Статистика потребления населением товаров и услуг

 

Стандартная ошибка (погрешность) рассчитывается по формуле:

 

где i = (t-m-1, t)

 

Рис. 2 Сглаженная кривая динамики расходов на потребление

2.5. Выявление тренда  и построение уравнения

При выборе вида функции тренда можно воспользоваться  методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода  является равенство интервалов между  уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

Δ¹_t = Y_t - Y_t-1

Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными  разностями 1-го порядка:

Δ²_t = Δ¹_t - Δ¹_t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δ^j_t = Δ^j-1_t - Δ^j-1_t-1

Если общая  тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Δ¹₂ = Δ¹₃ = ... = Δ¹_n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая  тенденция выражается параболой  второго порядка: Y = a+ bt + ct², то получим постоянными конечные разности второго порядка: Δ²₃ = Δ²₄ = ... = Δ²_n, нулевыми – разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются темпы  роста, то для выравнивания применяется  показательная функция.

При выборе формы  уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем  больше должно быть наблюдений при  одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы  кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма  квадратов отклонений фактических значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует  минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R².

 

Таблица 6

Расчетные данные

yi	Δ1t	Δ2t	Темп роста
1574	-	-	-
1995	421	-	1.27
2463	468	47	1.23
2994	531	63	1.22
3724.33	730.33	199.33	1.24
4671.33	947	216.67	1.25
5860.67	1189.34	242.34	1.25
6739.33	878.66	-310.68	1.15
7678.67	939.34	60.68	1.14
8644.33	965.66	26.32	1.13

 

 

Линейное  уравнение тренда имеет вид y = bt + a

Находим параметры уравнения методом  наименьших квадратов.

Система уравнений  МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y*t

  Таблица 7

Расчетные данные

t	y	t2	y2	t*y
1	1574	1	2477476	1574
2	1995	4	3980025	3990
3	2463	9	6066369	7389
4	2994	16	8964036	11976
5	3724.33	25	13870633.95	18621.65
6	4671.33	36	21821323.97	28027.98
7	5860.67	49	34347452.85	41024.69
8	6739.33	64	45418568.85	53914.64
9	7678.67	81	58961972.97	69108.03
10	8644.33	100	74724441.15	86443.3
55	46344.66	385	270632299.73	322069.29

 

 

Для наших  данных система уравнений имеет  вид:

10a₀ + 55a₁ = 46344.66

55a₀ + 385a₁  = 322069.29

Из первого  уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 814.23, a₁ = 156.22

Уравнение тренда:

y = 814.23 t + 156.22

Эмпирические  коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 814.23 показывает среднее изменение  результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 814.23.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

 

 

Дисперсия

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

 

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

 

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

 

 

 

 

По таблице  Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Рассчитаем  границы интервала, в котором  будет сосредоточено 95% возможных  значений Y при неограниченно большом  числе наблюдений и t = 6

(156.22 + 814.23*6 - 2.306*920.23 ; 156.22 + 814.23*6 - 2.306*920.23)

(4121.35;5961.81)

 

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

 

m = 1 - количество  влияющих факторов в уравнении  тренда.

Uy = y_n+L ± K

где

 

L - период  упреждения; у_n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  T_табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице  Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Точечный  прогноз, t = 11: y(11) = 814.23*11 + 156.22 = 9112.71

 

9112.71 - 1000.46 = 8112.25 ; 9112.71 + 1000.46 = 10113.17

Интервальный  прогноз:

t = 11: (8112.25;10113.17)

Точечный  прогноз, t = 12: y(12) = 814.23*12 + 156.22 = 9926.94

 

9926.94 - 1048.9 = 8878.04 ; 9926.94 + 1048.9 = 10975.84

Интервальный  прогноз:

t = 12: (8878.04;10975.84)

 

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения  тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента. 

 

 

Статистическая  значимость коэффициента b подтверждается

 

 

Статистическая  значимость коэффициента a не подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  тренда.

Определим доверительные  интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут  следующими:

(b - t_набл S_b; b + t_набл S_b)

(814.23 - 2.306*41.83; 814.23 + 2.306*41.83)

(717.76;910.69)

(a - t_набл S_a; a + t_набл S_a)

(156.22 - 2.306*259.57; 156.22 + 2.306*259.57)

(-442.34;754.78)

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a статистически незначима.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

 

 

Fkp = 5.32

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим

  Таблица 8

Расчетные данные

t	y	y(t)	|y - y(t)|
1	1574	970.45	603.55
2	1995	1784.67	210.33
3	2463	2598.9	135.9
4	2994	3413.13	419.13
5	3724.33	4227.35	503.02
6	4671.33	5041.58	370.25
7	5860.67	5855.81	4.86
8	6739.33	6670.03	69.3
9	7678.67	7484.26	194.41
10	8644.33	8298.48	345.85

 

Проверка на наличие автокорреляции остатков.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной  модели по МНК является независимость  значений случайных отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.

В экономических  задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

2. Инерция.  Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и  т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью  деловой активности. Поэтому изменение  показателей происходит не мгновенно,  а обладает определенной инертностью. 

3. Эффект паутины.  Во многих производственных и  других сферах экономические  показатели реагируют на изменение  экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание  данных. Зачастую данные по некоторому  продолжительному временному периоду  получают  усреднением данных  по составляющим его интервалам. Это может привести к  определенному  сглаживанию колебаний, которые  имелись внутри рассматриваемого  периода, что в свою очередь  может служить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

 

Обнаружение автокорреляции

Графический метод

Есть ряд  вариантов графического определения  автокорреляции. Один из них увязывает  отклонения ε_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ε_i (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция  становится более наглядной, если построить  график зависимости ε_i от ε_i-1

 

Коэффициент автокорреляции.

 

Если коэффициент  автокорреляции r_ei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

 

Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для  обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии  на начальном этапе часто проверяют  выполнимость одной предпосылки: условия  статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется  некоррелированность соседних величин  e_i.

  Таблица 9

Расчетные данные

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
1574	970.45	603.55	364274.8	0
1995	1784.67	210.33	44236.87	154626.83
2463	2598.9	-135.9	18468.96	119872.57
2994	3413.13	-419.13	175667.21	80217.07
3724.33	4227.35	-503.02	253032.05	7038.57
4671.33	5041.58	-370.25	137084.39	17628.89
5860.67	5855.81	4.86	23.67	140710.38
6739.33	6670.03	69.3	4802.29	4151.72
7678.67	7484.26	194.41	37796.17	15653.47
8644.33	8298.48	345.85	119609.58	22932.2
			1154995.98	562831.69