Управление направлением полета тяжелого транспортного самолета

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный  политехнический университет

Факультет технической кибернетики

кафедра “Системный анализ и управление”

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Тема: «Управление направлением полета тяжелого транспортного самолета»

Дисциплина: «Теория автоматического  управления»

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка группы 3082/1

Свистунова Александра Сергеевна

Проверил: профессор кафедры  САиУ, д.т.н. Шашихин Владимир Николаевич

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2013 г.

 

Постановка задачи.

Математическая модель полета тяжелого транспортного самолета описывается  соотношениями:

 

 

Где - угол крена,

- скорость изменения угла  крена;

- угол рыскания (направление  полета, выходная переменная);

- скорость изменения угла  рыскания;

- угол отклонения элеронов (управляющее  воздействие).

Заданы следующие параметры:

.

266

.

0

   

;

013

.

0

   

;

3

.

0

   

;

9

.

0

=

-

=

-

=

=

y

g

d

g

n

n

l

l

Целью работы является исследование свойств объекта и синтезирование системы управления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление.

1. Построение математических  моделей. 7

1.1 Математическая модель в пространстве состояний. 7

1.2. Переход от математической модели, заданной в пространстве состояний к модели «вход-выход». 7

1.3. Переход от математической модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний. 9

1.4 Доказательство эквивалентности. 11

1.5 Анализ переходных процессов линейной непрерывной системы. 12

1.5.1 Ненулевые начальные условия. 14

1.5.2 Единичное ступенчатое воздействие. 16

1.5.3 Импульсное воздействие. 17

2. Математические модели  дискретной системы управления. 19

2.1 Переход от непрерывной модели к дискретной. 19

2.2 Переход от математической модели в пространстве состояний к математической модели «вход-выход». 20

2.3 Переход от математической модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний для дискретной системы. 21

2.4 Анализ переходных процессов в линейных дискретных системах. 23

2.4.1 Единичное ступенчатое воздействие. 23

2.4.2 Ненулевые начальные условия. 25

2.4.3 Импульсное воздействие. 27

3. Частотные характеристики. 29

3.1 Частотные характеристики непрерывной системы. 29

3.2 Частотные характеристики дискретной системы. 31

4. Анализ устойчивости  систем управления. 33

4.1 Корневые критерии устойчивости. 33

4.2 Критерий Ляпунова. 33

4.3 Критерий Стодолы. 34

4.4 Критерий Гурвица. 34

4.5 Критерий Шура-Кона. 35

4.6 Критерий Михайлова. 36

4.7 Критерий Найквиста. 38

5. Анализ управляемости  и наблюдаемости. 41

5.1 Анализ управляемости. 41

5.2 Анализ наблюдаемости. 42

6. Модальные регуляторы. 43

6.1 Приведение к канонической форме. 43

6.2 Синтез МР для непрерывной системы. 44

6.2.1 Единичное воздействие. 47

6.2.2 Задающее воздействие. 48

6.2.3 Ненулевые начальные условия. 50

6.3 Приведение дискретной системы к канонической форме. 52

6.4 Синтез МР для дискретной системы. 53

6.4.1 Ненулевые начальные условия. 54

6.4.2 Единичное воздействие. 56

6.4.3 Задающее воздействие. 57

6.5 Анализ АФЧХ непрерывной и дискретной систем. 60

7. Оптимальные регуляторы. 61

7.1 Синтез ОР для непрерывной системы. 61

7.1.1 Анализ реакции замкнутой непрерывной системы на ненулевые начальные условия. 62

7.1.2 Единичное воздействие. 64

7.1.3  Задающее воздействие. 66

7.2 Синтез ОР для дискретной системы. 67

7.2.1 Ненулевые начальные условия. 69

7.2.2 Единичное воздействие. 71

7.2.3 Задающее воздействие. 73

7.3 Анализ АФЧХ непрерывной и дискретной систем. 75

8. Наблюдатель. 78

8.1 Синтез наблюдателя. 78

8.2 Исследование САУ с наблюдателем. 78

8.2.1 Различные начальные условия. 80

8.2.2 Единичное воздействие. 81

Выводы: 84

1. Построение математических моделей.

1.1 Математическая модель в пространстве состояний.

 

Представим данную нам  математическую модель объекта в  виде системы:

которая является математической моделью в пространстве состояний.

Входным воздействием является угол отклонения элеронов: ,

выходной переменной является угол рыскания :  = =.

) вектор состояния:    ,                 _,

 

 

Подставим значения параметров:

.

Вывод: исходная математическая модель была записана в виде уравнений  в пространстве состояний. Форма  записи математической модели в пространстве состояний не единственна (в этом мы убедимся далее).

 

1.2. Переход от математической модели, заданной в пространстве состояний к модели «вход-выход».

Дана математическая модель объекта в виде уравнений в  пространстве состояний:

 

 

Для того чтобы перейти  от математической модели, заданной в  пространстве состояний к модели «вход-выход» необходимо найти передаточную функцию по формуле:

 
.

Множитель называется символьной матрицей-резольвентой матрицы A, для ее вычисления используется алгоритм Леверье-Фаддеева:

,

,

.

Матрицы и коэффициенты вычисляются по рекуррентным соотношениям:

,

,

где tr – след матрицы, т.е. сумма элементов на главной диагонали: .

Для данной системы имеем:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Запишем характеристический полином:

.

Получили окончательное  выражение для передаточной функции:

 

Вывод: была получена математическая модель в виде уравнения «вход-выход». С помощью MatLab можно проверить результат создав модель в пространстве состояний и переведя ее в модель вход-выход:

Mod = ss(A,B,C,D) % Где A,B,C,D - матрицы нашей модели

Tf(Mod) % Переход к модели вход выход.

Transfer function:

          -0.039

----------------------------

s^4 + 1.17 s^3 + 0.239 s^2

Результат сошелся с результатом MatLab.

 

1.3. Переход от математической модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний.

 

В общем случае модель линейного  непрерывного стационарного объекта  определяется соотношением:

,

где – вектор выходных координат;

 – вектор входных  координат; 

 – полиномиальные  матрицы;

  – оператор дифференцирования по времени.

.

 

Перенесем все в левую  часть и представим полином по схеме Горнера относительно оператора  p:

 

.

                         

        

                         

                           

Введем новые координаты вектора состояния, равные линейным комбинациям переменных в скобках последнего уравнения:

,

,

,

,

.

Решение этих уравнений приводит нас к системе уравнений, представляющих математическую модель в форме «вход-состояние-выход»:

 

,

 

, , .

 

Для нашей передаточной функции  имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Вывод: полученная математическая модель в пространстве состояний  отличается от математической модели, которая была получена ранее. Это  объясняется тем, что переход  от математической модели «вход-выход» к уравнениям пространства состояний  неоднозначен. Однако существует взаимосвязь  между ними. Найдем эту взаимосвязь.

1.4 Доказательство эквивалентности.

 

Сравнение компонент векторов состояния, а также элементов  соответствующих  матриц А и свидетельствует о несовпадении моделей, полученных в разделах 1.1 и 1.3. чтобы доказать эквивалентность этих моделей, произведем замену переменных , где S – неособенная () квадратная матрица.

 

Найдем  матрицу преобразования S такую, чтобы выполнялись соотношения:

.

Для этого используем матрицу  управляемости объекта:

.

 

Ранг полученной матрицы  равен 4,т.е. равен размерности, что означает выполнение критерия управляемости. Аналогичным образом построим матрицу управляемости объекта для второй системы.

.

 

Матрица перехода:

,

 

Проведенные вычисления в  среде MATLAB обеспечили почти полное совпадение результатов с элементами матриц . Ниже приведены погрешности этих вычислений

,

 

Вывод: Эквивалентность моделей  доказана. Получили две математические модели в пространстве состояний, и нашли взаимосвязь между ними.

 

1.5 Анализ переходных процессов линейной непрерывной системы.

 

Рассмотрим построение переходного  процесса линейного непрерывного объекта  при использовании его модели, заданной в пространстве состояний  с начальными условиями:

(1)

Решение дифференциального  уравнения определяется интегральной формулой Коши:

.

(2)

Для получения удобного базиса необходимо сделать замену базиса: , выбрав в качестве неособенную матрицу таким образом, чтобы преобразовать матрицу системы к жордановой форме.

Подставим   .  в систему (1).

.

(3)

Помножим слева левую  и правую части уравнения на обратную матрицу  . Получим:

.

(4)

Заменим и по свойству обратных матриц . Перепишем:

(5)

 

где   - жорданова форма матрицы.

Решение для нового базиса выглядит так:

(6)

 

Найдем характеристическое уравнение для матрицы , используя следующий код Matlab:

syms h

det(A-h*eye(4)).

 

Характеристический полином  матрицы :

 

Собственные числа матрицы :

 

Поскольку матрица А имеет два некратных собственных числа и одно кратное, то ее матрица Жордана будет образована двумя клетками первого порядка и одной клеткой второго порядка:

 

 

Найдем собственные вектора  матрицы . Для этого необходимо решить следующие системы линейных однородных уравнений:

 

 

Получим матрицу , вида:

S = .

 

Собственное число 0 имеет  кратность 2, именно поэтому мы воспользовались  функцией jordan(A), а не eig(A). Т.к в случае кратных корней функция eig дает неверный результат.

Мы получили матрицу J но видим, что она вырожденная, а  в дальнейшем нам надо будет брать  от неё обратную матрицу(как и  от матрицы А, она тоже вырожденная). Это можно обойти путем взятия не обратной, а псевдообратной матрицы. Функция MatLab P=pinv(A) вычисляет матрицу, псевдообратную матрице A, которая имеет такие же размеры, как и матрица A, и удовлетворяет следующим условиям

              A * P * A = A,

              P * A * P = P.

Если матрица A квадратная и невырожденная, то вычисление обратной на основе псевдообращения является слишком расточительной процедурой. Если A - квадратная и вырожденная или прямоугольная матрица, то обратной матрицы не существует; в этих случаях псевдообратная матрица обладает некоторыми, но не всеми свойствами обратной. Кроме того пакет Control System Toolbox использует именно эту функцию при взятии обратной, т.к. часто требуется взять обратную матрицу от вырожденной. В дальнейшем при взятии обратной матрицы от вырожденной будет подразумеваться взятие псевдообратной матрицы.