Статистика потребления населением товаров и услуг

 

Для анализа  коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

 

 

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 10 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция  отсутствует, если выполняется следующее  условие:

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

Не обращаясь  к таблицам, можно пользоваться приблизительным  правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 > 0.49 < 2.5, то автокорреляция остатков присутствует.

Для более  надежного вывода целесообразно  обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=10 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.08; d₂ = 1.36.

Поскольку 1.08 < 0.49 и 1.36 < 0.49 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков присутствует.

 

 

3. Анализ влияния доходов населения на потребительские расходы

Очевидно, что потребительские расходы зависят от величины дохода. Проверим это предположение с помощью корреляционно-регрессионного анализа.

Таблица 10

Среднедушевые доходы и расходы в ВО, руб.

Период	Доходы, X	Расходы, Y
2000	2 023	1169
2001	2 719	1561
2002	3 481	1992
2003	4 411	2432
2004	5 245	2965
2005	6 345	3585
2006	8 682	4623
2007	10 521	5806
2008	12 230	7153
2009	12 239	7259
2010	14 115	8624
2011	15 638	10050

 

Уравнение парной регрессии.

Использование графического метода.

Этот метод  применяют для наглядного изображения  формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого  в прямоугольной системе координат  строят график, по оси ординат откладывают  индивидуальные значения результативного  признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.

Совокупность  точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании  поля корреляции можно выдвинуть  гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми  возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное  уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε - случайная  ошибка (отклонение, возмущение).

Причины существования  случайной ошибки:

1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;

2. Агрегирование  переменных. Например, функция суммарного  потребления – это попытка  общего выражения совокупности  решений отдельных индивидов  о расходах. Это лишь аппроксимация  отдельных соотношений, которые  имеют разные параметры. 

3. Неправильное  описание структуры модели;

4. Неправильная  функциональная спецификация;

5. Ошибки измерения. 

Так как отклонения ε_i  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям  x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками  параметров α и β регрессионной  модели являются соответственно  величины а и b, которые носят  случайный характер, т.к. соответствуют  случайной выборке; 

Тогда оценочное  уравнение регрессии (построенное  по выборочным данным) будет иметь  вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов  дает наилучшие (состоятельные, эффективные  и несмещенные) оценки параметров уравнения  регрессии.

Но только в том случае, если выполняются  определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших  данных система уравнений имеет  вид 

12a + 97649 b = 57219

97649 a + 1040043677 b  = 619004763

Из первого  уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем  эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.625, a = -317.4446

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.625 x - 317.4446

Эмпирические  коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета  параметров регрессии построим расчетную  таблицу (табл. 11)

Таблица 11

Расчетные данные

x	y	x2	y2	x • y
2023	1169	4092529	1366561	2364887
2719	1561	7392961	2436721	4244359
3481	1992	12117361	3968064	6934152
4411	2432	19456921	5914624	10727552
5245	2965	27510025	8791225	15551425
6345	3585	40259025	12852225	22746825
8682	4623	75377124	21372129	40136886
10521	5806	110691441	33709636	61084926
12230	7153	149572900	51165409	87481190
12239	7259	149793121	52693081	88842901
14115	8624	199233225	74373376	121727760
15638	10050	244547044	101002500	157161900
97649	57219	1040043677	369645551	619004763

 

 Параметры уравнения регрессии. 

Выборочные  средние.

 

 

 

Выборочные  дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

Коэффициент корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем  показатель тесноты связи. Таким  показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который  рассчитывается по формуле:

 

Линейный  коэффициент корреляции принимает  значения от –1 до +1.

Связи между  признаками могут быть слабыми и  сильными (тесными). Их критерии оцениваются  по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере  связь между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент  линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

 

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное  уравнение регрессии имеет вид y = 0.62 x -317.44

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно  придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.62 показывает среднее  изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора  х на единицу его измерения. В  данном примере с увеличением  на 1 единицу y повышается в среднем  на 0.62.

Коэффициент a = -317.44 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными  значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может  привести к неверным результатам, и  даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой  выборки, нет гарантий, что также  будет при экстраполяции влево  или вправо.

Подставив в  уравнение регрессии соответствующие  значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного  показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Коэффициент эластичности.

Коэффициенты  регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного  показателя у и факторного признака х.

Для этих целей  вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент  эластичности E показывает, на сколько  процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

 

В нашем примере  коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х  на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно  влияет на Y.

Бета – коэффициент

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

 

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического  отклонения S_x приведет к увеличению среднего значения Y на 1 среднеквадратичного отклонения S_y.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью  ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя  ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о  хорошем подборе уравнения регрессии  к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно  использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

 

где

 

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен  коэфииценту корреляции r_xy = 1.

Полученная  величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Для любой  формы зависимости теснота связи  определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

 

Данный коэффициент  является универсальным, так как  отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции r_xy.

В отличие  от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную  таблицу

Таблица 12

Расчетные данные

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
2023	1169	946.88	12954600.56	49335.98	37386091.17	0.19
2719	1561	1381.87	10286452.56	32088.76	29359239.17	0.11
3481	1992	1858.1	7707564.06	17929.54	21682216.17	0.0672
4411	2432	2439.33	5458064.06	53.68	13886181.17	0.00301
5245	2965	2960.56	3251710.56	19.74	8366074.17	0.0015
6345	3585	3648.03	1400080.56	3972.98	3212757.51	0.0176
8682	4623	5108.6	21097.56	235809.12	296571.01	0.11
10521	5806	6257.93	1076925.06	204244.06	5681469.51	0.0778
12230	7153	7326.02	5687032.56	29935.44	16749238.34	0.0242
12239	7259	7331.64	6203835.56	5277.06	16822985.84	0.01
14115	8624	8504.1	14866808.06	14376.15	35731502.51	0.0139
15638	10050	9455.94	27896883.06	352908.83	56258750.34	0.0591
97649	57219	57219	96811054.25	945951.35	245433076.92	0.68