Разные способы решения задач на движение в начальных классах

Таким образом, при решении какого-либо упражнения ребенок выполняет анализ — разделяет вопрос и условия, обозначает данные, рассматривает различные планы решения.

Синтез происходит, когда ребенок использует конкретизацию (мысленно воспроизводит условие задания), а затем абстрагирование (отходит от определенной ситуации, подбирает различные арифметические действия).

При многократном решении различных видов задач, учащийся соединяет знания связей между данными и искомым в упражнениях этих видов. В результате всего этого суммируется способы решения задач таких видов.

Одна из самых важных функций, которые выполняет задача, является развитие и формирование у детей логического мышления, навыка проводить различные анализы и синтезы, суммировать, абстрагировать и конкретизировать, находить связи, находящиеся между данными явлениями.

Способность решать задачи так же способствует закалке терпения, настойчивости, силы воли, пробуждает интерес ребенка к различным поискам ответа на вопрос, а так же дает огромную возможность почувствовать удовлетворение, которое можно получить при нахождении правильного решения.

Овладеть самыми простыми основами математического процесса невозможно без решения и анализа задачи. Это является одной из главных основ в познании математики.

Этот вид занятий не только стимулирует понятие математики, но и создает проход к ее глубокому пониманию.

Деятельность, в ходе которой осознается ход решения какой-либо математической задач, предоставляет толчок к совершенствованию мышления ребенка.

Нельзя забывать, что нахождение ответа к задаче формирует у учеников многие положительные черты характера и улучшает их в эстетическом смысле, что скажется на их будущей жизни.

2. Трудности при решении задач на движение

 

Задачи на движение - это большая группа задач, которые традиционно считаются трудными для учеников начальных классов.

Существуют две самые важные причины трудностей:

1. Понятие скорости.

Это связано с тем, что её нельзя увидеть, её нельзя измерить как время (часами) и как расстояние (линейкой).

2. Чертёж в отрезках (математическая модель).

Научиться преодолевать трудности в решении задач на движение – это значит научиться определять зависимость между величинами: скорость, время, расстояние.

В задачах на движение есть три взаимосвязанные величины:

1) S ─ пройденный путь или  расстояние;

2) t ─ время, за которое был  пройден весь путь;

3) v ─ скорость, с которой был пройден весь путь.

Расстояние ─ это произведение скорости на время движения (S=v*t);

Скорость ─ это частное от деления расстояния на время движения (v=S/t);

Время – это частное от деления расстояния на скорость движения (t=S/v)

Могут быть различные ситуации, связанные с отношением этих величин. Такие как:

1. Встречное движение;

2. В противоположных направлениях, но из одного пункта;

3. Движение в одну сторону из одного пункта, но с разными скоростями.

Важно уделить внимание таким моментам, без которых невозможно решить какую-либо задачу на движение. К ним относятся:

1) При решении задач на движение  с двумя элементами используют такие понятия как «скорость сближения» и «скорость удаления».

2)При решении задач на встречное  движение и движение в противоположных  направлениях скорость сближения и скорость удаления находятся сложением скоростей движущихся объектов.

3)При решении задач на движение в одном направлении скорость сближения и скорость удаления находятся разностью скоростей движущихся объектов.

Рассмотрим примеры решения таких задач.

ЗАДАЧА 1.

«Расстояние между автомобилями «Мерри» и «Санни» 345км.

На каком расстоянии они будут находиться через 2 часа пути, если скорость «Мерри» 72 км /ч, а «Санни»  ─ 68 км /ч, и они выезжают из разных стоянок навстречу друг другу одновременно?»

Первый способ решения.

1) находим скорость приближения  машин друг к другу;

72 + 68 =140 (км /ч)

2) далее определяем расстояние, на которое они приблизятся  за 2 часа;

140 * 2 = 280 (км)

3) вычисляем расстояние на котором  будут «Мерри» и «Санни» через 2 часа пути.

345 – 280 = 145 (км)

Ответ: 145 км.

Второй способ решения.

1)находим расстояние, которое проедет «Мерри» за 2 часа;

72 * 2 =144 (км)

2) определяем расстояние, которое  поедет «Санни» за 2 часа;

68 * 2 = 136 (км)

3) вычисляем расстояние на которое  автомобили приблизятся друг  к другу за то же самое  время;

144 + 136 =280 (км)

4) рассчитываем расстояние на  котором будут машины через 2 часа.

345 – 280 = 145 (км)

Ответ: 145 км.

ЗАДАЧА 2.

«Нами живет в Лог-Тауне, а Робин в Лог-Посе, расстояние между которыми 720км. Из Лог-Поса в Лог-Таун вышел скоростной поезд со скоростью 80км/ч. Через 2 часа навстречу ему  из Лог-Тауна в Лог-Пос вышел пассажирский поезд со  скоростью 60км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?»

Решение.

1) определяем путь скорого поезда  за 2 часа;

80*2=160(км)

2) вычисляем сколько осталось проехать поездам;

720-160=560(км)

3) рассчитываем скорость сближения  поездов;

80+60=140(км/ч)

4) находим расстояние пути, в  котором был пассажирский поезд.

560:140=4(ч)

Ответ: 4 часа

ЗАДАЧА 3.

«Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса.  Скорость одного автобуса 45 км/ч, а скорость другого автобуса 72км/ч. Первый автобус до встречи проехал 135км. Найдите расстояние между пунктами.»

Первый способ решения.

1) определяем время пути до  встречи;

135 : 45 = 3 (часа)

2) ищем путь второго автобуса  до встречи;

72 * 3 = 216 (км)

3) находим расстояние между пунктами.

135 + 216 = 351 (км)

Ответ: 351 км.

Второй способ решения.

1) находим время движения до  встречи;

135 : 45 = 3 (часа)

2) ищем скорость сближения автобусов;

45 +72 = 117 (км/ч)

3) определяем расстояние между  пунктами.

117 * 3 = 351 (км)

Ответ: 351 км.

ЗАДАЧА 4.

«Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра ─ Санджи и Зоро. Скорость одного Зоро 48 км/ч., а Санджи ─ 54 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?»

Первый способ решения.

1) определяем путь, который пробежит  Зоро за 2 часа;

48 * 2 = 96 (км)

2) вычисляем путь, который пробежит  Санджи за то же время;

54 * 2 = 108 (км)

3) находим расстояние, которое будет между ними

96 + 108 = 204 (км)

Ответ: 204 км.

Второй способ решения.

1) определяем скорость удаления  тигров;

48 + 54 =102 (км/ч)

2) находим расстояние, которое будет  между ними через 2 часа.

102 * 2 =204 (км)

Ответ: 204 км.

Исследование трудов различных психологов представило возможность выделить уровни навыков решения задач в младших классах.

Рассмотрим их.

1. Низкий уровень;

Ученик воспринимает задачу поверхностно, при этом выделяет различные многогранные данные, чаще всего и несущественные элементы упражнения.

2. Средний уровень;

Ученик воспринимает задачу и одновременно ее анализирует, стремясь  как можно лучше понять смысл задачи, а так же обозначить данные и искомое, но при этом может определить между ними лишь некоторые связующие сведения.

3. Высокий уровень.

Ученик проводит полноценную цепь корреляций между данными и искомым, в ходе чего может сам проследить разные способы решения и обозначить наиболее подходящий вариант из возможных.

Для того чтобы оценить возможности детей, а потом ставить задачу урока, в которой организованна работа с задачами в зависимости от уровня навыков, в одно и то же время, можно использовать индивидуальные карточки с заданиями, которые должны быть приготовлены заранее в трех разных вариантах.

Эти карточки должны содержать  различные методы, связанные с рассуждением и решением одной и той же задачи, но на различных уровнях сложности.

Они располагаются перед учениками в виде напечатанного текста.

Ученики выполняют полученные задания самостоятельно, письменно и в специально отведенном для этого месте.

Предоставленный вариант оптимального уровня сложности в зависимости от навыков ученика, предоставляет реализовать разграничить и определить поисковую деятельность при решении задачи.

Рассмотрим примеры  таких карточек.

«От двух пристаней, расстояние между которыми 117 км, отправились одновременно навстречу друг другу по реке два катера. Один шел со скоростью 17 км/ч, а другой - 24 км/ч.

Какое расстояние будет между катерами через 2 часа после начала движения?»

Первый уровень

Рассмотри чертеж к задаче и выполни задания:

_____________________________

_____________________________

а) обведи синим карандашом отрезок, обозначающий расстояние, пройденное первым катером за 2 часа. Вычисли это расстояние;

б) обведи красным карандашом отрезок, обозначающий расстояние, пройденное вторым катером за 2 часа. Вычисли это расстояние.

в) рассмотри отрезки, обозначающие расстояние, пройденное двумя катерами за это время. Вычисли это расстояние.

г) прочитай вопрос задачи и обозначь дугой на чертеже отрезок, соответствующий искомому. Вычисли это расстояние.

Если задача решена, то запиши ответ.

Ответ:____________

Рассмотри еще раз задание (1) и запиши план решения этой задачи (без вычислений).

Проверь себя! Ответ: 35 км.

У этой задачи есть более простой способ решения, но он является трудным для учеников с низким уровнем навыков решения задач, так как подразумевает под собой раскрытие менее точным понятием «скорость сближения».

Следовательно, предлагаем ученику проанализировать и просмотреть данный способ решения и обосновать его.

Такое задание будет обозначено в карточке в виде дополнительного.

Дополнительное задание:

Рассмотри другой способ решения данной задачи.

Запиши пояснения к каждому действию и вычисли ответ:

Ответ:__________________

Второй уровень

Закончи чертеж к задаче.

Обозначь на нем данные и искомое:

_____________________________

_____________________________

Рассмотри "дерево рассуждений" от данных к вопросу.

Укажи на нем последовательность действий и арифметические знаки каждого действия.

1) 17 км/ч  и 24 км/ч;

2) скорость сближения 2часа;

3) расстояние, пройденное 117км двумя катерами;

4) расстояние между двумя  катерами;

Пользуясь "деревом рассуждений", запиши план решения задачи.

Запиши решение задачи:

а) по действиям;

б) выражением.

Ответ:

Дополнительное задание:

Пользуясь чертежом, найди другой способ решения  и запиши его:

а) по действиям с пояснением;

б) выражением.

Ответ:____________

Проверь себя!

Сопоставь ответы, полученные разными способами.

Третий уровень

Выполни чертеж.

Пользуясь чертежом, найди более рациональный способ решения.

Составь к этому способу "дерево рассуждений".

Запиши план решения задачи в соответствии с "деревом рассуждений".

Пользуясь планом, запиши решение задачи:

а) по действиям;

б) выражением.

Ответ:_____________

Проверь себя!

Правильный ответ:  35 км.

Дополнительное задание:

Узнай, какое расстояние будет между катерами при той же скорости и направлении движения через 3 часа? 4 часа?

В заданиях специально разделены содержание решения и вычислительные действия. Это создает и развивает способность проводить полное планирование и разбор решения задачи.