

 

Найдем отношение предельной полезности услуги фирмы А к её цене, выражающее предельную полезность денег, то есть сколько единиц полезности приносит потребителю 1 потраченный рубль на данную услугу.

 

Подставляя полученные выше значения оптимального набора благ:

Проверим правильность нахождения значения оптимального набора благ, для это найдем  предельную полезность денег, выразив его через услугу фирмы В

Подставляя полученные выше оптимальные значения набора благ:

Таким образом MUp(A) = MUp(B), что говорит о правильности расчета значений оптимального набора благ.

 

Выразим функции потребительского спроса в виде зависимостей pi(Qi) из закона спроса Маршалла, принимая при этом объем другого товара равным его оптимальному объему.

По  полученным выражениям  составим таблицу для построения  графиков функций потребительского спроса.

Таблица 19 – Расчет данных для построения функций потребительского спроса для фирмы А и В

А		В
QA0	20	QB0	10
b1	0,25	b2	0,75
pА	323,0800	pВ	527,0600
QAopt	3879,9000	QBopt	7108,3000
MUP			0,00122196
QA	pA (QA)   (тыс.руб)	QB	PB (QB)  (тыс.руб)
3879,9000	323,0852	5000	575,6036
7500	196,7084	5500	562,0249
10000	158,4533	6000	549,9104
12500	133,9949	6500	538,9984
15000	116,8464	7108,3000	527,0600
20000	94,1461	7500	520,0298
25000	79,6260	8000	511,6959