Имитационное моделирование в среде ms excel

Что этот результат не является изъяном процедуры настройки параметров, доказывает настройка параметров по предварительно прологарифмированным данным (т. е. в соответствии с процедурой построения регрессионной степенной модели) (табл. 2.3).

 

Таблица 2.2. Результаты настройки имитационной и регрессионной моделей

 

	A	B	C	D	E	F
1			63.2		12.3
2			2.41		3.68
3	Укус	N экз.	N м.	ф	N р.	ф
4	1	14	63.2	2424.7	12.3	2.9346
5	2	99	337	56544	157	3361.9
6	3	1128	896	53879	697	186004
7	4	1724	1794	4839.2	2006	79333
8	5		3073		4555
9			Ф =	117686	Ф =	268702

 

 

Таблица 2.3. Имитационная модель по логарифмам данных из табл. 2.2

 

	A	B	C	D
1		12.29	1.089444
2			3.675404
3	Lg(У)	Lg(N)	Lg(N р.)	ф
4	0	1.146	1.089444	0.003
5	0.30	1.996	2.195851	0.04
6	0.48	3.052	2.843057	0.044
7	0.60	3.237	3.302258	0.004
8	0.69		3.658441
9			Ф =	0.091

 

Надо заметить, что логарифмирование изменяет и форму связи, степенное уравнение становится линейным: вместо Y = aXb получаем lgY = lga + lgX · b или в формате Excel С5 = С$1+A5*C$2 (табл. 2.3, ячейка С5). Настроенные параметры модели в точности соответствуют регрессионным:

Lg(N р.) = 1.089444 + Lg(У)· 3.675404 или

N р. = 12.29· У3.675404, поскольку 101.089444=12.29 (ячейка B1).

Сопоставляя результаты “прямого” и “логарифмического” путей определения параметров модели, становится ясным, что во втором случае логарифмы играют роль весовых коэффициентов, преувеличивающих роль небольших величин и преуменьшающих влияние больших чисел на результаты моделирования.

Здесь возникает закономерный вопрос, существуют ли какие-либо теоретические соображения о правомерности такого формального способа взвешивания данных? Автору такие положения неизвестны. Более того, с содержательной (интуитивной?) точки зрения ход модельной кривой выглядит гораздо более убедительным, чем ход линии регрессии (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3.  Номера кусающихся особей: данные и модели

 

 

 

 

 

Аналитические и имитационные модели

 

Помимо перечисленных внешних отличий аналитических и имитационных моделей (формула и программа, время как переменная и как счетчик, решение и настройка) уместно будет коснуться еще двух вопросов. Важное сходство этих типов моделей  состоит в том, что эти модели могут быть динамическими, с их помощью можно одновременно изучать и скорости протекания наблюдаемых процессов и их результат. Формула имитационной модели в отдельной ячейке электронного листа может отражать приращение некой функции за фиксированный отрезок времени (модельный шаг); по существу это числовой дискретный аналог производной. Пошаговое суммирование всех частных эффектов (аналог интегрирования) дает динамику обобщающей функции (аналог первообразной). И хотя имитационное моделирование родилось как способ численного решения сложных дифференциальных уравнений, сейчас оно переросло в самостоятельный метод, сохранив важнейшие функции дифференциальных уравнений – описание динамических систем.

Еще одно сходство заключается в форме записи. И там и тут мы находим уравнения, т. е. реализацию отношения эквивалентности, или эквиваленции (Свинцов, 1987) между правой и левой частями модельных формул. Однако это сходство лишь внешнее.

Основная цель аналитического моделирования состоит в поиске общего решения системы уравнений, независимо от величины модельных параметров. Отношение эквиваленции играет в этом случае структурообразующую роль, поддерживая жесткие связи между переменными и параметрами в чреде аналитических преобразований формул в процессе поиска корней. Эквиваленция выступает необходимым условием сохранения постоянства заложенных в модель теоретических оснований. Это “внутреннее” средство поддержания сохранности теоретических конструкций. Аналитическое моделирование есть метод теоретического исследования.

При имитационном моделировании, напротив, конструкция модели, по определению, должна быть не постоянна, но податлива для произвольных изменений. По этой причине знак равенства в формулах обслуживает другое отношение эквиваленции, а именно: между реальными эмпирическими данными и модельными параметрами (посредством модельных переменных). Цель имитационного моделирования состоит в поиске частного решения системы модельных уравнений, т. е. в подборе таких значений параметров, которые обеспечивают объяснение существа наблюдаемого конкретного явления. Эквиваленция здесь играет роль критерия, устанавливающего соответствие между конструкцией модели и организацией реального объекта. В этом качестве отношение эквиваленции используется как “внешнее” средство для объяснения частных явлений. Имитационное моделирование есть метод эмпирического исследования.

По мнению автора, этот тезис очень важен для биологов. Он показывает, что имитационное моделирование не есть приложение высшей математики. По способу записи модели — это алгебра, по способу расчетов — арифметика. Четырех арифметических операций во многих случаях оказывается достаточно для воплощения предположений биологов о характере функционирования изучаемого объекта. Реализацию отмеченного отношения эквивалентности принимает на себя имитационная система. Такая ситуация снимает с биологов ответственность за известную математическую неграмотность и позволяет с легким сердцем пользоваться эффективным количественным инструментом познания, арифметическим моделированием.

Конечно, автор не призывает “кухарку управлять государством”, но лишь, как водится, — учиться “управлять”. К сожалению, такая позиция, по опыту автора, не находит отклика в сердцах математиков. Видимо, коллизии между “математиками от биологии” и “биологами от математики” достаточно обычны. Иначе чем объяснить такую настоятельную рекомендацию автора одной из современных монографий по имитационному моделированию: “Совершенно недопустима демонстрация превосходства и тем более высокомерия, свойственная отдельным математикам...” (Угольницкий, 1999, с. 57)?

Конечно, знание математики не может помешать построению моделей. Но в любом случае лучше на первых порах ошибаться в попытках построить модель, чем в угоду предвзятым специалистам вовсе отказываться от этого метода исследования биосистем.

 

 

Переменные и параметры

 

Перед составлением системы модельных уравнений следует тщательно описать входящие в их состав численные показатели. Все количественные характеристики модели делятся на переменные величины и константы (параметры).

Переменные характеризуют среду, окружающую изучаемую систему, изменчивое состояние самой системы в целом и ее элементов в частности. В терминах блок-схемы переменные – это потоки, количественное проявление способа существования статических компонентов системы (см. раздел Идеология моделирования). Отдельный элемент может быть описан несколькими переменными. Поэтому говорят о разных языках описания системы: каждый язык относится к одному виду потоков данного уровня иерархии. Потоки преобразуются в процессе функционирования системы: либо изменяют свою величину, либо трансформируются в другие потоки. 

Параметры количественно выражают режимы (скорость, интенсивность) преобразования потоков (изменения значений переменных). В отличие от переменных величин параметры обычно задаются неизменными, во всех модельных расчетах они остаются независимыми от состояния системы (другое дело, когда они изменяются, “оптимизируются”, в процессе настройки модели).

Установление состава изучаемых признаков – это первый шаг в их описании (Методы…, 1980, с. 58). Чем больше привлекается переменных, тем ближе к оригиналу будет протекать “жизнь” модели, напротив, чем меньше переменных, тем проще оказывается объяснить причинно-следственные связи между элементами системы, и тем легче будет настроить модель. Противоречие “простота – полнота” модели (Перегудов, Тарасенко, 1989, с. 281) заставляет на разных этапах стремиться к оптимальной конструкции. Во-первых,  на стадии составления блок-схемы  соображения о существе биологического процесса позволяют отобрать переменные, исходя из иерархической  композиции объекта (Безель, 1987, с. 23). Во-вторых, в процессе настройки модели приходится улучшать модель путем добавления или исключения переменных с контролем ее адекватности системе-оригиналу (Дженнрич, 1986, с. 78). Формальным методом для этого служит оценка статистической значимости параметров, которая позволяет достаточно обоснованно изменять их состав. В арсенал эффективных приемов исправления модели входят агрегация переменных (Акоф, Сасиени, 1971, с. 105), декомпозиция исходных переменных на две или более составляющих, конструирование скрытых переменных (Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 53). При организации матрицы исходных данных важно следить за тем, чтобы число строк (объектов наблюдения, шагов динамики) было минимум в два раза больше числа столбцов (признаков, контролируемых явных переменных).

 

Природа переменных

На втором шаге выясняется происхождение и тип изучаемых величин (Акоф, Сасиени, 1971, с. 104). Измеренные в разных шкалах (номинативной, порядковой, интервальной) признаки могут быть дискретными (класс, ранг, балл) или непрерывными (шкалы отношений и абсолютные шкалы). В целях упрощения описания модели часть непрерывных переменных зачастую переводят в дискретную форму. Так, преобразование плавной периодической функции в форму дискретной (прямоугольной) функции во многом упрощает анализ динамики процесса, почти не снижая его точности (Мерсер, 1964, с. 148). Гладкую кривую нормального распределения непрерывного признака переводят для упрощения расчетов в дискретную форму, основанную на интервальной шкале (Ивантер, Коросов, 1992, с. 21–22). В других случаях возникает задача преобразования переменных. Многие химические, биохимические и  физиологические показатели имеют логнормальное распределение (Израэль и др., 1985, с. 10; Безель, 1987, с. 26). Логарифмирование этих значений дает нормальное распределение, что более удобно для статистического анализа.

 

Определение состава выборок

Третий шаг – это формирование массивов исходной информации (совокупности вариант, множества объектов, серия шагов). Эти данные количественно выражают состояние изучаемой системы в разные моменты времени, в разных точках пространства, при разных внешних воздействиях.  Состав выборки, следовательно, отражает те направления изменчивости, с учетом которых должны строиться и модель взаимоотношений между переменными, и интерпретация результатов моделирования. В массивах биологических данных отчетливо выделяются несколько общих направлений изменчивости, вызывающих корреляцию между признаками (Мина, 1975, с. 177; Мина, Клевезаль, 1976, с.  10–12; Коросов, 1996, с. 11–17):