Имитационное моделирование в среде ms excel

 

Формулы имитационной модели вычисляют значения модельных переменных, для которых имеются (явные переменные) или отсутствуют (скрытые переменные) аналоги в массиве исходных данных (среди зависимых переменных). Существует два принципиально разных пути модельного отображения реальности (два типа имитационных моделей): описание процесса в целом (описательная модель) и характеристика скорости процесса (динамическая модель).

Описательная модель выражается одним уравнением, которое охватывает процесс целиком и позволяет непосредственно вычислить значения переменных при любых значениях независимой переменной (в любой момент времени). По своим результатам такое моделирование подобно регрессионному анализу. В зависимости от целей и наличных данных можно выделить три конструкции обобщенной модели (табл. 2.4).

Таблица 2.4. Способы обобщенного описания зависимостей

 

Индекс	Тип зависимости	Тип данных	Общий вид модели
О1	Зависимость переменной от времени	Временной ряд	Y = f(A,T)
О2	Зависимость одной переменной от другой	Выборка сопряженных значений	Y = f(A,Х)
О3	Зависимость процесса изменения одной переменной от других	Несколько временных рядов сопряженных значений	Y = f(A,Х1,Х2,...,Т)

 

Обобщенное описание зависимости процесса от времени (О1) можно выразить формулой:

Y = f(A, T) (например, уi = a·i + b),

она рассматривает два ряда исходных значений: ряд временных шагов (Т):

i = 1, 2 ,…,T,

а также временной ряд значений переменной, изменяющейся с течением времени:

Y = {у1, у2,….уi,… уT}.

В этом случае речь идет о ряде значений, упорядоченных во времени. Для задания формы соотношения f() можно воспользоваться самыми различными конструкциями, в числе которых наиболее простые – это линейное, степенное, экспоненциальное уравнения зависимости, среди более сложных – параболическое, логистическое (кривая Ферхюльста) (табл. 2.5).

Пример такого рода (зависимость размеров тела от возраста) можно найти в разделе Адекватность и значимость. Понятно, что на базе основных типов зависимости можно сконструировать формулы любой сложности с любым числом коэффициентов.

 

Таблица 2.5. Уравнения зависимости процесса от времени

 

Тип зависимости	Уравнение f()
Линейная	уi = a·i + b
Степенная (аллометрическая)	уi = b·ia
Экспонента	уi = b·eai
Парабола (i-й степени)	уi = a0 +a1·i + a2·i2 + … + aj·ij
Логистическая кривая	уi = C + A/ (1+ea·i+b)
Примечание: a, b – коэффициенты пропорциональности,                        j – номер переменной

 

Обобщенное описание зависимости одной переменной от другой (О2) можно выразить формулой:

Y = f(A, Х) (например, уi = a·x + b),

она рассматривает два ряда исходных значений – выборку зависимой переменной (Y):

Y = {у1, у2, …уn},

и выборку независимой, заданной переменной (Х):

X = {x1, x2, …xn},

i = 1, 2, ... n.

В этом случае речь идет об изучении выборки вариант (объемом n), несущих по два признака. Для задания формы соотношения f() между переменными можно воспользоваться теми же уравнениями, включая полиномиальную (табл. 2.6). Простой пример такого рода модели приведен во Введении.

Описание зависимости процесса изменения одной переменной от нескольких (О3) есть обобщение первых двух случаев. Такой пример можно найти в разделе Сети связей.

 

Все рассмотренные уравнения характеризуют изучаемое явление в целом, не вникая в нюансы его динамики. Обычно для  описания экологических явлений приходится пользоваться моделями сложного вида (см. раздел Аппроксимация кривой). Предлагаемые приемы помогут быстро и легко найти точные параметры общих уравнений любой сложности.

 

Таблица 2.6. Уравнения зависимости двух переменных

 

Тип зависимости	Уравнение f()
Линейная	уi = a·x + b
Степенная (аллометрическая)	уi = b·xa
Экспонента	уi = b·eax
Парабола (j-й степени)	уj = a0 +a1·x + a2·x2 + … + aj·xi
полином	уji = a0 + a1·x1i + a2·x2i +…+ aji·xji
Логистическая кривая	уi =  C + A/ (1+ea·x+b)
Примечание: a, b – коэффициенты пропорциональности,                        j – номер переменной,                        n – объем выборки, i=1, 2, …, n

 

Преимущество имитационного моделирования перед регрессионным анализом раскрывается при разделении сложных зависимостей на слагаемые. Вообще говоря, любая криволинейная связь двух переменных является отражением процесса формирования их значений. Поскольку непосредственные явления мира биоты (притяжение – отталкивание; добавление – утрата) реализуются всегда линейно, криволинейность связи появляется при объединении нескольких линейных процессов, а сложная криволинейность – при их дальнейшей интеграции. Имитация позволяет найти эти простые составляющие, раскрывая тем самым источники их формирования (см. раздел Декомпозиция кривой).

 

Динамическая модель служит для описания скорости и результата процесса, она характеризует причинный механизм его протекания, поскольку дает возможность сконцентрировать внимание на исследовании каждого момента осуществления процесса. В отличие от единственного уравнения описательных моделей динамические имитационные модели представлены как минимум двумя уравнениями. Одно из них для каждого шага позволяет рассчитать только сиюминутный результат процесса. Второе служит для аккумуляции частных результатов, полученных на всех предыдущих шагах. На листе Excel полная модель занимает блок ячеек. Получается, что для расчета значений в заданный конкретный момент времени (на данном шаге, в отдельной ячейке Excel) требуется воссоздать ход всего процесса с самого начала. В зависимости от целей исследования и наличных данных можно говорить о четырех основных конструкциях динамических моделей (табл. 2.7).

 

Таблица 2.7. Способы описания скоростей изменения переменных

 

Индекс	Тип зависимости	Тип данных	Общий вид модели
С1	Зависимость текущего значения переменной от предыдущего значения этой же переменной	Один автономный процесс	Yi = f(A, Yi-1, T)
С2	Зависимость текущего значения переменной от предыдущего значения другой переменной	Один зависимый процесс	Yi = f(A, Xi-1, Yi-1, T)
С3	Зависимость текущих значений серии переменных от предыдущих значений соседних переменных	Серия зависимых процессов, обратная связь	Yi = f(A, Xi-1, T) Xi = f(B, Yi-1, T)
С4	Зависимость текущих значений переменных и параметров от предыдущих значений этих же или соседних переменных	Серия зависимых процессов (с двумя контурами обратной связи)	Yi = f(Ai, Yi-1, T) Ai = f(C, Yi-1, T)

 

В случае автономной, самообусловленной, модели текущее значение модельной переменной определяется ее предыдущим значением (текущее состояние моделируемой системы определяется лишь предыдущим ее состоянием) (табл. 2.7, С1). Модель комплектуется из двух формул. Одна из них вычисляет частный результат процесса, достигнутый в каждый отдельный момент времени (скорость процесса):

dуi = a· уi-1 + b;

другая формула ответственна за интеграцию всех частных результатов в один общий:

уi = уi-1 + dуi,

где

уi – текущее значение переменной (характеристика состояния),

уi-1 – значение переменной на предыдущем (i-1-ом) временном

        шаге (характеристика предыдущего состояния),

dуi – прирост переменной за i-й временной шаг,

a, b – коэффициенты пропорциональности,

i = 1, 2 ,…, T – индекс временных шагов модели.

Член dуi аналогичен производной, вычисленной для каждого момента времени (скорость изменения x на данном шаге i), а член уi подобен первообразной (результата изменения переменной к данному моменту).

С точки зрения статистической значимости модели одни и те же исходные данные могут быть одинаково хорошо описаны и формулами обобщенного описания, и формулами скорости процесса, но во втором случае модельные параметры имеют гораздо более прозрачную биологическую интерпретацию и могут эффективно сравниваться друг с другом. Пример можно найти в разделе Пропуски в данных, где рост рассматривался как автономный процесс.

 

Иную ситуацию описывает модель обусловленности средой, когда    текущее    значение    модельной   переменной   определяется, во-первых, предыдущим значением (предыдущим состоянием моделируемой системы), во-вторых, значением внешней переменной (табл. 2.7, С2). Таким образом может быть описано влияние среды на внутреннее состояние системы или воздействие одной переменной на другую переменную системы. Число формул увеличивается:

d1уi = a· уi-1 + b;

d2уi = c· xi-1 + d;

dуi = d1уi + d2уi;

уi = уi-1 + dуi,

где

  d1уi, d2уi – приросты переменной за счет внутренних потенций системы и в результате внешнего влияния,

a, b, c, d, e, f – коэффициенты пропорциональности.

Такого рода модели очень сложно выразить в форме обобщенных аналитических выражений, тем более с помощью регрессионного анализа. Однако в рамках имитационной системы они имеют очень простое оформление. Этот тип модели был использован для имитации автономного роста численности популяции гадюки, на который накладывается влияние среды в виде гибели особей по разным причинам (см. сквозной пример).

Важно отметить, что эта конструкция позволяет очень просто моделировать динамику системы с запаздыванием ее отклика на внешние воздействия путем простого изменения индекса (ссылки) у переменной. Так, для учета влияния пред-предыдущего значения средовой переменной в предыдущую модель вносятся следующие изменения или дополнения:

d3уi = e· xi-2 + f;

dуi = d1уi + d2уi + d3уi.

Пример модели такого типа представлен в разделе Сети связей, где изучается влияние отдаленных (позапрошлогодних) событий на численность групп взрослых особей.

 

Модель взаимообусловленности, обратной связи (табл. 2.7, С3), рассматривает ситуацию, когда текущее значение одной модельной переменной определяется предыдущим значением другой переменной и одновременно текущее значение второй переменной определяется предыдущим значением первой:

dхi = a· уi-1 + b;

dуi  = c· xi-1 + d;

уi = уi-1 + dуi,

хi = хi-1 + dхi,

где

  хi, уi – две модельные переменные,

a, b, c, d – коэффициенты пропорциональности.

Здесь речь идет о системе с обратной связью, для которой общего аналитического решения получить нельзя, но можно исследовать ее динамику численными методами – с помощью моделирования (см. раздел Усреднение или параметризация?).

Во всех рассмотренных случаях параметры представленных моделей задавались неизменными на всех шагах процесса. Так в модели воплощается упрощенное и заведомо неверное предположение о неизменности скорости жизненных процессов биологической системы-оригинала при любых ее состояниях. Однако совершенно очевидно, что реальные прототипы параметров моделей не обладают таким постоянством и во многом определяются текущим состоянием системы. В связи с этим в модель иногда имеет смысл вводить переменные параметры – параметры, изменяющиеся либо автономно, либо зависящие от некоторых переменных моделируемой системы (табл. 2.7, С4). С точки зрения строения имитационной системы можно говорить о создании новой скрытой переменной, которая влияет на некоторую явную переменную. Модель с автономными переменными параметрами будет иметь следующий вид:

dai  = c· ai-1 + d;

dyi = ai· уi-1 + b;

уi = уi-1 + dуi,

где

  ai, ai-1 – текущее и предыдущее значения параметра,

dai – прирост параметра на одном временном шаге.

Как выясняется, такие модели много более точно описывают динамику системы, учитывая, например, возрастные изменения скорости накопления тяжелых металлов (Медведев, Коросов, в печати), или возрастное изменение скорости потребления пищи (см. раздел Пропуски в данных).