Статистика пенсионного фонда

 

Из данных анализа можно сделать вывод, что наибольшая численность пенсионеров наблюдается в одном муниципальном образовании. Большинство муниципальных образований характеризуются наименьшей численностью пенсионеров, в них проживающих.

В 22 муниципальных образованиях встречается не более 46,764 тысяч пенсионеров.

 

2.3 Расчет и анализ структуры средних величин показателей вариаций

Используя необходимые  данные приложения А проведём анализ численности пенсионеров в Амурской области.

Для расчета средних  величин и показателей вариации будем использовать ранее составленную таблицу 5.

 Так как мы имеем  дело с интервальным рядом распределения численности пенсионеров, то их средняя численность вычисляется по формуле (17) (средняя арифметическая взвешенная). В Амурской области численность пенсионеров в среднем на каждое муниципальное образование за 2012 год составила:

 тыс. чел.

Для характеристики структуры  совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака. Для её нахождения воспользуемся формулой (18):

 тыс. чел.

Мода показывает, что  наиболее часто встречающаяся численность  пенсионеров среди городов и районов Амурской области составляет 8,61 тыс. чел.

Под медианой понимается – величина, которая делит численность  упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая - большие. Для нахождения медианы пользуемся формулой (19):

 тыс. чел. 

Т.е. 50% муниципальных  образований имеет численность  пенсионеров не менее 9,39 тысяч человек.

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей вариации. Находим их по формулам (20)-(24):

R=51,328 – 3,114=48,214 тыс. чел.

Размах вариации учитывает  только крайние значения признака и  не учитывает все промежуточные.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют  среднее линейное отклонение ( ), которое учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности:

 тыс. чел.

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко. Во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии:

 

Дисперсия показывает, что  в 2012 году квадрат отклонения числа пенсионеров от среднего числа пенсионеров по совокупности составляет 73,095 единиц.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака.

σ = 8,55 тыс. чел.

Т.е., отклонение абсолютного  числа пенсионеров от их средней  численности в 2009 году составляет 8,55 тыс.чел.

 

Полученный коэффициент вариации превышает 35%, значит, можно делать вывод о неоднородности совокупности.

 

2.4 Корреляционно-регрессионный анализ численности пенсионеров Амурской области

 

Как известно, явления  общественной жизни складываются под  воздействием не одного, а целого ряда факторов, то есть эти явления многофакторны. Между факторами существуют сложные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный показатель какого-либо из включённых в модель факторов при фиксированном положении остальных факторов.

С помощью корреляционно-регрессионного анализа определим, существует ли взаимосвязь между численностью пенсионеров в Амурской области и общей численностью населения в этом же субъекте Российской Федерации.

Допустим, на численность  пенсионеров влияет общая численность  населения. В качестве результативного  признака выступает численность  пенсионеров Амурской области, а факторный признак – численность населения Амурской области. Обозначим:

y – численность пенсионеров в Амурской области;

x – численность населения Амурской области.

Показатели численности  пенсионеров и общей численности  населения в Амурской области  по данным приложения А и таблицы Б.1 в приложении Б за период с 2003 по 2012 гг. сведены в таблице 6.

Таблица 6 - Показатели численности пенсионеров и общей численности населения в Амурской области за период с 2003 по 2012 гг. (на конец года)

годы	Численность населения Амурской области, тыс. чел. (х)	Численность пенсионеров в Амурской области, тыс.чел. (у)
2003	923,1	210,3
2004	911,4	212,7
2005	901,0	211,4
2006	894,5	212,1
2007	887,6	212,7
2008	881,1	215,2
2009	874,6	217
2010	869,6	220,6
2011	864,5	221,7
2012	860,7	225,8

 

На рисунке 4 изображена точечная диаграмма, отражающая тип зависимости межу факторным и результативным признаками.

 

 

Рисунок 4 - точечная диаграмма, отражающая тип зависимости межу факторным и результативным признаками

 

Между х и у наблюдается линейная зависимость. Составим уравнение регрессии:

 

yx=a0+a1*x

 

Параметры a0 и a1 вычисляются с помощью решения системы нормальных уравнений (26) и по формулам (27)-(28). Для того чтобы заполнить систему нормальных уравнений (26) фактическими данными, необходимо определить , , . Расчеты этих показателей представлены в таблице 7.

Таблица 7 – Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным тыс. человек

год	x	y	x2	y2	xy	yx	(y-yx)	(y-yx)2
2003	923,1	210,3	852113,61	44226,09	194127,93	207,86314	2,43685951	5,93828427
2004	911,4	212,7	830649,96	45241,29	193854,78	210,47037	2,229632829	4,97126255
2005	901,0	211,4	811801	44689,96	190471,4	212,7879	-1,387901999	1,92627196
2006	894,5	212,1	800130,25	44986,41	189723,45	214,23636	-2,136361267	4,56403946
2007	887,6	212,7	787833,76	45241,29	188792,52	215,77396	-3,073956489	9,4492085
2008	881,1	215,2	776337,21	46311,04	189612,72	217,22242	-2,022415757	4,09016549
2009	874,6	217	764925,16	47089	189788,2	218,67088	-1,670875024	2,79182335
2010	869,6	220,6	756204,16	48664,36	191833,76	219,78507	0,814925539	0,66410363
2011	864,5	221,7	747360,25	49150,89	191659,65	220,92156	0,778442114	0,60597213
2012	860,7	225,8	740804,49	50985,64	194346,06	221,76835	4,031650542	16,2542061
Итого	8868,1	2159,5	7868159,9	466585,97	1914210,5	2159,5	0	51,2553374

 

        Получаем:

 

 

yx=413,5666-0,22284x

Измерим тесноту корреляционной связи между численностью населения Амурской области и численностью пенсионеров линейным коэффициентом корреляции (29), теоретическим корреляционным отношением (30), индексом корреляции (34).

 

Отрицательное значение линейного коэффициента корреляции свидетельствует об обратной зависимости между признаками, т.е. с увеличением численности населения численность пенсионеров снижается и наоборот. При этом связь можно охарактеризовать как сильную.

Для нахождения теоретического корреляционного отношения требуется найти общую, остаточную и факторную дисперсии по формулам (31), (32) и (33) соответственно:

 

Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию.

 

Остаточная дисперсия  характеризует вариацию результативного  признака под влиянием прочих неучтенных факторов.

 

Факторная дисперсия  характеризует вариацию результативного  признака под влиянием вариации признака-фактора.

Теоретической корреляционное отношение и индекс корреляции применяются для измерения тесноты связи при любой форме связи. Вычислим их по формулам (30) и (34) соответственно:

 

 

Все показатели тесноты  связи показывают сильную зависимость  между признаками. Так как r=η=R, то подтверждена гипотеза о линейной зависимости.

Найдем коэффициент  детерминации, который равен квадрату теоретического корреляционного отношения:

η2=0,7882 или 78,82 %.

Коэффициент детерминации показывает, что вариация численности  пенсионеров в Амурской области  на 78,82 % определяется вариацией общей  численности населения Амурской области и на 21,18 % - прочими факторами.

Вычислим коэффициент эластичности по формуле (35):

 

Данное значение коэффициента эластичности показывает, что с увеличением численности населения Амурской области на 1 % численность пенсионеров в данном регионе снижается на 0,9151 %.

С помощью критерия Фишера (формула (36)) оценим адекватность регрессионной модели yx=a0+a1*x :

 

Сравниваем полученное эмпирическое значение критерия с табличным  значением с уровнем значимости 0,01 и числом степеней свободы (m-1), (n-m). Fтабл = 11,26. Так как полученное эмпирическое значение критерия больше табличного значения, уравнение регрессии признается значимым (адекватным).

С помощью критерия Стьюдента  оценим значимость коэффициентов линейного  уравнения регрессии (формулы (37) – (39)):

 

 

 

Эмпирическое значение t-критерия сравниваем с табличным значением t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 и числом степеней свободы (n-m). tтабл=3,36. Так как эмпирическое значение t-критерия больше табличного, параметр признается значимым.

Аналогично проведем оценку коэффициента корреляции (r) с помощью t-критерия (формула (40)):

 

tтабл=3,36. Эмпирическое значение t-критерия больше табличного, следовательно, линейный коэффициент корреляции признается значимым.

Вычислим ошибку аппроксимации (формула (41)):

 

Ошибка аппроксимации, равная 9,5%, свидетельствует о том, что фактор, влияющий на результативный признак, был подобран правильно. Также, полученное значение ошибки позволяет говорить о том, что все необходимые расчеты были проведены точно.

2.5 Индексный анализ численности пенсионеров и среднего размера назначаемых пенсий в Амурской области в 2009-2012 гг.

Для того, чтобы произвести индексный анализ, составим по данным приложения А и таблицы Б.2 в приложении Б таблицу 11, в которой отразим численность пенсионеров Амурской области и средний размер назначенных месячных пенсий в 2010-2012гг.

Таблица 8 – Численность пенсионеров в Амурской области и средний размер назначенных месячных пенсий

Год	2010	2011	2012
Численность пенсионеров, тыс.чел.	220,6	221,7	225,8
Средний размер назначенных месячных пенсий, руб.	3705,4	4587,1	6242,8

 

Рассчитаем индивидуальный индекс среднего размера назначенных месячных пенсий по формуле (42):

 

Аналогично проведем расчет для 2011 года. Индекс составит – 123,8 %

Полученное значение индекса показывает, что средний  размер назначенных месячных пенсий вырос в 2012 году по сравнению с 2011 годом на 36,1 %, в 2011 году на 23,8 % по сравнению с 2010 годом.

Определим индивидуальный индекс численности пенсионеров  по формуле (43):

 

Аналогично проведем расчет для 2011 года. Индекс составит – 100,5%

Найденная величина показывает, что численность пенсионеров в Амурской области в 2012 году выросла на 1,9 % относительно 2011 года, в 2011 году на 0,5% по сравнению с 2010 годом.

Индивидуальный индекс затрат государства на обеспечение  пенсией вычислим по формуле (44):