Исследование систем управления

 

 

 

Введение

 

В работе рассматриваются модели детерминированных и

стохастических  объектов, анализируются основные методы их идентификации, показаны особенности применения временных, частотных, стохастических непараметрических и параметрических методов, спектральных методов и методов полиномиальной идентификации Рассматривается постановка и решение задачи идентификации линейных и нелинейных объектов в условиях априорной неопределенности статистических характеристик с использованием устойчивых (робастных) алгоритмов. Изложение сопровождается многочисленными примерами, поясняющими технологию использования MATLAB для решения задач идентификации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Основные понятия, определения и  задачи идентификации

1.1  Основные  понятия теории идентификации

 

При изучении любых  объектов (технических систем, процессов, явлений) основной задачей является построение их моделей. Как результат познания модель представляет собой отображение в той или иной форме свойств, закономерностей, физических и других характеристик, присущих исследуемому объекту. Характер модели определяется поставленными целями и может быть различным в зависимости от ее назначения. Модели разделяют на два основных класса: символические (словесные описания, схемы, чертежи, математические уравнения и т. д.) и вещественные (макеты, разного рода физические аналоги и электронные моделирующие устройства, имитирующие процессы в объектах).

При исследовании объектов, предназначенных для управления, применяют математические модели, входящие в класс символических, и вещественные. К математическим моделям относится такое математическое описание, которое адекватно отражает как статические, так и динамические связи между входными и выходными переменными объекта. Математическая модель может быть получена и аналитически (закономерности протекающих в объекте процессов полностью известны), и по результатам экспериментального исследования входных и выходных переменных объекта без изучения его физической сущности. Последний подход особенно широко используется на практике, так как позволяет обойтись минимумом априорных сведений об объекте при построении его модели.

Для управления объектом необходимо иметь модель в  виде математического описания, устанавливающего связь между входными и выходными переменными в форме, на основе которой может быть выбран закон управления, обеспечивающий заданное функционирование объекта. - 
Получаемое описание должно давать правило преобразования воздействия на объект u в реакцию объекта у. Переменные u и y могут представлять собой функции одинаковых или разных аргументов. Преобразование одной функции в другую производится оператором, который определяет совокупность математических или логических операций, устанавливающих соответствие между ними: y(t) = A{u(t)}.

В качестве примера  можно назвать операторы дифференцирования, интегрирования и т. п. Для стационарных линейных одномерных объектов оператор может быть задан в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка, интегральной свертки, частотной характеристики (передаточной функции) объекта. 
На практике объекты стремятся описывать линейными стационарными моделями, хотя в действительности все объекты в той или иной мере обладают свойствами нелинейности, нестационарности, распределейности, стохастичности. Использование более простых операторов следует рассматривать как попытку аппроксимации характеристик сложного объекта упрощенным приближенным описанием, но удобным для дальнейших расчетов. Описания могут быть заданы различным образом: аналитически, таблично, в виде разложения по какой-либо системе функций и т. д.

После формулировки целей управления необходимо выделить объект управления из среды, т. е. определить границы объекта и установить его взаимодействие со средой. Последнее  характеризуется моделью возмущений. Далее строится структура и проводится идентификация параметров модели объекта. В процедуре синтеза управления, являющейся оптимизационной задачей, модель объекта выступает как ограничения. С помощью же модели возмущений можно оценить некоторые качественные показатели управления. 
Когда решается задача управления сложным объектом, часто не удается получить описание, имеющее приемлемую точность. В этом случае используется ансамбль моделей, в котором каждая из них описывает отдельные стороны процесса. С упрощением моделей ослабляются и цели управления (например, в неопределенной ситуации ставится задача нахождения разумной стратегии управления без жестких качественных показателей). Часто такие модели реализуются как совокупность программ, имитирующих работу объекта и ориентированных на использование ЭВМ.

 

1.2  Основные задачи идентификации

 

Рассмотрим  различные постановки задачи идентификации. Как уже отмечалось выше, в общем  виде задача идентификации заключается  в определении оператора объекта, преобразующего входные воздействия в выходные. В связи с этим выделят задачи структурной и параметрической идентификации.

При структурной  идентификации определяют структуру  и вид оператора объекта, или другими словами вид математической модели объекта. 
После того как математическая модель объекта определена, проводят параметрическую идентификацию, заключающуюся в определении числовых параметров математической модели.

Задачей структурной  идентификации является представление  реального объекта управления в виде математической модели. Конкретный выбор математической модели зависит от типа объекта.

Для описания больших  систем и объектов, таких как социальные, производственные, финансово-экономические, используются семиотические (знаковые) и лингвистические модели, базирующиеся на теории множеств и абстрактной алгебры.

В качестве математических моделей технических систем применяются  дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных. 
Причем при решении задач управления предпочтение отдается моделям в пространстве состояний и структурированным моделям, описываемым дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. Задачу параметрической идентификации можно сформулировать следующим образом. Пусть имеется полностью наблюдаемый и полностью управляемый объект, задаваемый уравнениями состояния рис. 1.1:

Рис. 1.1 Уравнения состояния

 

где B - n-мерный вектор – столбец, а C - n-мерный вектор – строка, А – квадратная матрица размером n × n. Элементы этих векторов АВ и С неизвестные числа. Целью идентификации является определение этих чисел. 
Под идентификацией в дальнейшем будем понимать нахождение параметров моделей объектов, предполагая, что уравнения моделей заранее известны и задаются с помощью обобщенной структурной схемы объекта рис. 1.2, т.е. будем рассматривать вопросы параметрической идентификации.

Рис. 1.2 Обобщенная структурная схема объекта

         На схеме приняты следующие обозначения:

u и y – наблюдаемые входной и выходной сигналы; 

x – ненаблюдаемая (скрытая) переменная, оцениваемая косвенно по сигналам u и y , получаемым в результате преобразования в системе операторами А В и H;

е₁ и е₂ – ненаблюдаемые помехи (случайные процессы типа белого шума); 
f и v – ненаблюдаемые помехи (коррелированные во времени случайные сигналы, в некоторых случаях содержащие детерминированные составляющие); 
A, B, C, E, G, H – операторы, вид которых известен, но неизвестны параметры. 
Основными постановками задач идентификации являются:

– идентификация, или определение характеристик  объекта (по значениям u и y определить операторы А, В и C);

– генерация  случайных сигналов с заданными  характеристиками, или определение  характеристик сигналов (по значениям f или v определить оператор E или G, H);

– наблюдение за скрытыми переменными, или определение  переменных состояния (по наблюдаемым u и y, известным операторам A, B, C, E, G, H определить x).

Решение вышеназванных  задач идентификации осуществляется методами параметрической и непараметрической идентификации. При - использовании методов параметрической идентификации сразу определяются коэффициенты передаточной функции или уравнения объекта. Вторая группа методов используется для определения временных или частотных характеристик объектов, а также характеристик случайных процессов генерируемых объектами. По полученным характеристикам затем определяются передаточная функция или уравнения объекта. В настоящее время более широкое распространение получили методы параметрической идентификации.

 

Глава 2.  Непараметрическая идентификация

2.1 Корреляционный  метод идентификации

 

В действительности выходные переменные объекта y(t) определяются не только детерминированными управляющими входными сигналами u(t), но и ненаблюдаемыми и неуправляемыми воздействиями (помехами) e(t), что

вызывает отклонения выходных переменных от заданных значений.

Чтобы получить уравнение связи между статистическими  характеристиками входа и выхода для стационарных эргодических процессов, пользуются их статистическими характеристиками и, в частности, корреляционными функциями или спектральными плотностями.

Структурная схема  исследуемого объекта в этом случае может быть представлена в виде, изображенном на рис.2.1.

 

Рис. 2.1 Структурная схема исследуемого объекта

 

Все ненаблюдаемые помехи, воздействующие на различные части

объекта, приведены  к выходу объекта и представлены в виде аддитивного

шума. Значение выходного сигнала вычисляется  по формуле рис.2.2.

Рис. 2.2 Значение выходного сигнала

 

Умножив это выражение  на x(t + τ) и проинтегрировав обе части по τ в пределах от –T до T (при T → ∞), получим:

 

(2.3)

 

Если Rue(τ)=0 и ω(t)=0, при t < 0 (условие физической реализуемости системы), то уравнение принимает вид рис. 2.4:

Рис. 2.4 Уравнение Винера-Хопфа.

 

Это уравнение  относится к линейному интегральному  уравнению первого рода. Его численное решение осуществляется методом аппроксимирующих функций, вычисление которых, в свою очередь, производится на основе метода коллокации, метода наименьших квадратов и метода Галеркина.

Уравнения Винера-Хопфа  и дает выражение для функции  веса объекта.

Рассмотрим  решение этого уравнения, используя его дискретный аналог:

(2.5)

 

где Δτ-интервал дискретизации корреляционных функций.

Обозначим

		(2.6)

 

 

 

В силу плохой обусловленности  матрицы u u, R решение уравнения будет неустойчивым. Неустойчивое решение приводит к большим изменениям решения при малых изменениях коэффициентов матриц u y, R и u u, R .

Более точное решение  может быть получено методом аппроксимирующих функций с использованием метода коллокации.

В соответствии с этим методом аппроксимируют функцию веса линейной комбинацией из m ортогональных функций

(2.7)

 

Вычисляют m функций вида

(2.8)

 

Метод коллокации дает систему из m линейных уравнений для

нахождения  неизвестных коэффициентов аппроксимирующей функции k α

(2.9)

 

В том случае если желательно получить передаточную функцию объекта в виде дробно-рациональной функции, можно по вычисленной функции веса (2.7) найти передаточную функцию используя логарифмический метод.

Так как в  эксперименте получаются оценки корреляционной функции,

значение искомой  функции веса оказывается приближенным. Структура

уравнения Винера-Хопфа  такова, что небольшие ошибки в  определении

корреляционных  функций приводят к существенным ошибкам в определении

импульсной  переходной характеристики ω(t) и в итоге к невысокой точности идентификации параметров системы. Более перспективным является использование корреляционного метода для определения запаздывания в объекте управления. Величина запаздывания будет равна значению аргумента взаимной корреляционной функции, при котором она достигает максимума.