Использование вербального и конструктивного способов в изучении темы «Величины и их измерения» в начальных классах

3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором;

4-й этап: формирование измерительных умений и навыков;

5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования;

6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот;

7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований;

         8-й этап: умножение и деление величин на число.

        В настоящее время в начальной школе представлены системы образования, базирующиеся на традиционной системе обучения, а также на теориях, разработанных отечественными учёными Л. В. Занковым, Д. Б. Элькониным, В. В. Давыдовым. Все системы направлены на интеллектуальное и нравственное развитие детей.

         В последние годы внимание  педагогов всё чаще привлекают идеи развивающего обучения, с которыми связывается возможность принципиальных изменений в школе. Основная концепция системы развивающего обучения – обучение через создание учебной задачи.

         Учебная задача в контексте  учебной деятельности даётся в определении учебной ситуации, то есть выступает как единица целостного образовательного процесса.

         По содержанию учебная ситуация  может быть нейтральной или проблемной. Оба вида этих ситуаций представлены в обучении, но второе требует больших усилий учителя, поэтому при всей важности проблематизации обучения проблемные ситуации встречаются в учебном процессе реже. Создание проблемной ситуации предлагает наличие проблемы (задачи), то есть соотношения нового и известного (данного),  учебно-познавательной потребности обучаемого и его способности (возможности) решать эту задачу. Проблемное обучение основано на получении новых знаний обучающимися посредством решения теоретических и практических проблем, проблемных задач в создающихся в силу этого проблемных ситуациях. Проблемная ситуация для младшего школьника возникает если у него есть познавательная потребность и интеллектуальные возможности решать задачу при наличии затруднения противоречия между старым и новым, известным и неизвестным, данным и искомым, условиями и требованиями. Проблемные ситуации дифференцируются, по А. М. Матюшкину, по критериям:

         1) структуры действий, которые должны  быть выполнены при решении проблемы;

         2) уровня развития этих действий  у человека (младшего школьника), решающего проблему и эти трудности  проблемной ситуации в зависимости  от интеллектуальных возможностей. Проблемное обучение  включает  несколько этапов:

         • осознание проблемной ситуации,

         • формулировку проблемы на  основе анализа ситуации,

         • решение проблемы, включающее  выдвижение, смену и проверку гипотез,

         • проверку решения.

         Мотивы учебных действий побуждают школьников к усвоению способов воспроизводства теоретических знаний. При выполнении учебных действий школьники овладевают прежде всего способами воспроизводства тех или иных конкретных понятий, образов, ценностей и норм - и через эти способы усваивают содержание этих теоретических знаний.

         Итак, потребность  в учебной деятельности побуждает  школьников к усвоению теоретических  знаний, мотивы - к усвоению способов их воспроизводства посредством учебных действий, направленных на решение учебной задачи.  
         Д. Б. Эльконин считает учебную задачу основной единицей учебной деятельности. Он пишет: ”Учебная задача состоит из основных взаимосвязанных структурных элементов: учебной цели и учебных действий. После включения в себя как учебных действий, в узком смысле слова, так и действий по контролю за произведенными действиями и их оценке. В сформированной учебной деятельности все эти элементы находятся в определенных взаимоотношениях” По Давыдову “задача - это единство цели действия и условий ее достижения”. 
         Учебная деятельность направлена на решение учебной задачи. Существенной характеристикой учебной задачи служит овладение школьниками теоретически обобщенным способом решения некоторого класса конкретно-частных задач. Поставить перед школьником учебную задачу – это значит ввести его в ситуацию, требующую ориентации на обобщенный способ ее разрешения во всех возможных частных и конкретных вариантах условий. 
         Более точную характеристику учебной задачи можно дать путем ее сравнения с конкретно-практической задачей. Так при решении практической задачи учащийся как субъект добивается изменения объекта своего действия. Результатом такого решения становится некоторый измененный объект. При решении учебной задачи учащийся также производит своими действиями изменение в объектах или в представлениях о них, однако его результат- изменение в самом действующем субъекте. Учебная задача может считаться решенной только тогда, когда произошли заранее заданные изменения в субъекте. Решение учебной задачи направлено на усвоение или овладение школьниками способами действий.  
         Учебная деятельность в своей основе нацелена на то, чтобы школьники усваивали знания в процессе самостоятельного решения учебной задачи, которая позволяет им раскрыть условия происхождения этих знаний. Учебная задача решается школьниками путем выполнения определенных действий. Назовем эти действия:  
         - преобразование условия задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;  
         - моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;  
         - преобразование модели отношения для изучения его свойств в “чистом виде”;  
         - построение системы частных задач, решаемых общим способом;  
         - контроль за выполнением предыдущих действий;  
         - оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.  
         Итак, следующим компонентом учебной деятельности являются учебные действия школьников, выполняя которые они осваивают предметный способ действия. Независимо от того, как им задается способ действия (учителем или они обнаруживают его сами), учебные действия по его освоению начинаются с того момента, когда выделен образец. Производимые ребенком действия по составлению предварительного представления о способе действия и по его первоначальному восприятию есть собственно учебные действия. 
         Каждое учебное действие состоит из соответствующих операций, наборы которых меняются в зависимости от конкретных условий решения той или иной учебной задачи.  
         Рассмотрим основные особенности учебных действий.  
         Исходным и, можно сказать, главным действием является преобразование учебной задачи с целью обнаружения некоторого всеобщего отношения того объекта, который должен быть отражен в соответствующем теоретическом понятии. Важно отметить, что речь здесь идет о целенаправленном преобразовании условий задачи, направленной на поиск, обнаружение и выделение вполне определенного отношения некоторого целостного объекта.  
         Следующее учебное действие состоит в моделировании выделенного всеобщего отношения в предметной, графической или буквенной форме. Учебные модели составляют внутренне необходимое звено процесса усвоения теоретических знаний и обобщенных способов действий. При этом не всякое изображение можно назвать учебной моделью, а лишь такое, которое фиксирует именно вообще отношение некоторого целостного объекта и обеспечивает его дальнейший анализ.  
         Еще одно учебное действие состоит в преобразовании модели с целью изучения свойства выделенного всеобщего отношения объекта. Преобразовывая и переконструируя модель, школьники получают возможность изучать свойства всеобщего отношения как такового, без “затемнения” привходящими обстоятельствами. Работа с учебной моделью выступает как процесс изучения свойств содержательной абстракции всеобщего отношения.  
         Следующее учебное действие состоит в выведении и построении определенной системы частных задач. Благодаря этому действию школьники конкретизируют исходную учебную задачу и тем самым превращают ее в многообразие частных задач, которые могут быть решены единым способом, усвоенным при осуществлении предыдущих учебных действий. Действенный характер этого способа проверяется именно при решении частных задач, когда школьники подходят к ним как к вариантам исходной задачи и сразу выделяют в каждой из них то общее отношение, ориентация на которое позволяет им применять ранее усвоенный общий способ решения.  
         Рассмотренные учебные действия в сущности все вместе направлены на то, чтобы при их выполнении школьники раскрывали условия происхождения усваиваемого ими понятия. Тем самым это понятие как бы строится самими школьниками, правда, при систематически осуществляемом руководстве учителя.  
         Особое место в структуре учебной деятельности занимает действие контроля, имеющее специфические функции: оно направлено на саму деятельность, фиксирует отношение учащихся к себе как к субъекту, вследствие чего его направленность на решение учебной задачи носит опосредованный характер. Д. Б. Эльконин указывает, что «функция контроля состоит в определении правильности и полноты выполнения учащимися операций, входящих в состав его действий» Контроль так же состоит в определении соответствия других учебных действий условиям и требованиям учебной задачи. Контроль позволяет ученику, меняя операционный состав действий, выявлять их связь с теми или иными особенностями условий решаемой задачи и получаемого результата. Благодаря этому контроль обеспечивает нужную полноту операционного состава действий и правильность их выполнения. По предположению Д. Б. Эльконина именно действие контроля характеризует всю учебную деятельность как управляемый самим ребенком произвольный процесс. “Произвольность учебной деятельности определяется наличием не столько намерения нечто сделать и желанием учиться, сколько (и главным образом) контролем за выполнением действий в соответствии с образцом”. Именно поэтому действию контроля в процессе решения учебной задачи придается особое значение.

         Таким образом можно сказать, что понятие величины в начальной школе раскрывается различными способами, основными из которых являются вербальный и конструктивный. В зависимости от системы какому-либо способу уделяется большее либо меньшее внимание. Однако оба способа опираются на опыт и знания ребёнка.

 

         III. Формирование математических понятий у младших школьников вербальными и конструктивными способами при изучении раздела «Величины»

 

         III.1. Анализ программных требований к изучению раздела «Величины» (тема «Длина. Единицы измерения длины»)

 

         Государственный стандарт начального  общего образования (Базисный учебный план начального образования) определяет такие требования к уровню общеобразовательной подготовки по теме «Величины. Единицы измерения величин»:

 

Содержание образования	Государственные требования к уровню общеобразовательной подготовки учеников
Длина. Расстояние. Периметр.	Иметь представление про длину  отрезка, расстояние между объектами, периметр многоугольника. Знать единицы  длины (километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр) и соотношения между ними, уметь сокращённо их записывать, уметь выполнять преобразования именованных чисел, арифметические действия над ними, сравнивать их. Уметь строить и измерять отрезки при помощи линейки, сравнивать отрезки с помощью измерения, находить расстояние между объектами, уметь вычислять периметр многоугольника. Знать формулу вычисления периметра прямоугольника (квадрата) по его сторонам; уметь решать задачи, содержащие упомянутые величины.
Площадь.	Иметь представление  про площадь; знать единицы площади (квадратный метр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр) и соотношения между ними, уметь сокращённо их записывать, находить и вычислять площадь прямоугольника (квадрата) по длине их сторон, решать задачи, что содержат понятия площади.
Время.	Знать единицы времени (час, минута, секунда; сутки, неделя, месяц, год, столетие) и соотношения между ними; уметь сокращённо их записывать, измерять временные промежутки при помощи часов, использовать соотношения между единицами времени во время выполнения заданий, выполнять арифметические действия над единицами времени.
Скорость.	Иметь представление  про скорость движущегося тела при  прямолинейном движении; знать единицы  скорости (километр в час, метр в секунду и так далее); уметь сокращённо их записывать, решать задачи, связанные с движением.
Масса.	Иметь представление  про массу тела; знать единицы  массы (грамм, килограмм, центнер, тонна) и соотношения между ними, и сокращенно их записывать, использовать соотношения между единицами массы во время выполнения арифметических действий и сравнения.
Цена, стоимость. Денежные единицы.	Иметь представление  про цену, стоимость предмета. Знать  названия денежных единиц (гривна, копейка) и соотношение между ними, уметь сокращённо их записывать, использовать соотношение между гривной и копейкой во время выполнения арифметических действий и сравнения.
Объём.	Иметь представление  про объём; знать единицу объёма (литр) и уметь сокращённо её записывать, уметь использовать различные мерки для сравнения объёма жидкости.
Зависимость между величинами.	Понимать содержание зависимостей между величинами; знать зависимость между скоростью, временем и расстоянием, знать зависимость между ценой предметов, их количеством и стоимостью; уметь решать задачи на определение скорости, времени, расстояния; цены количества и стоимости товаров.

 

         Программа по математике для  1 – 4 классов направлена на  реализацию цели и задач изучения математики, обозначенных в Государственном стандарте начального общего образования, а именно:

         - уточнение, углубление и развитие  сенсорных умений младших школьников, при помощи которых они будут  успешно ориентироваться в окружающей среде;

         - формирование представлений про  натуральное число и число нуль, вычислительных навыков с натуральными числами и нулём; умений решать задачи, которые раскрывают содержание арифметических действий и отношений, зависимости между величинами;

         - формирование представлений про  геометрические фигуры и тела, начального опыта измерений, умения решать задачи с геометрическим смыслом, выработки необходимых графических умений;

         - формирование начальных умений  мыслить доказательно и пояснять  свои действия и развитие соответствующих языковых умений, связанных с использованием математических терминов и символов;

         - развитие математического мышления.

         Программа по математике для  1 – 4 классов включает содержательные линии, обозначенные Государственным стандартом начального общего образования:

         - свойства и отношения предметов. Счёт;

         - числа и действия над ними;

         - числовые и буквенные выражения;

         - уравнения, неравенства. Равенства;

геометрические фигуры и их свойства. Геометрические тела;

величины и единицы  величин. В начальных классах

ученики знакомятся с  такими величинами, как длина, масса, объём, время, площадь, скорость, стоимость. Все эти величины изучаются в тесной связи с формированием понятия натуральное число, с изучением арифметических действий над числами, с формированием понятия геометрическая фигура. Младшие школьники приобретают  некоторые практические навыки измерения величин, учатся использовать соотношения между величинами во время решения задач.

         В начальной школе по теме  «Величины и их измерения» учащиеся изучают такие подтемы:

 

Класс	Содержание учебного материала	Государственные требования относительно общеобразовательной подготовки учащихся
1	Длина. Единицы длины – сантиметр, дециметр.	Ученик : Знает единицы длины  – сантиметр, дециметр и их краткое обозначение при числах; соотношение между единицами длины. Измеряет длину отрезка  при помощи линейки.
	Стоимость. Единица стоимости – копейка.	Знает монеты 1 копейка, 2 копейки, 5 копеек, 10 копеек.
	Масса. Единица массы – килограмм.	Знает единицу массы – килограмм.
	Объём. Единица объёма – литр.	Знает единицу объёма – литр.
	Время. Единицы времени – неделя.	Знает единицу времени  – неделю; названия дней недели и их последовательность; части суток: утро, день, вечер, ночь.
	Сравнивает величины; записывает результаты измерения величин; выполняет сложение и вычитание величин.
2	Длина. Единица длины – метр.	Ученик: Знает единицу длины  – метр и её обозначение при числах; соотношение между единицами длины. Умеет преобразовывать  меньшие единицы длины в большие и наоборот. Записывает результаты измерения длины в различных единицах.
	Время. Единицы времени – сутки, месяц, год.	Знает названия месяцев, их последовательность и количество суток в каждом месяце; что год равен 12 месяцем. Пользуется табелем-календарём.
	Стоимость. Единицы стоимости – гривна, копейка.	Знает единицы стоимости  – копейка, гривна и их обозначения  при числах; монеты: 1 копейка, 2 копейки, 5 копеек, 10 копеек, 25 копеек, 50 копеек, 1 гривна, 2 гривны; купюры: 1 гривна, 2 гривны, 5 гривен, 10 гривен, 20 гривен, 50 гривен, 100 гривен; соотношение между копейкой и гривной.
	Выполняет арифметические действия с величинами (длина, масса, стоимость). Умеет решать задачи, которые содержат единицы величины.
3	Время. Единицы времени – секунда, минута, час, столетие.	Ученик: Знает единицы времени  – секунда, минута, час, столетие и их краткое обозначение при числах; соотношение между часом и минутой, минутой и секундой. Определяет время по часам. Понимает два способа  обозначения времени во второй половине суток.
	Длина. Единицы длины – миллиметр, километр.	Знает единицы длины  миллиметр, километр и их обозначения при числах; соотношения между единицами длины.
	Масса. Единицы массы – тонна, грамм, центнер.	Знает единицы массы  тонна, грамм, центнер и их обозначения при числах; соотношение между единицами массы.
	Цена, стоимость.	Знает зависимость между  ценой, количеством, стоимостью.
	Преобразовывает единицы  величины. Сравнивает единицы величины. Выполняет арифметические действия с величинами – длина, масса, стоимость. Употребляет правильно в разговоре названия единиц величин.
4	Система единиц длины.	Ученик: Знает соотношения между  единицами длины. Использует соотношения  между единицами длины при решении задач.
	Площадь. Единицы площади – квадратный сантиметр, квадратный дециметр, ар, гектар, квадратный километр. Площадь прямоугольника.	Понимает понятие площадь  фигуры; что площадь фигуры можно измерить с помощью палетки. Знает  единицы площади  и их краткое обозначение при числах; соотношения между единицами площади, использует их во время вычислений; правила вычисления площади прямоугольника (квадрата) и использует его во время решения задач, практических задач. Умеет определять площадь  участка прямоугольной формы по её плану.
	Единица времени – тысячелетие. Система единиц времени.	Знает единицу времени  – тысячелетие; соотношения между единицами времени. Использует соотношения  между единицами времени во время решения задач. Определяет продолжительность  действия по календарю. Решает задачи на нахождение продолжительности действия, времени начала и окончания события.
	Система единиц массы.	Знает соотношения между  единицами массы Использует соотношения  между единицами массы во время решения задач.
	Понятие скорость. Единицы скорости – 1 км/ч, 1 м/с.	Понимает понятие скорость. Знает единицы скорости и их краткое обозначение при числах. Обозначает сокращённо единицы скорости.

 

 

 

 

         III.2. Методика формирования элементарных математических представлений и понятий при изучении темы «Длина. Единицы измерения длины»

 

         Длинна (длина отрезка прямой) – расстояние между его концами; положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:

         1) равные отрезки имеют разные  длины;

         2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

    Рассмотрим  процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают  какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут:  а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e = 1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а = n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n  раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

         Итак, при выбранной единице, длина  любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n, n... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n, n, n …

         Рассмотрим процесс измерения  длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e = 1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а = n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

         Итак, при выбранной единице, длина  любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n, n ... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n, n, n …