Управление направлением полета тяжелого транспортного самолета

6.2 Синтез МР для непрерывной  системы.

 

Синтез модального регулятора для непрерывной системы. Необходимо определить параметры линейного  регулятора так, чтобы обеспечить заданные собственные значения матрицы замкнутой системы.

Выберем вектор собственных  значений:

.

Выбрав собственные значения таким образом, мы избавимся от комплексных значений и, соответственно, от ненужных нам колебательных процессов.

Вектор параметров регулятора для канонической формы равен: .

Здесь - вектор-строка параметров, определяющая коэффициенты характеристического полинома матрицы A:

.

- вектор-строка  параметров коэффициентов характеристического  полинома матрицы замкнутой системы,  соответствующая выбранному вектору  и найденная в системе MatLAB:

.

Вектор параметров регулятора определяется по формуле . Вычислим его с помощью MatLAB:

.

Теперь проверим правильность найденного решения. Посчитаем матрицу  замкнутой системы и проверим ее собственные значения:

,

.

Как видно, собственные значения матрицы замкнутой системы совпали  с заданными, что говорит о  правильности найденного решения.

Все исследования модального регулятора будем производить как  функциями системы MatLAB step() и initial(), так и с помощью модели исследуемой замкнутой системы управления в программе Simulink.

 

Рис. 21. Модель непрерывной  замкнутой системы в программе  Simulink.

Блок Step с усилителем Gain предназначены для моделирования задающего воздействия.

Блок Step1 предназначен для формирования ступенчатого воздействия.

Блок State-Space соответствует объекту управления; для того, чтобы иметь доступ к фазовому вектору за пределами данного блока, матрица С выбрана единичной, а D – нулевой.

Блок Gain1 предназначен для формирования выходной переменной .

Блок Gain2, включенный в цепь обратной связи, формирует управление .

Выходной сигнал фиксируется  блоком Scope и сохраняется в виде переменной типа «структура» в рабочем пространстве среды MatLAB, по которой строятся графики функцией plot().

6.2.1 Единичное воздействие.

Рис. 22. Реакция замкнутой непрерывной системы на единичное воздействие, полученная в программе MatLAB.

Очевидно, что по сравнению  с разомкнутой системой, в модели с модальным регулятором отсутствуют  колебания, а также меньше время  стабилизации.

Рис. 23. Реакция замкнутой  непрерывной системы на единичное  воздействие, полученная в программе  Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 5 секунд, статическая  ошибка 5%.

6.2.2 Задающее воздействие.

 

Найдем такое управляющее  воздействие, которое обеспечит  на выходе постоянный сигнал = 1.

Рассмотрим стандартную  модель пространства состояний:

 

 
Заметим, что при установившемся постоянном выходном сигнале, постоянным будет и фазовый вектор, а следовательно . Тогда

 

 

Подставим найденное управление в полученную ранее формулу:

,

,

.

Рис. 24 Реакция замкнутой непрерывной системы на задающее воздействие, полученная в программе MatLAB.

Найдем реакцию на задающее воздействие в программе Simulink.

 

Рис. 25. Реакция непрерывной  модели на задающее воздействие, полученная в программе Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 6 секунд, статическая  ошибка 5%.

6.2.3 Ненулевые начальные условия.

 

Построим график переходного  процесса при ненулевых начальных  условиях при помощи стандартной  функции initial() среды MatLAB:

Рис. 26. Реакция замкнутой непрерывной системы на ненулевые начальные условия, полученная в программе MatLAB.

Для нахождения реакции в  программе Simulink был изменен параметр Initial conditions блока State-space.

 

Рис. 27. Реакция непрерывной  замкнутой системы на ненулевые  начальные условия, полученная в  программе Simulink.

Характер процесса апериодический, статическая ошибка 5%, перерегулирование 50%, длительность процесса 6 секунд.

6.3 Приведение дискретной системы  к канонической форме.

 

Преобразование абсолютно  аналогично случаю непрерывной системы.

Характеристическое уравнение  дискретной системы:

.

Составим матрицу :

.

Вычислим матрицы :

,

 

,

 

.

6.4 Синтез МР для дискретной  системы.

 

Модальный регулятор для  дискретного объекта синтезируется  аналогично модальному регулятору непрерывного объекта.

Для того чтобы обеспечить свойства замкнутой системы с  дискретной моделью объекта близким  к тем, которые были для непрерывной  модели, следует выбрать собственные  значения матрицы замкнутой системы:

 

Здесь – выбранные собственные значения при синтезе непрерывной системы, – собственные значения матрицы замкнутой системы с дискретной моделью системы, – период дискретизации.

Вектор значений коэффициентов  характеристического полинома дискретной системы:

.

Вектор параметров модального регулятора :

.

Теперь проверим правильность найденного решения. Посчитаем матрицу  замкнутой системы и проверим ее собственные значения:

.

 

Рис. 28. Модель замкнутой  дискретной системы в программе  Simulink.

Блок Discrete State-Space соответствует дискретной системе управления, в остальном модель полностью аналогична случаю непрерывной системы.

6.4.1 Ненулевые начальные условия.

Рис. 29. Реакция замкнутой  дискретной системы на ненулевые  начальные условия, полученная в  системе MatLAB.

 

Рис. 30. Реакция замкнутой  дискретной системы на ненулевые  начальные условия, полученная в  системе Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 8 секунд, статическая ошибка 5%, перерегулирование 80%.

6.4.2 Единичное воздействие.

Рис. 31. Реакция замкнутой дискретной системы на единичное воздействие, полученная в системе MatLAB.

 

Рис. 32. Реакция замкнутой  дискретной системы на единичное  воздействие, полученная в системе  Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 8 секунд, статическая  ошибка 5%.

 

6.4.3 Задающее воздействие.

 

Рассмотрим задачу, аналогичную  п. 6.2.2 для дискретной модели.

 

Нетрудно заметить, что  задача накладывает условия . Имеем

 

.

Подставим найденное управление в полученную ранее формулу:

.

Учитывая нулевые начальные  условия, получим:

,

.

Рис. 33. Реакция замкнутой дискретной системы на задающее воздействие, полученная в программе MatLAB.

 

 

Рис. 34. Реакция замкнутой дискретной системы на задающее воздействие, полученная в программе Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 8 секунд, статическая  ошибка 5%.

6.5 Анализ АФЧХ непрерывной и дискретной систем.

Рис.35. АФЧХ для непрерывной системы.

Рис. 36. АФЧХ для дискретной системы.

Таблица 1. Численный анализ АФЧХ.

Вид системы	Запас устойчивости по амплитуде	Запас устойчивости по фазе
Непрерывная	62.3 Дб	Бесконечный
Дискретная	36.4  Дб	Бесконечный

 

7. Оптимальные регуляторы.

Рассмотрим решение задачи синтеза  систем управления, обеспечивающих качественные показатели исходя из минимизации интегральных или суммарных функционалов качества замкнутой системы.

7.1 Синтез ОР для непрерывной системы.

 

Пусть задан линейный дискретный стационарный объект управления со сосредоточенными параметрами виде модели:

 
 

И пусть задан функционал:

,

где

Требуется найти оптимальное управление в виде функции от вектора состояния: ,  которое минимизирует функционал  на движении системы. Оптимальное управление также ищется из функционального уравнения Белмана, и оно равно

,

где 

Матрица P пока неизвестна, она находится, как решение матричного алгебраического уравнения Риккати

 

 

Нахождение матриц и Q производится аналогично случаю непрерывной системы

 

,

 

ю

 

Можем теперь решить уравнение Риккати  и найти матрицу P. Решение уравнения проводилось с помощью функцией Matlab dare():

.

Все матрицы, необходимые для нахождения оптимального управления известны, таким  образом имеем:, где

.

Собственные значения матрицы замкнутой  системы .

 

7.1.1 Анализ реакции замкнутой  непрерывной системы на ненулевые  начальные условия.

Рис. 37. Реакция замкнутой непрерывной системы на ненулевые начальные условия, полученная в программе MatLAB.

 

Рис. 38. Реакция непрерывной замкнутой системы на ненулевые начальные условия, полученная в программе Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 8 секунд, статическая  ошибка 5%, перерегулирование составляет 10%.

 

 

7.1.2 Единичное воздействие.

Рис. 39. Реакция замкнутой непрерывной системы на единичное воздействие, полученная в программе MatLAB.

 

Рис. 40. Реакция замкнутой непрерывной системы на единичное воздействие, полученная в программе Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 8 секунд, статическая  ошибка 5%.

7.1.3  Задающее воздействие.

Рис. 41. Реакция замкнутой непрерывной системы на задающее воздействие, полученная в программе MatLAB.

 

Рис. 42. Реакция непрерывной модели на задающее воздействие, полученная в программе Simulink.

Характер процесса апериодический, длительность процесса 8 секунд, статическая  ошибка 5%.

 

7.2 Синтез ОР для дискретной  системы.

 

Пусть задан линейный дискретный стационарный объект управления со сосредоточенными параметрами виде модели:

 

И пусть задан функционал:

 
,

где

Требуется найти оптимальное управление в виде функции от вектора состояния:

,

 которое минимизирует функционал J на движении системы.

Оптимальное управление также ищется из функционального уравнения Белмана, и оно

равно

,

где 

Матрица P пока неизвестна, она находится, как решение матричного алгебраического уравнения Риккати:

 

 

Нахождение матриц и Q производится аналогично случаю непрерывной системы

,

 

.

Можем теперь решить уравнение Риккати и найти матрицу P. Решение уравнения проводилось с помощью функцией Matlab dare():

 

.

 

Все матрицы, необходимые для нахождения оптимального управления известны, таким  образом имеем:, где

 

 

7.2.1 Ненулевые начальные условия.

Рис. 43. Реакция замкнутой дискретной системы на ненулевые начальные условия, полученная в системе MatLAB.

Рис. 44. Реакция замкнутой дискретной системы на ненулевые начальные условия, полученная в системе Simulink.

Характер процесса периодический  с одним затухающим колебанием, длительность процесса 9 секунд, статическая ошибка 5%, перерегулирование 100%.

 

7.2.2 Единичное воздействие.

Рис. 45. Реакция замкнутой дискретной системы на единичное воздействие, полученная в системе MatLAB.

 

Рис. 46. Реакция замкнутой дискретной системы на единичное воздействие, полученная в системе Simulink.

Характер процесса периодический  с одним затухающим колебанием, длительность процесса 9 секунд, статическая ошибка 5%.

 

 

7.2.3 Задающее воздействие.

Рис. 47. Реакция замкнутой дискретной системы на задающее воздействие, полученная в программе MatLAB.