Индексный метод изучения производительности труда на предприятиях региона

 

Задание 1 

По  исходным данным (табл.1) необходимо выполнить  следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по средней списочной численности работников, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1.1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение  Задания 1

      Целью выполнения данного  Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку средней списочной численности работников . 
 

1.Построение интервального ряда распределения предприятий по средней списочной численности работников

      Для построения интервального вариационного  ряда, характеризующего распределение  предприятий по средней списочной численности работников, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

      При построении ряда с равными интервалами  величина интервала h определяется по формуле

                             ,                                         (1)      

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

      Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

                            k=1+3,322lgn,                                               (2)              

где  n - число единиц совокупности.

       Определение величины интервала по формуле (1) при  заданных k = 5,           x_max = 230 чел., x_min = 130 чел.:

 

      При h = 20 чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2): 
 

      Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	130	150
2	150	170
3	170	190
4	190	210
5	210	230

 

      Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп).

      Процесс группировки единиц совокупности по признаку средней списочной численности работников представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

     Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального  ряда распределения и аналитической  группировки

Группы  банков по объему кредитных вложений, млн руб.	Номер предприятия	Средняя списочная  численность работников, чел.	Выпуск  продукции, млн. руб.
1	2	3	4
130 – 150	3	146	40
	6	130	32
	12	135	36
Всего	3	411	108
150 – 170	4	156	58
	5	164	56
	16	151	45
	19	153	48
	22	161	53
Всего	5	785	260
170 – 190	2	170	54
	8	176	58
	9	170	48
	13	183	78
	14	172	59
	15	174	52
	18	170	54
	20	172	60
	24	180	59
	25	175	61
	28	182	65
	29	176	60
Всего	12	2100	708
190 – 210	7	193	73
	10	195	70
	21	197	71
	26	201	74
	27	203	75
	30	205	69
Всего	6	1194	432
210 - 230	1	225	87
	11	212	79
	17	230	97
	23	213	89
Всего	4	880	352
ИТОГО	30	5370	1860

 

     На  основе групповых итоговых строк  «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по средней списочной численности работников.

     Таблица 4

Распределение предприятий по средней списочной численности работников

Номер группы	Группы предприятий по средней списочной численности работников, чел., х	Число предприятий, f
1	130 – 150	3
2	150 – 170	5
3	170 – 190	12
4	190 – 210	6
5	210 - 230	4
	Итого	30

 

     Помимо  частот групп в абсолютном выражении  в анализе интервальных рядов  используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

     Таблица 5

Структура предприятий по средней списочной численности работников

№ группы	Группы предприятий по средней списочной численности работников, чел.	Число предприятий, fj		Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	130 – 150	3	10,0	3	10,0
2	150 – 170	5	17,0	8	27,0
3	170 – 190	12	40,0	20	67,0
4	190 - 210	6	20,0	26	87,0
5	210 – 230	4	13,0	30	100,0
	Итого	30	100,0

     Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности банков показывает, что распределение предприятий по средней списочной численности работников не является равномерным: преобладают предприятия с численностью работников от 170 чел. до 190 чел. (это 12 предприятий, доля которых составляет 40%); 27% предприятий имеют численность работников менее 170 чел., а 67% – менее 190 чел.

1.2. Нахождение моды  и медианы полученного  интервального ряда  распределения графическим  методом и  путем  расчетов

     Мода  и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку. 

     Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности¹. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

     

Рис. 1 Определение  моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

                           (3)           

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

    h –величина модального интервала,

    f_Mo – частота модального интервала,

    f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

    f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Согласно  табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 170 – 190 чел., так  как его частота максимальна (f₃ = 12).

     Расчет  моды по формуле (3):

     Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная средняя списочная численность работников характеризуется средней величиной 180,77 чел

     Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

     Медиану можно определить графическим методом  по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение  медианы графическим методом 

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

                             ,           (4)                           

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

      h – величина медианного интервала,

       – сумма всех частот,

      f_Ме – частота медианного интервала,

      S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

     Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные  частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность  ряда пополам, она будет располагаться  в том интервале, где накопленная  частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

     Медианным интервалом является интервал    170 – 190 чел., так как именно в этом интервале накопленная частота  S_j = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

     Расчет  значения медианы по формуле (4):

     Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем списочную численность работников не более 181,67 чел., а другая половина – не менее 181,67 чел. 

     3. Расчет характеристик  ряда распределения

     Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

     Таблица 6

     Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

Группы  предприятий по средней списочной численности работников, чел.	Середина интервала,	Число банков, fj
1	2	3	4	5	6	7
130 –  150	140	3	420	42	1764	5292
150 –  170	160	5	800	22	484	2420
170 –  190	180	12	2160	2	4	48
190 –  210	200	6	1200	18	324	1944
210 - 230	220	4	880	38	1444	5776
Итого		30	5460			15480