Статистические методы изучения уровня и динамики себестоимости продукции

Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =150 млн руб., Мо=152 млн руб., Ме=150,909 млн руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение выпуска продукции (150  млн руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

ЗАДАНИЕ 2

По исходным данным:

1. Установите наличие и характер связи между признаками - среднегодовая стоимость выпуска продукции и себестоимость единицы продукции методом аналитической группировки, образовав 5 групп с равными интервалами по факторному признаку.
2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициентов детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

 

Выполнение задания:

2.1 При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х –Выпуск продукции и результативным признаком Y – себестоимость единицы продукции.

Групповые средние значения получаем из таблицы 3, основываясь на сумме по группе. Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.

Таблица 2.7

 

№	группа по среднегодовому выпуску  продукции , млн. руб.	Число наблюдений	удельный вес %	Выпуск продукции		Себестоимость единицы продукции
				Всего	на 1 предприятие	всего	на  1 предприятие
1	100-120	4	0,1333	430	107,5	54,900	13,725
2	120-140	5	0,1667	632	126,4	77,695	15,539
3	140-160	11	0,3667	1650	150	195,076	17,7341818
4	160-180	7	0,2333	1190	170	133,546	19,078
5	180-200	3	0,1	570	190	60,390	20,13
	итого	30	100	4472	149,0667	521,607	17,3869

 

Вывод. Анализ данных табл. 2.7 показывает, что с увеличением объема выпуска продукции от группы к группе систематически возрастает и средняя себестоимость по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2.2 Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический  коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,                                                    (10)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                      (11)               где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется по формуле:

:

                                               (12)                                                       

Расчет  по формуле (12):

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 2.8

Таблица2. 8

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер предприятия	затраты на производство продукции
1	13,000	-4,387	19,245
2	13,440	-3,947	15,578
3	13,970	-3,417	11,675
4	14,490	-2,897	8,392
5	15,000	-2,387	5,697
6	15,250	-2,137	4,566
7	15,250	-2,137	4,566
8	15,860	-1,527	2,331
9	16,335	-1,052	1,106
10	17,080	-0,307	0,094
11	17,040	-0,347	0,120
12	17,666	0,279	0,078
13	17,812	0,425	0,181
14	17,850	0,463	0,214
15	17,818	0,431	0,186
16	17,936	0,549	0,302
17	17,784	0,397	0,158
18	17,980	0,593	0,352
19	17,940	0,553	0,306
20	18,170	0,783	0,613
21	18,240	0,853	0,728
22	18,860	1,473	2,170
23	19,266	1,879	3,531
24	19,210	1,823	3,324
25	19,030	1,643	2,700
26	19,360	1,973	3,893
27	19,580	2,193	4,810
28	19,440	2,053	4,215
29	19,950	2,563	6,569
30	21,000	3,613	13,054

 

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

 

Вариация признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию равна 4,025

Межгрупповая  дисперсия (факторная) измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,                                      (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 2.9 При этом используются  групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Таблица 2.9

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по выпуску продукции, млн руб.		Среднее значение
1	2	3	4	5
100-120	4	13,725	-3,6619	53,638
120-140	5	15,539	-1,8479	17,0737
140-160	11	17,734	0,347	1,32665
160-180	7	19,078	1,6911	20,0187
180-200	3	20,13	2,7431	22,5738
итого	30			114,631

 

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Вариация результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки равна 3,821.

 

Расчет эмпирического  коэффициента детерминации по формуле (9):

  

^{или 94,9%}

Вывод. 94,9% вариации затрат на производство продукции предприятий обусловлено вариацией объема выпуска продукции, а остальные – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                             (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 2.10

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического  корреляционного отношения  по формуле (14):

                                  (14)

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между выпуском продукции и затратами на производство предприятия является весьма тесной.

 

 

Регрессионный анализ

Найдем линейную регрессию, которая выражается уравнениями  прямой (линейной функцией) вида Y_x = a₀ + a₁x;

Параметры уравнения парной линейной регрессии  найдем по формулам:

                                        а₀ =- a₁ *                                              (15)

Таблица 2.11

Вспомогательная таблица  для вычисления коэффициентов регрессии

№ предприятия	х	у		Х2	Ут
1	100	13,000	1300	10000	13,4831916
2	105	13,440	1411,2	11025	13,88098797
3	110	13,970	1536,7	12100	14,27878435
4	115	14,490	1666,35	13225	14,67658072
5	120	15,000	1800	14400	15,07437709
6	122	15,250	1860,5	14884	15,23349564
7	125	15,250	1906,25	15625	15,47217346
8	130	15,860	2061,8	16900	15,86996983
9	135	16,335	2205,225	18225	16,26776621
10	140	17,080	2391,2	19600	16,66556258
11	142	17,040	2419,68	20164	16,82468113
12	146	17,666	2579,236	21316	17,14291823
13	148	17,812	2636,176	21904	17,30203677
14	150	17,850	2677,5	22500	17,46115532
15	151	17,818	2690,518	22801	17,5407146
16	152	17,936	2726,272	23104	17,62027387
17	152	17,784	2703,168	23104	17,62027387
18	155	17,980	2786,9	24025	17,85895169
19	156	17,940	2798,64	24336	17,93851097
20	158	18,170	2870,86	24964	18,09762952
21	160	18,240	2918,4	25600	18,25674807
22	164	18,860	3093,04	26896	18,57498516
23	169	19,266	3255,954	28561	18,97278154
24	170	19,210	3265,7	28900	19,05234081
25	173	19,030	3292,19	29929	19,29101863
26	176	19,360	3407,36	30976	19,52969646
27	178	19,580	3485,24	31684	19,68881501
28	180	19,440	3499,2	32400	19,84793355
29	190	19,950	3790,5	36100	20,6435263
30	200	21,000	4200	40000	21,43911904
cр знач	149,06667	17,387	2641,191967	22841,6	17,3869

 

а₁== 0,079

а₀ = 17,387- 0,079*149,067= 5,527

Значит, в общем виде уравнение  регрессии выглядит следующим образом:

_{После решения уравнения  наносим на график фактические уровни и исчисленную  прямую линию, характеризующую  тенденцию динамического  ряда.}

Рис. 2.1

 

Вывод: коэффициент а= 5,527- это начальное значение  у, не зависящее от х.

Коэффициент b=0,079 показывает, что при увеличении выпуска продукции  на 1 млн. руб затраты на производство продукции в среднем увеличиться на 0,791 млн.руб.

Для удобства интерпретации  параметра  используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле, %:

                                    Э =

                                                  (16)

Э=0,079* 149,067/17,387=0,682

Коэффициент эластичности Э=0,682 показывает что с изменением  стоимости основных фондов на 1 %, выпуск продукции увеличиться на 0,682%.

Коэффициент корреляции

Линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

 

      

                      (17)

 

 

Таблица 2.11

Вспомогательная таблица  для вычисления коэффициента корреляции

-49,06666667	-4,387	215,25056	2407,537778	19,245
-44,06666667	-3,947	173,9267267	1941,871111	15,578
-39,06666667	-3,417	133,4868933	1526,204444	11,675
-34,06666667	-2,897	98,68772667	1160,537778	8,392
-29,06666667	-2,387	69,37922667	844,8711111	5,697
-27,06666667	-2,137	57,83876	732,6044444	4,566
-24,06666667	-2,137	51,42806	579,2044444	4,566
-19,06666667	-1,527	29,11289333	363,5377778	2,331
-14,06666667	-1,052	14,79672667	197,8711111	1,106
-9,066666667	-0,307	2,78256	82,20444444	0,094
-7,066666667	-0,347	2,451426667	49,93777778	0,120
-3,066666667	0,279	-0,855906667	9,404444444	0,078
-1,066666667	0,425	-0,45344	1,137777778	0,181
0,933333333	0,463	0,432226667	0,871111111	0,214
1,933333333	0,431	0,83346	3,737777778	0,186
2,933333333	0,549	1,610693333	8,604444444	0,302
2,933333333	0,397	1,164826667	8,604444444	0,158
5,933333333	0,593	3,51906	35,20444444	0,352
6,933333333	0,553	3,834826667	48,07111111	0,306
8,933333333	0,783	6,995693333	79,80444444	0,613
10,93333333	0,853	9,327226667	119,5377778	0,728
14,93333333	1,473	21,99829333	223,0044444	2,170
19,93333333	1,879	37,45672667	397,3377778	3,531
20,93333333	1,823	38,16356	438,2044444	3,324
23,93333333	1,643	39,32486	572,8044444	2,700
26,93333333	1,973	53,14216	725,4044444	3,893
28,93333333	2,193	63,45369333	837,1377778	4,810
30,93333333	2,053	63,50922667	956,8711111	4,215
40,93333333	2,563	104,9162267	1675,537778	6,569
50,93333333	3,613	184,0272267	2594,204444	13,054
		1481,5422	18621,86667	120,756