Исследование систем управления

 

4.2 Особенности идентификации как оптимизационной задачи

 

Широкий спектр задач идентификации обусловливает, соответственно, большое разнообразие приемов и алгоритмов, применяемых для их решения. Однако практически все эти алгоритмы и их использование в процедурах идентификации имеют некоторую общую специфику, на которую важно обратить внимание.

Во-первых, при  исследовании объектов с целью поиска их математического описания, как правило, применяют стандартные алгоритмы. Их необходимо хорошо понимать, чтобы правильно поставить задачу, - подготовить исходные данные, выбрать параметры. Необходимость понимания существам алгоритма связана с тем, что необходимо хотя бы на качественном уровне прогнозировать результат и после вычислений либо принять его, либо повторить обработку, проведя необходимую коррекцию.

При использовании  алгоритмов идентификации объектов необходимо иметь в виду, что в большинстве случаев они построены на основе принципа учета начальных представлений об исследуемом объекте. Однако начальные представления могут быть частично и даже полностью ошибочными, что может при очередном шаге реализации алгоритма не только улучшить, а даже ухудшить положение.

Начальные представления  называют априорной (доопытной) информацией, в противоположность апостериорной (послеопытной) информации. Обычно апостериорная информация – это выборка (массивы, составленные из значений сигналов, измеренных на входе и выходе объекта); характер априорной информации может быть более разнообразен – представление о структуре оператора изучаемого объекта, частотной характеристике сигналов и объекта, функции распределения случайных величин и т.п.

В настоящее  время проблемы, связанные с созданием  математических моделей объектов технологических  процессов, экономики и живой  природы, формируют одно из основных направлений науки и техники  – моделирование. 
Это объясняется тем, что математические модели объектов широко применяются как при создании систем управления этими объектами, так и при их эксплуатации.

В данной работе рассматриваются только модели технических  объектов и систем. Объекты и системы представляют собой совокупность материальных тел, находящихся в непрерывном взаимодействии друг c другом и с окружающей средой.

Построение  математической модели объекта может  производиться несколькими методами: аналитическим, экспериментальным и экспериментально-аналитическим.

Аналитический метод предусматривает получение  математического описания объекта  на основе законов физики, механики, химии и т. д. Такой подход дает положительный результат, если рассматриваемый  объект достаточно прост по структуре и хорошо изучен. Если же объект изучен недостаточно или же настолько сложен, что аналитическое описание его математической моделью практически невозможно, прибегают к экспериментальным методам, суть которых сводится к статистической обработке технологических данных. При экспериментально-аналитическом методе априорная модель, полученная аналитическим путем, уточняется в соответствующих экспериментах. 

Взаимодействие  объекта с окружающей средой поясним  с помощью простейшей схемы (рис.4.3). Воздействия внешней среды на объект в обобщенном виде изображены стрелками, направленными к объекту и обозначенными через x и v. Объект, в свою очередь, воздействует на f окружающую среду. Это воздействие показано стрелкой, направленной от объекта и обозначенной через y. Величину y -принято называть выходным воздействием или выходной величиной объекта.

Рис. 4.3 Взаимодействие объекта с окружающей средой схема

 

Рассмотрим  более подробно воздействие среды  на объект. Совокупность таких воздействий окружающего мира на объект можно разделить на две группы в соответствии с характером влияния среды на переменные состояния (фазовые координаты) объекта. В первую группу входят те воздействия, которые в очке приложения изменяют переменные состояния аддитивно. Это означает, что сигналы, пропорциональные этим воздействиям, суммируются с сигналами, пропорциональными соответствующим переменным состояния.

Эти воздействия  называют «входными», или «внешними», воздействиями.

В дальнейшем будем  называть эти воздействия «входными». 
Входные воздействия могут быть полезными (управляющими сигналами u) и помехами (возмущающими воздействиями f). Вторая группа воздействий внешней среды изменяет переменные состояния объекта косвенно, обычно не аддитивно. Эти воздействия приводят к изменению оператора объекта (системы) А, под которым понимают закон преобразования входных воздействий в выходные переменные объекта. Вторую группу воздействий будем называть операторной, а воздействия – операторными.

Так, например, повышение температуры электродвигателя приводит к падению мощности и даже выходу его из строя. 
В общем случае входные и выходные воздействия могут описываться определенными функциями (обычно функциями времени). Математически соответствие между «входной» и «выходной» функциями можно записать в виде выражения:

y(t)=A(f)u(t)

(4.10)

 

где A(f) – оператор, зависящий от возмущений (операторных воздействий);

y(t) – вектор выходных координат объекта;

u(t) – вектор управления (входа). 

Оператор объекта  является его математической характеристикой, т. е. математической моделью объекта.

Примерами операторов могут быть:

-оператор дифференцирования:

(4.11)

 

 

-дифференциальный оператор D(y):

 

(4.12)

 

Математически операторы определяются в соответствующих пространствах, т.е. на множествах элементов, над которыми совершаются преобразования. Примерами таких пространств являются пространства: непрерывных функций; непрерывных функций, имеющих непрерывные производные до n-го порядка (n > 0); функций с суммируемым квадратом и - т.д. Множества входных и выходных сигналов объектов и систем могут рассматриваться как те или иные метрические пространства. Формально оператор характеризуется структурой и параметрами. Так, структура дифференциального оператора (4.12) определяется его порядком n.

Глава 5. Параметрическая идентификация  объектов управления

5.1 Параметрическая  идентификация

 

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. 
Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС – модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС – модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний. 
В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями – и структурой. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t)и выхода y(t). Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений. 

Важным преимуществом  методов параметрической идентификации  является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической - идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации.

 

5.2 Особенности  идентификации в замкнутых системах

 

Для систем управления характерна ситуация, когда часть  входных переменных u (управляющие воздействия) изменяются в зависимости от наблюдаемых переменных на входе у, т.е. имеет место обратная связь и управление осуществляется в замкнутом контуре. В этом случае входные переменные u коррелированны с шумами на выходе системы, и оценки параметров объекта могут быть смещены.Идентификации параметров объекта в замкнутых системах может проводиться при естественных шумах объекта управления и создании дополнительных широкополосных шумов, вносимых в замкнутый контур. В первом случае через контур обратной связи возникает корреляция между входными и выходными данными объекта, что может приводить к смещению оценок его параметров. Поэтому для устранения этого смещения необходимо выполнение двух условий идентифицируемости.

Первое условие  отвечает требованию априорной известности  структуры и порядка модели объекта управления.

Второе условие задается неравенствами:

(5.1)

 

где m_R, m_o и n_R, n_o – порядки полиномов числителей и знаменателей передаточных функций регулятора и объекта соответственно, d – дискретное запаздывание в системе.

Если структура  регулятора не отвечает второму условию  идентифицируемости, то для получения сходящихся оценок рекомендуется:

- попеременное  включение двух регуляторов с  различными параметрами настройки;

- введение запаздывания  в контур обратной связи, где p – число кратных корней в полиномах знаменателей A и D моделей объекта и формирующего фильтра шума; 

- использование  нелинейных или нестационарных  регуляторов.

Следует отметить, что непараметрические методы идентификации, замкнутых системах при естественных шумах объекта управления неэффективны, так как в лучшем случае позволяют оценить параметры замкнутой системы управления.

Для улучшения  сходимости оценок при проведении идентификации  рекомендуется подача дополнительных измеряемых широкополосных шумов вносимых в замкнутый контур и некоррелированных  с естественными шумами объекта управления.

Для анализа  замкнутых систем, находящихся под  воздействием наблюдаемых, коррелированных во времени шумов, удобно разделить их на два класса. Первый – замкнутые системы с шумами в объекте и в обратной связи рис. 5.1 а, б, второй – замкнутые системы без шума в обратной связи рис. 5.2 а, б.

Рис. 5.1 а, б Замкнутые системы с шумами в объекте и в обратной связи

 

 

Рис. 5.2 а, б  Замкнутые системы без шума в обратной связи

 

 

Условия идентифицируемости объекта в замкнутой системе первого класса практически совпадают с условием идентифицируемости разомкнутых систем. Но наличие ОС может повлиять на дисперсию оценок на конечной выборке.

В системах второго  класса может возникнуть структурная  неидентифицируемость из-за линейной зависимости регрессоров уравнения объекта.

Для устранения структурной неидентифицируемости используют специальные приемы, нарушающие линейность зависимости регрессоров (введение шума в цепь ОС, введение нелинейности в контур ОС, получение реализаций при нескольких настройках регулятора).

Пример. Проведем идентификацию РМНК в замкнутом контуре рис. 5.2 а. Передаточные функции объекта Wo(p) и регулятора Wp(p) равны

(5.1)

 

Возмущение  типа «белый шум» прикладывалось к  входу объекта.

Структурная схема  замкнутой системы собранной в Simulink показана на рис. 5.3

Рис. 5.3 Схема замкнутой системы собранной в Simulink

 

 

На рис.5.4 приведены входной и выходной сигналы объекта, на рис.5.5– изменение коэффициентов АРСС – модели, на рис.5.6 и 5.7функция веса и частотные характеристики.

 

 

 

Рис. 5.4 Входной и выходной сигнал

 

Рис. 5.5 Коэффициенты АРСС-модели

 

 

 

 

Рис. 5.6 Функция веса

 

Рис. 5.7 Частотные характеристики

 

В результате идентификации  получена следующая передаточная функция