Управление направлением полета тяжелого транспортного самолета

1.5.1 Ненулевые начальные условия.

 

Рассмотрим реакцию системы  на ненулевые начальные условия  при отсутствии внешних воздействий, взяв . Переходный процесс определяется выражением: .

Построим график  полученного  нами решения и сравним его  с графиком функции MatLAB initial:

% %ненулевые начальные условия

 tmax=100;

t=0:(tmax/100):tmax;

 x0=[1 1 1 1]';

 for i=1:length(t)

     y(i)=C*expm(A*t(i))*x0;

 end

 plot(t,y)

 xlabel('t, c')

 ylabel('Амплитуда')

 title('Ненулевые начальные условия')

 grid on

 figure

 initial(sys,x0)

 xlabel('t')

 ylabel('Амплитуда')

 grid on

 

 

Рис. 1. Реакция непрерывной системы на ненулевые начальные условия.

Рис. 2. Построение графика реакции непрерывной системы на ненулевые начальные условия  функцией initial().

1.5.2 Единичное ступенчатое воздействие.

 

Рассмотрим реакцию системы  на единичное воздействие при  нулевых начальных условиях Переходный процесс определяется выражением: 

.

Данная функция не подходит в силу того, что матрица A имеет нулевые собственные значения. Воспользуемся численными методом нахождения интеграла, а именно:

.

Построим график  полученного  нами решения и сравним его  с графиком функции MatLAB step:

%единичное ступенчатое воздействие

 tmax=100;

 t=0:(tmax/10):tmax;

 syms T

 for i=1:length(t)

     y(i)=C*int(expm(A*(t(i)-T)),T,0,t(i))*B;

 end

 figure

 plot(t,y)

 xlabel('t, c')

 ylabel('Амплитуда')

 title('Единичное воздействие')

 grid on

 figure

 step(sys)

 xlabel('t')

 ylabel('Амплитуда')

 grid on

 

 

Рис. 3. Реакция непрерывной  системы на единичное воздействие.

Рис. 4. Построение графика реакции непрерывной системы на единичное воздействие функцией step().

 

1.5.3 Импульсное воздействие.

 

Исследуем реакцию системы  на импульсное воздействие.

 

,

,

B.

Построим график  полученного  нами решения и сравним его  с графиком функции MatLAB impulse:

 

%импульс

tmax=100;

t=0:(tmax/100):tmax;

for i=1:length(t)

    y(i)=C*expm(A*t(i))*B;

end

plot(t,y)

xlabel('t, c')

ylabel('Амплитуда')

title('Импульсное воздействие')

grid on

figure

impulse(sys)

xlabel('t')

ylabel('Амплитуда')

grid on

Рис. 5. Реакция непрерывной системы на импульсное воздействие.

Рис. 6. Построение графика реакции непрерывной системы на импульсное воздействие функцией impulse().

2. Математические модели дискретной системы управления.

2.1 Переход от непрерывной модели к дискретной.

 

Рассмотрим построение дискретной модели «вход-состояние-выход», определяемой соотношениями:

(7)

Где переменная k=1,2,3,… - дискретное время, , где T – период дискретизации. Он находится по следующей формуле:

(8)

где- собственные числа матрицы А. Для данной задачи .

Построим дискретную модель для объекта, заданного соотношениями (3), предполагая, что внешнее воздействие  u(t) является кусочно-постоянным и неизменным на каждом интервале . Подставив в соотношении (7)  , придём к уравнениям (8), получив при этом:

 

Вычислим  и . Подставив все необходимые значения получим:

,

.

С помощью функции MatLab c2d(sys1,T) мы убедились, что матрицы и найдены верно. 

2.2 Переход от математической модели в пространстве состояний к математической модели «вход-выход».

 

Переход для дискретной модели осуществляется аналогично п.1.2 с той  лишь разницей, что оператор дифференцирования заменяется оператором сдвига , который определяется соотношением .

Матричная передаточная функция  определяется выражением:

.

Как и в п.3. резольвента  матрицы рассчитывается по алгоритму Леверье-Фаддеева:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

 

Выполним проверку:

,

 
.

Коэффициенты числителя  вычисляются по формулам:

,

 

 

С помощью команды Wd=tf(sysd) проверим правильность наших расчетов:

Transfer function:

-0.0013 z^3 - 0.01151 z^   - 0.009126 z - 0.0006461

  ------------------------------------

z^4 - 3.173 z^3 + 3.658 z^2  - 1.796 z + 0.3116

 

2.3 Переход от математической модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний для дискретной системы.

 

С помощью найденной выше передаточной функции получим эквивалентную  систему. Для этого представим уравнение в таком виде:

,

где знаменатель передаточной функции, а - числитель. Преобразуем данное выражение следующим образом:

.

Получим следующее выражение, подставляя коэффициенты из полученной в предыдущем пункте передаточной функции:

 

 

 

Преобразуем:

.

Получим систему уравнений:

 

 

Полученный результат  представляет собой модель, заданную в пространстве состояний, где:

,

.

Докажем эквивалентность  этой модели и модели полученной в  пункте 1.3. Если была произведена замена переменных по формуле , то можно найти неособенную квадратную матрицу преобразования S, которая обеспечит переход к другому базису по формулам:

 

Матрицу преобразования S можно  найти, используя следующую формулу:

 

где   - матрица управляемости, определяемая по следующему соотношению:

 

Вычислим  и :

 

 

 

Подставляем обе матрицы  в формулу для нахождения S:

 

Вычислим относительную  погрешность:

 

 

Малая величина погрешностей подтверждает эквивалентность модели в пространстве состояний полученных в пункте 1.3 и модели вход-выход  для дискретной системы.

 

2.4 Анализ переходных процессов в линейных дискретных системах.

 

 

Дискретная модель в пространстве состояний имеет вид:

.

(9)

Решение 1-го уравнения системы (9) определяется

.

(10)

Подставив (10) во 2-е уравнение  системы (9) с учетом нулевой матрицы , получим универсальную формулу для нахождения переходных характеристик дискретной системы:

(11)

 

2.4.1 Единичное ступенчатое воздействие.

 

 

Подставив в (19) условия , получим:

 

Строим график с помощью  MatLAB:

%единичное

 tlim=100;

 for i=1:tlim

     sum=0;

     for l=0:i-1

         sum=sum+(Ad^(i-1-l));

     end

     y(i)=Cd*sum*Bd;

 end

 plot(0:(tlim-1),y)

 xlim([0 tlim])

 xlabel('Дискретное время')

 ylabel('Амплитуда')

 title('Единичное воздействие')

 grid on

 step(sys,sysd,100)

 xlabel('t')

 ylabel('Амплитуда')

 grid on

 

Рис. 7. Реакция дискретной системы на единичное воздействие.

Рис. 8. Построение графика реакции непрерывной и дискретной систем на единичное ступенчатое воздействие функцией step().

 

 

 

2.4.2 Ненулевые начальные условия.

 

 

Подставив в (19) условия , получим:

.

Строим график с помощью  MatLAB:

%ненулевые

x0=[1 1 1 1]';

tlim=100;

for i=1:tlim

    y(i)=Cd*(Ad^i)*x0;

end

plot(0:(tlim-1),y)

xlim([0 tlim])

xlabel('Дискретное время')

ylabel('Амплитуда')

title('Ненулевые начальные условия')

grid on

figure

initial(sys,sysd,x0,100)

xlabel('t')

ylabel('Амплитуда')

grid on

 

Рис. 9. Реакция дискретной системы на ненулевые начальные условия.   Для сравнения приведем график, полученный в системе MatLAB с помощью функции initial():

Рис. 10. Построение графика реакции дискретной системы на ненулевые начальные условия функцией initial()

 

 

2.4.3 Импульсное воздействие.

 

Подставив в (19) условия , получим:

 

Введем функцию

 

Воспользовавшись фильтрующим  свойством дельта-функции, имеем:

 

Тогда окончательное выражение  будет иметь вид

.

Строим график с помощью  MatLAB:

% %импульс

tlim=100;

 for i=1:tlim

     y(i)=Cd*(Ad^(i-1))*Bd;

 end

 plot(0:(tlim-1),y)

 xlim([0 tlim])

 xlabel('Дискретное время')

 ylabel('Амплитуда')

 title('Импульсное воздействие')

 grid on

 figure

 impulse(sysd,sys,100)

 xlabel('t')

 ylabel('Амплитуда')

 grid on

 

 
Рис. 11. Реакция дискретной системы на импульсное воздействие.

Для сравнения приведем график, полученный в системе MatLAB с помощью функции impulse():

Рис. 12. Построение графика реакции дискретной системы на импульсное воздействие функцией impulse().

 

3. Частотные характеристики.

Частотные характеристики описывают  свойства объектов или систем управления в функции от одного параметра  – частоты. С математической точки  зрения частотные характеристики –  это однопараметрическое семейство  комплексных чисел, когда параметром является частота.

3.1 Частотные характеристики непрерывной системы.

 

Система представлена уравнением «вход-выход» :

 

 

Введем определение преобразования Фурье. Пусть функция  является кусочно-непрерывной на и является абсолютно интегрируемой:

 

тогда существует преобразование, называемое преобразованием Фурье:

 

Где – спектральная плотность сигнала. Определим обратное преобразование Фурье:

 

Применив преобразование Фурье к левой и правой части (2.32), получим:

 

 

 

 

Линию, являющуюся геометрическим местом точек , называют годографом частотной характеристики или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Для построения АФЧХ используем функцию nyquist() пакета MatLAB.

Рис. 13. Амплитудно-фазовая частотная характеристика непрерывной системы.

 

Логарифмические амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазо-частотная характеристики (ЛФЧХ) наглядно отражают те свойства системы, что нельзя представить на АФЧХ. В системе MatLAB они строятся функцией bode().

 

Рис. 14. Логарифмические частотные характеристики непрерывной системы.

 

 

3.2 Частотные характеристики дискретной системы.

 

Пусть система задана уравнением «вход-выход» вида :

 

 

Произведем замену 

 

Здесь – период квантования. Будет называться амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) или матрицей комплексных частотных характеристик дискретной системы с квантованием по времени. Можно записать:

,

где – амплитудно-частотная характеристика дискретной системы,

а – фазо-частотная характеристика дискретной системы.

Для рассматриваемой системы  передаточные функции имеют вид:

 

Для построения АФЧХ дискретной системы используется функция nyquist() пакета MatLAB. Графики этой функции представлены на рис. 16.

 

Рис. 15. Амплитудно-фазовая частотная характеристика дискретной системы.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ дискретной системы используется функция  bode() пакета MatLAB. Графики этой функции представлены на рис. 17.

Рис. 16. Логарифмические частотные характеристики дискретной системы.

4. Анализ устойчивости систем управления.

4.1 Корневые критерии устойчивости.

 

Корневые критерии устойчивости определяют условия устойчивости линейных объектов и систем управления с помощью  анализа корней характеристических уравнений. Для устойчивости непрерывных  объектов и систем, необходимо и  достаточно выполнение .

Характеристический полином  непрерывной системы:

 

Его корни:.

Очевидно, что непрерывная  система не является устойчивой.