Управление направлением полета тяжелого транспортного самолета

Для асимптотической устойчивости дискретных систем необходимо и достаточно выполнение неравенства .

Характеристический полином  дискретной системы:

.

Его корни:.

 

Модули всех корней не удовлетворяют  условию , система неустойчива.

 

4.2 Критерий Ляпунова.

 

Критерий Ляпунова выводится  из метода Ляпунова и позволяет судить об устойчивости по решению уравнения  Ляпунова. Для непрерывной системы  уравнение Ляпунова выглядит так:

,

для дискретной:

 

где . Решение уравнений – матрица P - определяет устойчивость. В случае, когда она положительно определена, система устойчива.

Пусть для определенности матрица  будет единичной, так как та удовлетворяет всем требованиям. В программе MatLAB существуют две функции, позволяющие решить уравнения Ляпунова – lyap() для непрерывной системы и dlyap() для дискретной.

Результатом  выполнения кода является ошибка: Solution does not exist or is not unique (решения нет, либо оно не единственно).Это говорит о том, что система как непрерывная так и дискретная не является устойчивой.

4.3 Критерий Стодолы.

 

Критерий Стодолы определяет необходимое условие устойчивости непрерывной системы и ничего не говорит об устойчивости системы.

Для того чтобы все корни  характеристического полинома лежали в левой комплексной полуплоскости (что является корневым критерием  устойчивости), все коэффициенты полинома должны быть одного знака.

Характеристический полином  непрерывной системы:

 

Очевидно, что его коэффициенты имеют разные знаки, что в свою очередь говорит о том, что непрерывная система не является устойчивой.

4.4 Критерий Гурвица.

 

Для того чтобы система  была устойчива по критерию Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Определитель Гурвица  для полинома 4-й степени:

,

где – коэффициенты характеристического полинома.

Характеристический полином:

 

Его коэффициенты:

.

Составим определитель:

.

 

Воспользуемся программой на MatLAB для нахождения миноров:

l=eig (A);

p=poly (l);

M= [p (2) p (1) 0 0;

    P (4) p (3) p (2) 0;

    0 p (5) p (4) p (3);

    0 0 0 p (5)];

M1=det (M (1, 1))

M2=det (M (1:2, 1:2))

M3=det (M (1:3, 1:3))

M4=det (M) 

 

В результате выполнения программы  получим миноры матрицы М:

M1 = 1.1660,

M2 =0.2791,

M3 =0,

M4 =0.

4.5 Критерий Шура-Кона.

 

Этот критерий применим только для дискретных систем. Пусть задана дискретная система в виде модели вход-выход. Ее характеристический полином  имеет вид:

 

 

Для асимптотической устойчивости системы по критерию Шура-Кона необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей  чередовались и были больше нуля для четных k и меньше нуля для нечетных.

 

 

 

Программа в MatLAB:

[qw,pw]=tfdata(tf(sysd));

tf(sysd)

a=pw{1};

A1=[a(1) 0 0 0; a(2) a(1) 0 0; a(3) a(2) a(1) 0; a(4) a(3) a(2) a(1)]

A2=[a(5) 0 0 0; a(4) a(5) 0 0; a(3) a(4) a(5) 0; a(2) a(3) a(4) a(5)]

for k=1:4

    delt=[A1(1:k,1:k) A2(1:k,1:k)';A2(1:k,1:k) A1(1:k,1:k)'];

    det(delt)

end

ans = 0.9029 ans = 0.1632

ans = 2.1252e-017

ans = 1.1650e-031

Таким образом, найдены определители:

.

Определители  для характеристического уравнения дискретной системы не меняют свой знак в зависимости от четности , а это означает, что неравенство не выполняется и, следовательно, дискретная система не является устойчивой.

4.6 Критерий Михайлова.

 

Система является устойчивой, если годограф Михайлова  поворачивается вокруг начала координат против часовой стрелки на угол ( квадрантов), где - степень характеристического полинома .

Частотное представление  передаточной функции непрерывной  системы:

 

Характеристический многочлен:

= .

Построим годограф Михайлова  с помощью системы MatLAB и проверим выполнение критерия:

l=eig(A);

p=poly(l);

n=1000;

d=10;

h=d/n;

for k=1:n+1;

     t=(k-1)*h*1i;

     y(k)=p(1)*t^4 + p(2)*t^3 + p(3)*t^2 + p(4)*t+p(5);

end;

figure;

plot(real(y),imag(y),'LineWidth',2);

grid on

 

В результате выполнения программы  был получен график:

Рис. 17. Годограф Михайлова для непрерывной системы.

 

Очевидно, что годограф стартует из начала координат и не обходит  ни одного квадранта в положительном  направлении, что свидетельствует  о том, что непрерывная система  не является устойчивой.

 

Дискретная система является устойчивой, если годограф Михайлова  дискретной системы  поворачивается вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (2n квадрантов), где n – степень характеристического полинома .

l=eig(A);

p=poly(l);

n=1000;

d=pi;

h=d/n;

for k=1:n+1;

     t=(k-1)*h*1i;

     y(k)=p(1)*exp(t*4) + p(2)*exp(t*3) + p(3)*exp(t*2) + p(4)*exp(t)+p(5);

end;

figure;

plot(real(y),imag(y),'LineWidth',2);

grid on

Рис. 18. Годограф Михайлова для дискретной системы.

 

Очевидно, что годограф обходит  всего четыре квадранта в положительном  направлении. Следовательно, требование критерия не выполняется и дискретная система не является устойчивой.

 

4.7 Критерий Найквиста.

 

Критерий Найквиста позволяет  определить устойчивость замкнутой  системы, построив частотную характеристику разомкнутой системы. Замыкаем систему  отрицательной единичной обратной связью.

Система, устойчивая в разомкнутом  состоянии, будет устойчива в  замкнутом состоянии, если  годограф Найквиста  разомкнутой системы не охватывает точку . Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический полином имеет корней в правой полуплоскости, то для устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы обходил в положительном направлении раз.

Построим годограф Найквиста  в системе MatLAB функцией nyquist(). Дополним часть АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса.

 

Рис. 19. Годограф Найквиста (АФЧХ) непрерывной системы.

Замкнутая система устойчива, т. к. нет ни одного корня в правой полуплоскости, а следовательно для устойчивости годограф не должен обходить точку, что мы и видим на графике.

Чтобы замкнутая дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф обходил точку последовательно в положительном направлении раз, где – число полюсов передаточной функции разомкнутой системы, расположенных вне круга единичного радиуса.

Построим годограф Найквиста  в системе MatLAB функцией nyquist() и дополним часть АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса.

 

Рис. 20 Годограф Найквиста (АФЧХ) дискретной системы.

Замкнутая система устойчива, т. к. нет корней вне круга единичного радиуса, а следовательно для устойчивости годограф не должен обходить точку, что мы и видим на графике.

 

Выводы:

В данной работе была исследована  система автоматического управления (САУ) на примере задачи управления направлением полета тяжелого транспортного  самолета. Были исследованы свойства дискретной и непрерывной модели САУ.  Также была рассмотрена реакция  различных моделей на типовые  воздействия, проанализированы частотные  характеристики САУ и вопросы  устойчивости исследуемых моделей. Мы получили следующие результаты:

• Дискретная и непрерывная системы не являются неустойчивыми.

• Замкнутая дискретная и непрерывная системы являются устойчивыми.

 

 

 

 

5. Анализ управляемости  и наблюдаемости.

5.1 Анализ управляемости.

 

Проблема управляемости  заключается в решении вопроса  о возможности достижения целей  управления. Решение этой задачи является первым этапом синтеза САУ. Линейный непрерывный стационарный объект или  система управления вида:

 

Называется вполне управляемой, если для любых моментов и и любых заданных состояний и существует управление (для ), переводящее систему из начального состояния в конечное .

Управляемость дискретного  объекта или системы управления:

 

Как и непрерывной системы  определяется критерием Калмана, который утверждает, что линейная система в непрерывном и в дискретном времени вполне управляемы тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет ранг, равный размерности вектора состояния n.

Матрица управляемости непрерывной  системы была найдена в разделе 1.4

,

и , что свидетельствует об управляемости непрерывной системы.

Матрица управляемости дискретной системы:

.

Критерий управляемости  выполняется для дискретной системы.

 

 

5.2 Анализ наблюдаемости.

 

При решении задачи синтеза  модальных и оптимальных регуляторов  управление формируется в виде линейной комбинации координат состояния, для  этого необходимо в каждый момент времени иметь информацию о текущем  векторе состояний . Физически можно измерять лишь выходные переменные. Задача заключается в возможности вычисления координат состояния по известным .

Объект называется вполне наблюдаемым, если разрешима задача вычисления компонент вектора состояния по точным измерениям и их производных (конечных разностей).

Критерий наблюдаемости: система является вполне наблюдаемой  тогда и только тогда, когда пара является невырожденной, то есть когда:

.

Вычислим матрицу наблюдаемости  для непрерывный системы:

,

.

Критерий выполняется, следовательно, непрерывная система наблюдаема. Произведем аналогичные вычисления для дискретной системы.

,

.

Дискретная система также  является наблюдаемой.

 

 

 

 

 

6. Модальные регуляторы.

 

Модальные регуляторы обеспечивают построение САУ с заданными корнями  характеристического уравнения  замкнутой системы. В терминах корней характеристических полиномов можно  задать качество управления. Рассмотрим синтез модальных регуляторов при  использовании математической модели объекта в пространстве состояний. Пусть объекты управления заданы уравнениями состояния для непрерывного времени и для дискретного  времени.

Предполагается, что объекты  вполне управляемы и управляющие  воздействия – скалярные функции. Требуется синтезировать линейные регуляторы, обеспечивающие заданные значения корней характеристических полиномов  замкнутых САУ.

Синтез модальных регуляторов  осуществляется в два этапа. Первый этап заключается в приведении пары матриц A и B к канонической форме. Задача второго этапа – выбор параметров регулятора.

6.1 Приведение к канонической  форме.

 

Будем называть математическую модель имеющей канонический вид, если матрица и вектор в правой части  имеют  следующей вид:

,

.

 —  коэффициенты  характеристического многочлена, записанные  в обратном порядке.

Нужно построить матрицу, которая преобразовывала бы исходные и к канонической форме

Для этого преобразования необходимо использовать матрицу  - верхняя треугольная относительно второй диагонали, построенная из коэффициентов характеристического полинома.

.

Тогда матрица  вычисляется следующим образом:

 

где  — матрица управляемости.

Далее переходим к замене переменных . В данном случае получим:

, 
. 

Матрица и векторы и при этом будут соответствовать каноническому виду.

Характеристическое уравнение  системы:

 

Составим матрицу :

.

 

Вычислим матрицу  и затем :

,

,

.

Матрицы, полученные в результате вычислений, соответствуют каноническому  виду.