Использование вербального и конструктивного способов в изучении темы «Величины и их измерения» в начальных классах

 

         II.2. Психолого-педагогические подходы к формированию элементарных представлений и понятий в процессе обучения на уроках математики у младших школьников

 

         Законом  Украины «Об общем среднем  образовании» определено, что ребёнок идёт в школу, с шести лет. Это означает, что формулировать определения различных понятий можно по-разному, главное – в краткой и чёткой форме изложить то, что единственным образом характеризует данный предмет. В первых классах получает преимущество практическая направленность при организации  усвоения элементарных представлений.

         Как показывает  практика, у учителя нередко наблюдается  неуверенность в использовании  термина величина. Грубый методический просчёт допускает учитель, когда при решении задачи «Купили 5 кг моркови и 4 кг капусты. Сколько всего килограммов овощей купили?», задавая вопрос: «О каких величинах идёт речь в задаче?» - соглашается с ответом ученика, что в задаче идёт речь о килограммах. Килограмм – это единица величины. В задаче речь идёт о массе купленных овощей.

         На уроке при решении задач  нередко можно услышать: «Находим  величину площади», а так как площадь – это величина, то данное выражение равнозначно следующему: «Находим величину величины», что некорректно.

         При обучении учащихся математике  в начальной школе по некоторым  системам и учебникам представления  детей о конкретных величинах не только не уточняются, но в определённой мере искажаются: авторы отождествляют объект и величину, характеризующую его, они также не разводят понятия величина, значение величины, числовое значение величины, смешивают физический и математический смысл величины. В результате представления учащихся о величине, полученные из учебников этого направления, могут быть противоречивыми, алогичными и формальными.

         В связи с использованием (верным  и неверным) различных терминов  в практической деятельности  учителей, возникает желание привести трактовки величин в начальных классах в соответствие с трактовкой этих понятий в науке. Но реализация сочетания научности и доступности при увеличении объёма информации, включённой в учебники математики начальных классов и подлежащей усвоению младшими школьниками, – задача не из лёгких, так как нужно осуществить адекватный перевод определений, алгоритмов и утверждений, сформулированных научным языком, на язык, доступный младшим школьникам. То есть при ознакомлении учащихся с тем или иным понятием нужно и научность сохранить, и доступность не потерять. Да и проблема доступности решается не только «переводом» научного языка на язык, доступный младшим школьникам.

         При ознакомлении с той или  иной величиной важно, чтобы  у детей сложилось представление  о том, что такое величина  вообще и как её измерять. Не менее важно, чтобы представление о величинах связывалось у ученика с предметами и явлениями окружающего мира и, так же как понятие числа, понятие величины приобретало для них практическую значимость.

         В начальных классах используется  интуитивный подход, в соответствии  с которым формируются представления о величинах как о некоторых свойствах предметов или явлений, связанных прежде всего с измерением. При формировании представления о величине большую роль играет система заданий. В процессе выполнения этих заданий, практических работ на сравнение величин и их измерение учащиеся могут получить глубокое представление о каждой величине, предусмотренное программой. Прежде всего необходимо ознакомить учащихся со свойствами различных предметов и научить учащихся выявлять как качественные, так и количественные свойства: например, сравнить два кубика одинакового цвета по массе и по размеру. Сравнивая большой и маленький кубики, ученики приходят к выводу, что один из них больше по размеру, а другой больше, например, по массе. Выполняя такие упражнения, учащиеся начинают понимать, что сравнение нужно проводить по определённому свойству. При измерении тех или иных величин важно, чтобы учащиеся осознавали, что величина – это свойство предметов, по отношению к которому можно проводить сравнение и сложение.

         В учебниках Агринской И. И.  и других для начальной школы введён термин величина и предлагается система упражнений, которая даёт возможность сформировать у учащихся понятие величина и выработать прочные умения выполнения арифметических операций над величинами. При выполнении таких упражнений школьник усваивает, что величина – это свойство предметов, которое позволяет сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих свойством в равной мере, или выяснять, какой из них обладает свойством в большей мере. Дети осознают, что длины отрезков можно сравнивать (длиннее, короче) и складывать. При сложении отрезков получают новый отрезок, который обладает тем же свойством – имеет длину (протяжённость), и часть отрезка обладает тем же свойством, т.е. часть величины является величиной того же рода.

         В результате  исследований в области математики  Истомина Н. Б. предлагает выстроить систему заданий, которые помогают осознанному выполнению различных действий над величинами. В качестве примера приведу некоторые из них:

подумай, какие величины можно сложить:  3084 м + 285 м, 840 м + 120 м ², 703 дм + 102 кг;

какие величины можно  сравнить? Сравни и поставь знак «больше», «меньше» или «равно»:  7300 м * 73 км, 83 мм * 8 см, 335 м * 32 м², 54 км * 52 кг.

          При выполнении заданий такого  типа учащиеся начинают осознавать, что складывать или сравнивать  можно только однородные величины. При изучении каждой последующей темы включается ранее пройденный материал, что благоприятно сказывается на усвоении учащимися знаний, формировании умений и навыков.

         Вопрос об использовании термина  величина в процессе обучения  текстовых задач требует особого  внимания. Как известно, в любой задаче идёт речь не менее чем о двух значениях величины, находящихся в некоторых связях и отношениях. На их основе выбирается действие, посредством которого решается задача. Эти связи и отношения бывают самыми разнообразными и довольно сложными, поэтому не только детям, но иногда и учителям трудно осознать, о каких величинах идёт речь в задаче и какие связи и зависимости могут быть между ними. В связи с этим задавать вопрос: «О каких величинах идёт речь в задаче?» не всегда целесообразно, так как, возможно, учащиеся ещё не знают о существовании той или иной величины.

         Первоначальное знакомство с величинами – длиной, площадью, массой, временем, объёмом –  происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием. В начальной школе учащиеся знакомятся с различными единицами величин:

 

            длины – 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км;

            массы – 1 г, 1 кг, 1 ц, 1 т;

            площади – 1 см², 1 дм², 1 м²;

            времени – 1 с, 1 мин, 1 ч, 1 сут;

            объёма – 1 л (1 дм³),

 

с соотношениями между  ними, складывают и вычитают однородные величины, выраженные в единицах одного или двух наименований, умножают и делят величины на число.

         Величина - это особое свойство  реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные величины. Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств:

         1) любые две величины одного  рода сравнимы: они либо равны,  либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины   противоположных  сторон прямоугольника равны;

         2) величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a + b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

. 3) величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b = xа,  величину b называют произведением  величины а   на число  x. Например,  если  a - длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС;

         4) величины данного рода вычитают, определяя разность величин через  сумму: разностью величин а  и b называется такая величина с, что а = b + c. Например, если а - длина отрезка АС, b -  длина отрезка AB, то длина отрезка ВС  есть разность длин отрезков и АС и АВ;

         5) величины одного рода делят,  определяя частное через произведение  величины на число; частным  величин а и b – называется такое неотрицательное действительное число ах, что  а = ахb. Чаще это число - называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2;

         6) отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В и В < С, то А < С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1  меньше площади треугольника F3. Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение - заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

         Процесс сравнения зависит от  рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей - другой, для масс - третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

         Вообще, если дана величина а  и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а = хе. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х = m (a).

         Согласно определению любую величину  можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7 * 1 кг, 1 * 2 см = 12 * 1 см, 15 ч = 15 * 1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как, 5/12ч = 5/12  60 мин = (5/12  60)мин = 25 мин.

         Величины, которые вполне определяются  одним численным значением, называются  скалярными величинами. Такими, к  примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

         В начальной школе рассматриваются  только скалярные величины,  причём такие,  численные  значения  которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

         Измерение величин позволяет  свести сравнение их к сравнению   чисел,   операции   над   величинами   к соответствующим операциям над числами:

         1) если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

         a = b        m  (a) = m  (b),

         a > b        m  (a) > m  (b),

         a < b        m  (a) < m  (b).

Например, если массы двух тел таковы,  что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса  а больше массы b поскольку 5>3;

         2) если  величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a + b достаточно сложить численные значения величин а и b: а + b = cm  (a + b) = m  (a) + m  (b). Например, если а = 15 кг, b = 12 кг, то а + b = 15 кг + 12 кг = (15 + 12) кг = 27 кг;

         3) если величины а и b таковы, что b = xа, где x -положительное действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x  умножить на число m (а): b=x a    m (b)=x m  (a). Например, если масса а в 3 раза больше массы b, т.е. b= За и а = 2 кг, то b = За = 3 (2 кг) = (3 2) кг = 6 кг.

         Рассмотренные понятия - объект, предмет, явление, процесс, его  величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание  предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы  использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 – численное значение массы  яблок при единице массы – килограмм.

         Величины рассматриваются в тесной  связи с изучением натуральных чисел и дробей;  обучение измерении связывается  с изучением  счёта;  измерительные  и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются   при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

         Н. Б. Истомина, преподаватель  математики и автор одной из альтернативных программ, выделила 8 этапов изучения величин: