Выборочное наблюдение

 

Р (|

| £ ) ® 1 при п Õ ¥,

где Р – вероятность неравенства, стоящего в скобках;

 – любое сколь угодно  малое положительное число;

х - генеральная средняя.

Таким образом, теорема П.А. Чебышева доказывает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным простой случайной повторной выборки. Однако, пользуясь ею невозможно указать вероятность появления ошибок определенной величины.

На этот вопрос отвечает центральная предельная теория А.М. Ляпунова, доказанная в 1901 г [2, С 216]. Согласно теореме при достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсной, вероятность того, что между выборочной и генеральной средней | | не превзойдет по абсолютной величине некоторую величину tm. Можно сказанное записать как:

 

Р (х - х) £ tm = Ф(t),

где Ф(t) представляет собой нормированную функцию Лапласа

 

Ф(t) =

Величина m есть средняя квадратическая стандартная ошибка выборки. Из этой теоремы следует, что при достаточно большом числе независимых наблюдений, распределение выборочных средних (а следовательно, и их отклонений от генеральной средней) приближенно нормально.

В математической статистике доказывается, что величина средней квадратической  стандартной ошибки простой случайной повторной выборки может определена по формуле:

 

mх =

,

 

где n – объем выборки

2 - генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);

- средняя квадратичное отклонение  в генеральной совокупности 

Из формулы видно, что величина mх  - зависит от колебаемости признака в генеральной совокупности (чем больше вариация признака, тем больше ошибка выбора) и от объема выборки (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик). Величину tmх – называют предельной ошибкой выборки. Обозначив предельную ошибку Dх, получим:

 

Dх  = tmх;      DР = tmр,

т.е. предельная ошибка выборки равна t – кратному числу средних ошибок выборки.

В зависимости от принятой вероятности Р определяется значение коэффициента кратности (t) по удвоенной нормированной функции Лапласа.

Наиболее часто употребляемых уровни доверительной вероятности и  соответствующие  значения  t  для выбора  достаточно  большого  объема     (n ³ 30), представлены в таблице:

 

t	1,00	1,96	2,00	2,58	3,00
Ф(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

 

Величина средней ошибки в условиях большой выборки (п > 30) рассчитывается по формулам:

а) при случайной повторной выборке:

 

mх =

:          mР =

 

б) при случайной бесповторной выборке:

 

mх  =

              mР = ,

 

где N - объем генеральной совокупности (число входящих а нее единиц).

При расчете ошибок возникают существенные затруднения: величины и Р по генеральной совокупности неизвестны. Эти величины в условиях большой выборки заменяют S (выборочная дисперсия) и W (выборочная доля), рассчитанными по выборочным данным [13, с. 280].

Формулы предельной ошибки дают возможность решить задачи трех видов:

1. Определение пределов генеральных характеристик с заданной степенью надежности (доверительная вероятность) на основе показателей, полученных по данным выборки.

Доверительные интервалы для генеральной средней:

 

± ∆х;

- ∆х ≥ ≥ + ∆х

 

Доверительные интервалы для генеральной доли:

 

Р =

± ∆Р

- ∆Р ≥ Р ≥ +  ∆Р

 

2. Определение доверительной вероятности того, что генеральная характеристика может отличаться от выборной не более чем на определенную заданную величину.

Доверительная вероятность является функцией от t и рассчитывается по формуле:

 

t =

.

 

По величине t определяется доверительная вероятность удвоенной нормированной функции Лапласа.

3. Необходимый объем выборки, который с практической вероятностью обеспечивает заданную точность выборки. Он определяется на основе допустимой величины ошибки:

 

;      

 

3. Расслоенная (типическая или районированная) выборка

 

Различные формы организации выборочного наблюдения – типическая, серийная, механическая, комбинированная – представляют собой дальнейшее развитие и видоизменение простой случайной выборки. Их применение обусловлено соображениями удешевления или облегчение процесса наблюдения, особым характером объекта наблюдения или отсутствием необходимой информации для составления списка единиц наблюдения.

Социально-экономические явления характеризуется большим разнообразием и не являются достаточно однородными в отношении изучаемых признаков. При наличии в составе генеральной совокупности различных признаков желательно так организовать выборку, чтобы обеспечить более разнообразное представительство в выборной совокупности различных частей (типов) явления.

Для этого общий список единиц генеральной совокупности в целом предварительно разбивается на отдельные списки, каждый из которых включает единицы, принадлежащие к одной однородной по определенному признаку группе (типу). В качестве типов могут быть использованы группы, сложившиеся в практике статистики. Из каждой выделенной группы в случайном порядке отбирается некоторое количество единиц.

Общее число единиц выборочной совокупности распределяется между группами пропорционально численности групп в составе генеральной совокупности. Такой отбор называется пропорциональным.

N – общая численность единиц  в генеральной совокупности:

 

N = N1 +  N2 + … + Nk.

 

где N1, N2, … Nk – численность отдельных групп генеральной совокупности;

n – общий объем выборочной совокупности.

Объем выборки для каждой группы равен:

 

ni = n

где - удельный вес данной группы в генеральной совокупности

n = n1 + n3 + … + nк

Кроме пропорционального размещения по группам, численности единиц выборочной совокупности применяется оптимальное размещение, при котором число наблюдений в группе определяется по формуле:

 

ni = n

 

Величина стандартной ошибки типической выборки зависит только от точности определения групповых средних, то есть от величины внутригрупповых дисперсии [13, с. 283]. Согласно правилу сложения дисперсии общая дисперсия слагается из межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий. Следовательно, ошибка типической случайной выборки меньше, чем простой случайной выборки.

Предельная (максимально возможная) ошибка типической выборки равна:

 

Dх  = tmх;      DР = tmр

 

Таким образом, при проведении типической выборки необходимо разбить общий объем выборки n между группами и определить число подлежащих наблюдению единиц в каждой группе.

Для организации типической выборки необходимо располагать данными, позволяющими выделить в составе генеральной совокупности однородные группы, составить списки единиц этих групп и т.д.

При районированной выборке случайный отбор проводится внутри уже сложившихся территориальных (или организационных) единиц; степень однородности выделяемых «районов» не поддается регулировке со стороны исследователя; рассеяние внутри «районов» может оказаться значительным, а порайонные средние, наоборот, могут мало отличаться друг от друга. В этом случае такая выборка утрачивает свои преимущества перед случайной выборкой из общей массы. При организации простой случайной или типической выборки единицы наблюдения совпадают, т.е. отбираются единицы, признаки которых подлежат регистрации при наблюдении.

 

4. Серийная выборка

 

Сущность серийной выборки в том, что вместо случайного отбора единиц совокупности в серийной выборке в случайном порядке отбираются группы (серии, гнезда) единиц, которые подвергаются сплошному обследованию. Серийная выборка имеет преимущества организованного характера и широко используется там, где генеральная совокупность состоит из определенным образом обособленных групп единиц. Например, при статистическом контроле качества готовой продукции серийная выборка применима как «мерная тара», например, сверла одного типоразмера упаковывается в конические ящики со строго установленным количеством в каждом из них. На практике часто встречается серийный отбор с равными сериями [13, с. 284].

Поскольку при серийной выборке обследуется незначительное число серий, случайная ошибка серийной выборки получается несколько больше, чем при других способах отбора, т.е. серийная выборка менее точна, чем выборка основанная на индивидуальном отборе. Однако, серийный отбор широко применяется в практике выборочных обследований, особенно в случаях, когда обследование охватывает обширную территорию и гнездами являются территориальные единицы, что связано со значительной экономией денежных средств на проведение наблюдения.

 

5. Механическая выборка

 

Одной из распространенных форм в практике выборочного наблюдения является механический отбор. При механическом отборе наблюдению подвергаются единицы находящиеся на равном расстоянии в определенной последовательности расположения единиц генеральной совокупности. Механический отбор очень удобен в тех случаях, когда невозможно заранее составить список единиц генеральной совокупности. Выборка берется из постепенно формирующейся во времени совокупности или из практически бесконечной совокупности (проверять каждую пятую деталь, опрашивать каждого десятого пешехода и т.д.) При проведении механической выборки нужно установить шаг отсчета, т.е. расстояние между отбираемыми единицами, и начало отсчета, т.е. номер той единицы, которая должна быть обследована первой. Шаг отсчета устанавливается в зависимости от предлагаемого процента отбора.

Выбор начала отсчета непосредственно связан со способом расположения единиц генеральной совокупности в списках. В случае неупорядоченного расположения, из совокупности единиц первого интервала путем случайного отбора выбирают начальную единицу.

В целях экономии средств данные по некоторым признакам можно анализировать  на основании изучения всех единиц выборочной совокупности, а по другим признакам  - на основании части единиц выборочной совокупности , которые представляют подборку единиц первоначальной выборки. Этот способ называют двухфазным отбором. При наличии нескольких подвыборок речь идет о многофазном отборе.

Часто бывает целесообразно взять из изучаемой совокупности две или несколько независящих друг от друга выборок,  применяя для получения каждой из них один и тот же способ отбора. Такие выборки называются взаимопроникающими. Преимущество взаимопроникающих выборок состоиот в том, что они позволяют получить отдельные и независимые оценки тех или иных признаков изучаемой совокупности.

Если проведение разных выборок поручено разным исследователям, то сравнение результатов обеспечивает взаимную проверку работы самих исследователей.

Если в генеральной совокупности единицы располагаются случайным образом по отношению к изучаемому признаку, то механический отбор можно рассматривать как разновидность случайного бесповторного отбора, поэтому для оценки ошибки механической выборки применяются формулы случайной бесповторной выборки:

 

mх  =

;                  Dх  = tmх;     

 

mР  =

;                 DР =  tmр

 

6. Практика применения выборочного метода наблюдения

 

При правильной организации результаты выборочного обследования по точности не уступают данным сложного наблюдения. Поэтому для современной организации статистического наблюдения актуальными стали проблемы внедрения выборочного метода. В отечественной статистике уже накоплен определенный опыт выборочных обследований не только в качестве самостоятельного наблюдения, но и в сочетании со сплошным.  Выборка применяется в расширении программы переписей населения, когда часть вопросов адресована не всему населению, а лишь специально отобранной его части. При выборочной разработке данных появляется возможность более детального описания уменьшенной совокупности, снижаются затраты подготовительного и машинного времени. Одним из направлений практического применения выборочного метода является статистический контроль качества. Например, из всей партии готовой продукции отбирается на пробу некоторое число изделий и оценивается качество каждого из них. По доле дефектных изделий в пробе судят о качестве всей партии изделий.

Непременным условием правильной постановки статистического контроля качества является предварительное изучение закономерностей изучаемого процесса на основе больших выборок, которые проводятся непосредственно перед поставкой текущего предупредительного контроля

Специальной формой организации выборочного наблюдения является метод моментальных исследований, получивший распространение при изучении структуры внутрисменных затрат времени рабочих и в дальнейшем при характеристике использования фонда времени производственного оборудования. Сущность метода моментальных наблюдений состоит в периодической фиксации состояний наблюдаемых единиц в заранее установленные или случайно выбранные моменты времени.