Сопротивление материалов

2. Найти предельное значение  силы  F при заданном размере a  и расчетном сопротивлении бетона на сжатие  R_b,  на растяжение R_bt .

Дано:  a = 12 см; R_b = 17 МПа, R_bt = 1,2 МПа.

 Рис. 9.1

Решение.

1. Определение наибольших напряжений  в поперечном сечении. Брус работает на внецентренное сжатие. Чтобы выявить точки с наибольшими напряжениями, следует установить положение нейтральной линии, для чего нужно провести главные центральные оси и определить необходимые геометрические характеристики сечения.

1) Определение положения центра тяжести сечения и главных центральных осей.

Поперечное сечение симметрично относительно оси x. Следовательно, ось x – главная центральная ось и центр тяжести лежит на этой оси, т. е. y_C = 0, и остается найти координату x_C.

Разбиваем сечение на три  прямоугольника  площадями   A₁ = A₂ = 5a ·1,5a = 7,5a²;   A₃ = 2a ·3a = 6a².   
В соответствии с требованием условия (см. п. 1) числовое значение  a  не подставляем.

Площадь всего сечения  A = A₁ + A₂ + A₃ = 2·7,5a² + 6a² = 21a².

 За начальную ось отсчета принимаем центральную ось y₃ среднего, вертикального прямоугольника. Тогда статический момент его площади S_3y3 = 0. Статический момент площади каждого из горизонтальных прямоугольников

S_1y3 = S_2y3 = A₁x₁= 7,5a² · 1,5a = 11,25a³,

где x₁ = 2,5a − a = 1,5a.

Статический момент площади всего сечения

S_y3 = S_1y3 + S_2y3 + S_3y3 = 2 · 11,25a³ + 0 = 22,5a³.

Координата  центра тяжести  
                                                x_С = S_y3 / A = 22,5a³/ (21a²) = 1,07a.

Положительное значение свидетельствует о том, что центр тяжести лежит правее оси y₃. Заметим, что отсчет можно было вести и от центральной оси y₁ (y₂) горизонтальных прямоугольников. В этом случае S_1y1 = S_2y2 = 0 и координата центра тяжести получилась бы отрицательной. Принимать за начальную любую другую вертикальную ось нерационально вследствие увеличения объема вычислений. 

Откладываем далее от начала координат O₃ вдоль оси  x отрезок x_C,  находим положение центра тяжести O всего сечения и проводим вторую главную центральную ось – ось y (см. рис. 9.2).

 

Рис. 9.2

2) Определение геометрических характеристик сечения.

Для определения  моментов инерции сложного сечения воспользуемся зависимостью между моментами инерции относительно параллельных осей:

      (9.1)

где –  моменты инерции i-го прямоугольника относительно собственных центральных осей  x_i, y_i (собственные моменты инерции),   i = 1, 2, 3. Эти оси проходят соответственно через точки  O₁, O₂, O₃;

c_i, d_i – расстояния между осями x_i  и x,  y_i  и y  соответственно :

c₁ = c₂ = 1,5a + 0,75a = 2,25a;    c₃ = 0;

d₁ = d₂ = x₁ – x_C = 1,5a – 1,07a = 0,43a;

d₃ = – x_C = – 1,07a.

Моменты инерции площади прямоугольника относительно собственных осей определяем по известным формулам:

где h и b  условно обозначают соответственно высоту и ширину прямоугольника.

Суммируя выражения (9.1) по  i  и подставляя значения входящих величин, окончательно получаем:

= [2(1,41 + 37,97) + 4,5]a⁴ = 83,25a⁴;

=

      = [2(15,62 + 1,39) + 2 + 6,87]a⁴ = 42,89a⁴.

 Квадраты радиусов инерции сечения:

Координаты точки приложения силы  F  (эксцентриситеты):

e_x = x_K = 5a – (a +1,07a) = 2,93a;

e_y = y_K = − 3a.

3) Определение положения нейтральной линии и наиболее напряженных точек поперечного сечения.

Найдем отрезки, которые  нейтральная линия отсекает на координатных осях:

Откладываем эти отрезки  с учетом алгебраического знака и через две полученные точки проводим нейтральную линию n −n. Напряжения на ней равны нулю. По мере удаления от нейтральной линии напряжения увеличиваются. В произвольной точке с координатами x и y их определяют по формуле

,

где N = − F − продольная сила (сжатие), M_x = Fe_y  и M_y= Fe_x − изгибающие моменты.

С учетом этих выражений усилий окончательная формула напряжений принимает вид

.                                                  (9.2)

Из чертежа (см. рис. 9.2) видно, что наиболее удаленными от нейтральной линии являются точки  K  и B . Их координаты:  
   x_K = e_x = 2,93a, y_K = e_y = − 3a;  
   x_B = − (x_C + a) = − (1,07a + a) = 2,07a,  y_B = 3a.

В точке B возникают наибольшие растягивающие напряжения

в точке K − наибольшие сжимающие напряжения

2. Определение предельной силы  F_пред . Поскольку расчетные сопротивления бетона на сжатие и растяжение различны, значение предельной силы определяем из условия прочности как на сжатие  |s_K| £ R_b, так и на растяжение  s_B £ R_bt.  Когда сила F  достигает предельного значения, условия прочности превращаются из неравенств в равенства. Подставив в эти равенства записанные выражения напряжений s_K и s_B ,  получим два варианта уравнения для предельной силы:

0,356 F / (a²) = R_b и 0,202 F / (a²) = R_bt .

Найдем  решения этих уравнений:

Предельным является меньшее из двух значений силы F: 

F_пред = F₂ = 85,5 кН.

ЗАДАЧА № 10

Стержень составной стальной колонны сжимается расчетной  силой  F  (рис.10.1). Требуется:

1. С помощью коэффициента  продольного изгиба  j  подобрать из условия устойчивости в плоскости  y  (относительно оси x) составное сечение из двух прокатных швеллеров при заданном расчетном сопротивлении материала R .

2. Определить расстояние  a  между швеллерами из условия равноустойчивости стержня в обеих главных плоскостях.

3. Найти значение критической  силы  F_cr.

Дано:  F = 950 кН;   l = 4,5 м;   R = 240 МПа.

Рис. 10.1

Решение.

Подбор сечения производится по площади  A  исходя из условия устойчивости

      (10.1)

1) Приближение 0. Следуя рекомендациям к решению задачи в методических указаниях [2] при закрепленных концах стержня принимаем j₀ = 0,8. Из условия устойчивости следует, что

.

По сортаменту прокатной  стали (ГОСТ 8240-89, см. методические указания [2], приложение 3) предварительно принимаем два швеллера № 22  площадью A = 2 · 26,7 = 53,4 см² и радиусом инерции i_x = 8,89 см.

 Проверяем подобранное сечение на устойчивость относительно оси x . Согласно схеме закрепления стержня (см. рис. 10.1, a) коэффициент приведения длины m = 0,7. Гибкость  стержня колонны из двух швеллеров относительно указанной оси равна гибкости одного швеллера, так как радиус инерции

.

Следовательно,        

Из таблицы значений коэффициента  j,  зависящего от  λ (см. табл. 8 методических указаний [2]),  выбираем соответствующий диапазон:

λ' = 30;   j' = 0,931;

λ'' = 40;   j'' = 0,894.

Значение j, соответствующее гибкости  λ₀ = 35,4, определяем линейной интерполяцией:

.

Напряжения  согласно формуле (10.1)

.

Получили значительное недонапряжение, поэтому сечение  следует уменьшить.

2) Приближение 1. Для ускорения процесса подбора за новое значение  коэффициента j  принимаем среднее арифметическое между двумя значениями из предыдущего приближения:  

j₁ = [j₀ + j (λ₀)] / 2 = (0,8 + 0,911) / 2 = 0,855.

После этого повторяем  расчетный цикл: 

.

По сортаменту принимаем  два швеллера № 20  (A = 2∙ 23,4 = 46,8 см²;  i_x = 8,07 см).

Гибкость 

Коэффициент j  определяем в том же диапазоне, что и в предыдущем приближении:

.

Напряжения

.

Окончательно принимаем два швеллера № 20, каждый из которых имеет по сортаменту следующие геометрические характеристики:  A_шв = 23,4 см²: J_{шв, x} = 1 520 см⁴;  J_y1 = = 113 см⁴ (ось y₁  см. на рис. 10.1, б).

2. Определение расстояния  a  между швеллерами. Условие равноустойчивости стержня в обеих главных плоскостях предполагает соблюдение равенства моментов инерции двух швеллеров относительно центральных осей составного сечения: J_x = J_y (см. рис. 10.1, б). Ось x  является главной центральной как для одного швеллера, так и для составного сечения, поэтому  J_x = 2J_{шв, x} .  В перпендикулярном направлении для одного швеллера главной центральной является ось y₁,  а для составного сечения – параллельная ей ось y.  Поэтому воспользуемся зависимостью между моментами инерции относительно параллельных осей:   
                                      J_y = J_y1 + (a/2)² A_шв .  
       Таким образом, условие равноустойчивости составного стержня принимает вид уравнения  относительно  a:    
                                  2J_{шв, x} = 2[J_y1 + (a/2)² A_шв],   
которое имеет решение

3. Определение критической силы. Так как рабочая гибкость  λ = λ₁ == 39  меньше предельной для стали λ_E = 102,  то потеря устойчивости произойдет за пределом упругости (пропорциональности) материала. Поэтому критическую силу определяем не по формуле Эйлера  F_cr = π²EJ_min / (μl)²,  а по эмпирической зависимости Тетмайера−Ясинского через критическое напряжение  s_cr = a – bλ,  где экспериментально установленные параметры a и b для стали марки Ст3 составляют:   a = 305 МПа,  b = 1,12 МПа.

Следовательно,

s_cr = 305 – 1,12·39 = 261,3 МПа.

Критическая сила

F_cr = s_cr ·2A_шв = 261,3·10⁶∙2·23,4∙10^-4 Н = 1 223·10³ Н = 1 223 кН.

Запас устойчивости   n = F_cr / F = 1 223/ 950 = 1,29 > 1.

ЗАДАЧА № 11

На стальную балку с жесткими шарнирными опорами (рис. 11.1), выполненную из двутавра № 20, падает груз расчетным весом G.  Требуется:

1. Найти наибольшие нормальные  напряжения при статическом приложении  нагрузки.

2. То же сделать при  динамическом нагружении, приняв высоту падения груза h  равной высоте двутавра.

3. Определить наибольшие  динамические напряжения в том  случае, когда правая опора заменена  пружиной податливостью  α.

4. Сравнить все три результата.

Дано:  G = 5,4 кН;   l = 5,6 м;   10³α = 21 м/кН;   E = 206 ГПа.

Рис. 11.1

 

Решение.

1. Определение напряжений при статическом приложении груза  G. При изгибе независимо от характера изменения нагрузки в процессе приложения

       (11.1)

Для определения  M_max  строим эпюру изгибающего момента, в дальнейшем называемую грузовой и обозначаемую M_F. Предварительно из уравнений равновесия находим опорные реакции:

Σm_B = 0,   V_A l – G · 2l / 3 = 0,

V_A = (2/3)G;                                                          (11.2)

Σm_A = 0,   − V_B l + G l / 3 = 0,

V_B = G / 3.                                                         (11.3)

Эпюра  M_F  построена на рис 11.2, а. Она ограничивает треугольник высотой

   M_F,max = V_A l /3 = (2/3)G l / 3 = (2/3) 5,4·5,6 /3 = 6,72 кН·м.

Согласно сортаменту (ГОСТ 8239-89, см. методические указания [2], приложение 1) двутавр № 20 имеет момент сопротивления W_x = 184 см³ = 184∙10^-6 м³. Тогда статические напряжения (11.1)

s_st = 6,72·10³ / (184·10^-6) = 36,52·10⁶ Па = 36,52 МПа.

2. Определение динамических напряжений.

 а) Вычисление статического прогиба под грузом G. Воспользуемся для этого методом Мора с перемножением грузовой и единичной эпюр способом Верещагина. С этой целью строим эпюру  M₁ для случая,  когда к балке вместо силы G приложена безразмерная «сила», равная единице (рис. 11.2, б). Единичная эпюра подобна грузовой. Заменив  G на 1 в формуле (11.2), получим V_1A = 1 ∙ 2/ 3. Тогда изгибающий момент

M_1,max = V_1A l / 3 = 1·(2 / 3)·5,6 / 3 = 1,244 м.

Рис. 11.2

Согласно методу Мора перемещение (прогиб) в точке приложения силы  G

.                                                         (11.4)

В соответствии с правилом Верещагина (рис. 11.3)

,                                                         (11.5)

где w_i - площадь участка грузовой эпюры M_F; h_i - ордината единичной эпюры M₁, расположенная  под центром тяжести этого участка грузовой эпюры; i = 1, 2 – номера участков, в пределах которых единичная эпюра линейна, т. е. изменяется по линейному закону монотонно, без изменения углового коэффициента.

Объединяя формулы (11.4) и (11.5), получаем

f_st = (1/EJ_x)(w₁ h₁ + w₂ h₂).     (11.6)

Площадь грузовой эпюры на участке CB

w₁ = 0,5 M_F,max l / 3 = 0,5·6,72·5,6 / 3 = 6,27 кН·м²,

на  участке AC