Индексный метод изучения производительности труда на предприятиях региона

 

      Расчет  общей дисперсии по формуле (10):

     Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

     где – средняя из квадратов значений результативного признака,

           – квадрат средней величины значений результативного признака.

     Тогда

     Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

                             ,                                    (13)

     где     –групповые средние,

       – общая средняя,

      –число единиц в j-ой группе,

     k – число групп.

     Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5). 

Таблица 13

     Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы  предприятий по средней списочной численности работников, чел.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
130 – 150	3	36	-26	2028
150 – 170	5	52	-10	500
170 –  190	12	59	-3	108
190 –  210	6	72	10	600
210 –  230	4	88	26	2704
Итого	30			5940

      Расчет  межгрупповой дисперсии по формуле (11):

     Расчет  эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

  

^{или 86%}

   Вывод. 86% вариации выпуска продукции предприятий обусловлено вариацией средней списочной численностью работников, а 14% – влиянием прочих неучтенных факторов.

     Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                                 (14)

     Значение  показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чеддока (табл. 14):

Таблица 14

     Шкала Чеддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

     Расчет  эмпирического корреляционного  отношения  по формуле (14):

     

 

      Вывод. Согласно шкале Чеддока связь между средней списочной численностью работников и  выпуском продукции предприятий является весьма тесной. 
 
 

3. Оценка статистической  значимости коэффициента  детерминации 

.

      Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи  , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

      Проверка  выборочных показателей на их неслучайность  осуществляется в статистике с помощью  тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

                                          ,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп,

       – межгрупповая дисперсия,

      – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

       – средняя арифметическая групповых дисперсий.

      Величина  рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

                                           ,

где – общая дисперсия.

      Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

      Если  F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

      Если  F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

      Фрагмент  таблицы Фишера критических величин  F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже: 

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

 

      Расчет  дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =86%, полученной при =230,2, =198,0:

                   F_расч

      Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл ( ,5, 25)
30	5	4	25	2,60

       

      Вывод: поскольку F_расч>F_табл, то величина коэффициента детерминации =86% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками средняя списочная численность работников и выпуск продукции правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности предприятий. 
 
 
 
 
 
 

Задание 3

      По  результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 необходимо определить:

1. ошибку выборки средней списочной численности работников и границы, в которых будет находиться средняя списочная численность работников для предприятий генеральной совокупности.
2. ошибку   выборки   доли   предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более человек, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

     Выполнение  Задания 3

      Целью выполнения данного  Задания является определение для генеральной совокупности предприятий региона границ, в которых будут находиться величина средней списочной численности работников предприятий и доля предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более чел..

     1. Определение ошибки  выборки для средней  списочной численности  работников предприятий  и границ, в которых  будет находиться  генеральная средняя

     Применение  выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

     Значения  признаков единиц, отобранных из генеральной  совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

     Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

     Величина  средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

     Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле