Имитационное моделирование в среде ms excel

— расчет новых значений исходных данных.

Простейший датчик случайной величины, имеющей нормальное распределение, основан на датчике случайной величины, равномерно распределенной на интервале от 0 до 1. Проще всего распределение можно получить с помощью функции Excel =СЛЧИС(), которая реализует конгруэнтный метод (Прицкер, 1987, с. 47):

zi+1=(a zi + b)(mod c),

где  z – случайное число в диапазоне 0–1,

a, b, c – любые константы,

mod c – возвращение остатка  от деления (az + b)/ c.

При желании эту формулу, или ее упрощенный аналог,

zi+1=azi (mod c) (Акоф, Сасиени, 1971, с. 126),

можно использовать для создания собственной случайной величины. Хорошие результаты дают значения а=125, с=8192 (Нивергельт и др., 1977, с. 210); остаток от деления возвращает функция Excel  =ОСТАТ(делимое, делитель).

Датчик нормального распределения можно получить на этой основе с использованием центральной предельной теоремы. Величина t аппроксимирует нормальное распределение:

t = (1/n)( Szi – 0.5)(12n)0.5,

где  zi  – значения случайных величин, распределенных равномерно на интервале [0...1], i=1, 2,... n;

t – значение случайной  величины, распределенной нормально  со средней М=0 и стандартным  отклонением S=1 (Нивергельт и др., 1977, с. 219). Для приблизительных расчетов  те же авторы рекомендуют упрощенную  формулу суммирования двенадцати  значений z (n=12):

t = Szi – 6, i=1, 2, 3,... 12.

Рассчитать новые рандомизированные исходные значения x можно по формуле:

x = M ± t · S,

поскольку значения t представляют собой нормированные отклонения значений исходных переменных от своих средних, t = (x – M) / S.

Значения М и S назначаются по результатам предварительных исследований статистической природы изучаемых признаков. На первый случай в качестве М можно взять реальное исходное значение “варьируемой” переменной, а в качестве S – значение, равное 15% от величины М, поскольку основное большинство биологических признаков имеет коэффициент вариации (CV = S/M) не более 20 % (Яблоков, 1968).

 

 

Пример с популяцией гадюки

Рассмотренная выше модель динамики гибели меченых гадюк (раздел Имитационная система, табл. 2.12) позволила рассчитать некие средние уровни численности и смертности животных в популяции. Однако ясно, что реальный уровень численности отличается от расчетного и затушеван случайной изменчивостью,

NМОД. = NРЕАЛ. + NСЛ.

В свою очередь, случайные флюктуации оценок численности вызваны случайной изменчивостью числа меченых животных в пробах. Среди причин, определяющих изменение вероятности попадания в очередную пробу ранее меченого животного, важно назвать две –относительную неравномерность исследования территории острова и изменение статуса особей (повзрослевшую особь встретить и отловить много легче, чем молодую).

На основании этой информации можно приблизительно рассчитать величину случайного уменьшения или увеличения вероятности отлова отдельной меченой  змеи. Это отклонение служит основанием для превращения реального числа отловленных животных (m) в измененное, новое число повторно отловленных животных (mН.).

По нашим данным, в разные годы число меченых особей в пробе колебалось от 18 до 9 экз. (табл. 2.12). Грубый расчет (для CV=15 %) позволяет получить возможные  значения дисперсии:

S = 18 · 0.15 = 2.7 и S = 9 · 0.15 =  1.35 особи.

Специальный анализ (Коросов, 2000, с. 189) показал близкие значения:

S = 4 (от 0 – до 10) экз.

Теперь можно вычислять новые, теоретически случайные, объемы повторно отловленных особей в каждой пробе по формуле:

mН. =  m ±t · S,

где  m. – реальное число меток в пробе,

S – стандартное отклонение, S = 4 экз.

±t – значение случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Сначала на листе Excel была подготовлена таблица для расчета флуктуирующих значений меченых особей (табл. 2.14). Значения равномерной случайной величины (zi) рассчитывались с помощью функции =СЛЧИС(), значения нормальной случайной величины (t) вычислялись по формуле t = Szi – 6. Новые (случайно измененные) значения числа меченых животных в повторных пробах определялись по формуле: mН. = m ±t· 4, а эмпирические значения взяты из  исходной табл. 2.8 (с. 84).

 

Таблица 2.14. Расчет одного набора (m10) случайно измененных значений числа меченых животных в пробах

 

Год	m	m10	t	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9	z10	z11	z12
1995	18	22	1	0.9	0.8	0.8	0.7	0.2	0.9	0.5	0.4	0.8	0.1	0.8	0
1996	10	5.3	-1.2	0	0.2	0.8	0.8	0.3	0.5	0	0.8	0.6	0.1	0.8	0
1997	10	14	0.9	0.8	0.5	0.4	0.4	0.2	1	0.9	0	0.9	1	0.8	0
1998	9	8.5	-0.1	0.6	0.8	0.3	0.6	0.3	0.9	0.1	0	0.5	0.9	0.5	0.2

 

Варьирование около фактического значения числа повторно отловленных животных предполагает, что эти значения достаточно близки к генеральному среднему уровню меченых особей в популяции; задача сводится только к созданию серии новых рандомизированных рядов повторных отловов. Так были получены 10 новых массивов данных (m1 – m10), которые затем были использованы для новой настройки параметров модели (N, Nd) (табл. 2.15).

 

Таблица 2.15. Изменчивость параметров модели, настроенных по варьирующим данным

 

Год	m1	m2	m3	m4	m5	m6	m7	m8	m9	m10	M	S	m
1995	20	19	17	15	15	22	9	18	15	22	17	4
1996	12	10	4	13	11	11	7	12	10	5	9	2.9
1997	7	16	23	13	14	13	16	10	10	14	14	4.3
1998	9	10	8	2	10	12	9	11	7	8	9	2.9
N	2448	3171	3420	2912	3575	2667	4555	3330	3643	2541	3226	632	200
Nd	386	0	0	430	0	123	0	52	173	345	151	174	55

 

Выборка из десяти значений параметров (N, Nd) позволяет рассчитать их статистическую ошибку (в качестве средних принимаем результаты расчета по реальным значениям меченых). По этим данным, численность гадюки на о. Кижи составляет N ± mN = 3086 ± 200 экз. , а смертность Nd ± mNd = 228 ± 55 экз.

Полученные оценки ошибок, конечно, не точны вследствие небольшого объема повторных расчетов (n=10). Это заметно по тому, что базовая и средняя оценки численности не совпали (N=3086 экз. против N=3226 экз.), то же и для числа меченых животных в пробах для отдельных лет (реальный ряд: 18, 10, 10, 9 экз. против расчетного: 17, 9, 14, 9 экз.). Возможно, увеличение выборки смогло бы нивелировать различия и уточнить оценки ошибок.

Недостатком рассмотренного метода следует назвать ничем не обоснованное предположение о том, что обнаруженные в повторных отловах объемы меченых животных (mi) хорошо отражают концентрацию меченых животных в популяции и могут фигурировать в качестве генеральных средних при рандомизации. Снять это возражение можно, лишь предложив способ получения более репрезентативных характеристик повторных отловов. В нашем исследовании такие величины удалось получить, вычисляя средние многолетние доли меток в повторных пробах (Коросов, 2000, стр. 191, 207).

 

3. Приемы моделирования

 

Строение имитационной системы определяется, во-первых, ее предназначением (необходимо оценить параметры имитационной модели), во-вторых, структурой доступных исходных данных (независимых и зависимых внешних переменных) и, в-третьих, тем, какова должна быть функция модели (аппроксимация, интерполяция, декомпозиция, интеграция). Ниже различные фреймы (конструкции, каркасы, варианты) имитационных систем рассмотрены с позиций системного подхода. Это значит, что создание каждого нового фрейма, соответствующего новой задаче и содержащего новые модельные компоненты (дифференциация, декомпозиция), идет с параллельной разработкой способа объединения этих компонентов в целостную систему (интеграция, агрегация), способную выполнить свою главную функцию — корректно оценить параметры модели. Конкретно речь идет об оптимальной перестройке структуры имитационной системы, пополнении ее различными вспомогательными блоками или операциями, среди которых наиболее значимую роль играют организация непрерывной динамики модели и весовые коэффициенты. 

 

Фреймы имитационных систем

 

Основные варианты конструкций имитационной системы представлены на иллюстрациях (рис. 3.1), где прямоугольниками отображены блоки ячеек листа Excel, а стрелками — отношения  между этими блоками (ссылки), которые означают использование значений из одних ячеек для расчета в формулах, находящихся в других ячейках. Хотя на иллюстрации блоки связаны одной стрелкой, фактически ссылки индивидуальны, все ячейки одного блока связаны с соответствующими ячейками  (обычно той же строки) другого блока. В наиболее разветвленных схемах очевидные стрелки не изображены.

1. Базовый фрейм имитационной  системы

Простейшая схема содержит 5 блоков объемом по одной ячейке. Значение внешней независимой переменной (НП) используется в формуле расчета значения модельной явной переменной (ЯП) с участием значения параметра (П): ЯП = П*НП.

 

 

 

						П
		НП		ЗП		ЯП		КР

 

 

				КА		П		ФН
	1	НП		ЗП		ЯП		КР
	2
	3
	4
	5
	6