Исследование систем управления

Для повышения  точности оценок корреляционных функций  необходимо правильно выбирать интервал наблюдения сигналов, для которых оцениваются эти корреляционные функции. Пусть в результате пассивного эксперимента получены оценки корреляционной функции входного сигнала объекта Ruu (τ) и взаимной корреляционной функции между его входом и выходом Ruy (τ). В зависимости от вида графика корреляционной функции Ruu (τ), ее аппроксимируют одним из следующих выражений

(2.10)

В первом случае (2.10), а интервал наблюдения выбирается из

Условия

Пример. Проведем идентификацию корреляционным методом объекта с передаточной функцией

 

Идентификация проводилась программой приведенной  ниже.

k=2.5; p1=-.1;p2=-3+4*i;p3=-3-4*i;

p= [p1 p2 p3];

wo=zpk([],p,k);

[nun,den]=tfdata(wo,'v');

wo=tf(nun,den,'td',10);% Введение запаздывания в объект

tm=700;dt=.01;

t=0: dt:tm;

n=length(t);

u=randn (n,1);% Формирование входного сигнала

y=lsim (wo,u,t); % Формирование выходного сигнала

tau=-tm:dt:tm;

ruu=xcorr(u,u,'biased');% Вычисление корреляционной функции входного сигнала

ryu=xcorr(y,u,'biased');% Вычисление взаимной корреляционной функции

w=impulse (wo,t);

m=1:5000;

plot(t(m),w(m),t(m), ryu(n:n+4999)/dt),grid

 

Как следует  из (2.4), взаимная корреляционная функция Ruy будет равна функции веса объекта, если корреляционная функция входного сигнала будет являться δ- функцией. Такую корреляционную функцию имеет сигнал типа «белый шум». Если теперь подать на вход объекта «белый шум» рис. 2.11, имеющий корреляционную функцию в виде δ- импульса рис. 2.12, то взаимная корреляционная функция будет равна функции веса рис. 2.13.

Рис. 2.11 Входящий сигнал «белый шум»

 

Рис. 2.12 Корреляционная функция входного сигнала

 

Рис. 2.13 Функция веса и взаимная корреляционная функция

 

Расхождение кривых на рис. 2.13 обусловлено невозможностью

сформировать  на входе объекта идеальный “белый шум” и погрешностями

вычисления  корреляционных функций.

Для того чтобы  убедится в эффективности вычисления запаздывания

корреляционным  методом, вычислим функцию веса и взаимную корреляционную функцию объекта с запаздыванием равным 10 С.

 

Рис. 2.14  Функция  веса и взаимная корреляционная  функция объекта с запаздыванием

         Как следует из рис. 2.14 величина запаздывания легко вычисляется и

равна 10 С.

 

 

2.2 Идентификация  параметров объекта спектральным  методом

 

Спектральные  методы идентификации основаны на использовании  аппарата матричных операторов. Эти методы являются дальнейшим развитием частотных методов и основываются на разложении сигналов объекта по ортонормированным функциям, не обязательно гармоническим. Результатом идентификации является определение ядра интегрально уравнения объекта, которое в простейшем случае линейных одномерных систем совпадает с функцией веса.

Поэтому эти  методы также можно отнести к  непараметрическим методам идентификации. Спектральные методы могут применяться для идентификации нестационарных систем, параметры которых, и в частности ядро интегрального уравнения, изменяются во времени.

 

Глава 3. Математические модели внешних воздействий

3.1 Общая характеристика методов идентификации

 

Наиболее достоверную  математическую модель объекта можно  найти аналитическим путем. Для  этого необходимо располагать всесторонними  сведениями об объекте (о конструкции, о законах, описывающих протекающие в нем процессы, об условиях функционирования и взаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данных получить решение задачи таким путем не удается. Трудности применения аналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняются экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.

С практической точки зрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находить модели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотя эти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте, но их характер может быть не столь обстоятельным. Как правило, уровень априорных сведений должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели и условий проведения эксперимента. Построение моделей объектов на основе такого подхода обычно и называют идентификацией.

В общем случае под идентификацией понимают определение  структуры и параметров математической модели, которые обеспечивают наилучшую близость значений выходных переменных модели и объекта в смысле заданного критерия при одних и тех же входных воздействиях.

К выбору метода идентификации нельзя подойти однозначно, поскольку в самой постановке задачи заранее предполагается неопределенность (неполнота знаний об объекте, ограничения в наблюдениях объекта во времени, неточность измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.).

Комплекс задач  при идентификации модели объекта  обычно разделяется на три этапа: 

на первом этапе  выбирается структура модели по результатам изучения объекта или по имеющимся априорным сведениям, на втором этапе - критерий близости (подобия) модели и объекта, на третьем этапе по экспериментальным данным определяются параметры модели исходя из выбранного критерия.

Следует заметить, что вследствие значительной сложности  этап структурной идентификации часто сводят в значительной мере к эвристическому заданию структуры модели, опираясь на априорные данные об объекте. Очевидно, что в таких случаях эффективность последующей параметрической идентификации во многом определяется тем, насколько удачно была выбрана структура модели.

Для решения  задач параметрической идентификации  разработано большое число методов, учитывающих особенности объектов, условия их функционирования, способ тестирования и математическую основу анализа экспериментальных данных, вид получаемых моделей и т. п. 
Методы параметрической идентификации можно характеризовать различными признаками. По способу тестирования исследуемого объекта методы идентификации делятся на активные и пассивные. Применение активных методов предполагает подачу на вход объекта специально сформированных воздействий - детерминированных или случайного характера. Среди активных методов идентификации широкое распространение получили частотные методы, основанные на измерении установившихся выходных сигналов исследуемого объекта, вызванных гармоническим входным воздействием. Для идентификации линейных объектов используют и другие периодические воздействия (прямоугольные, треугольные), а также апериодические воздействия в виде ступенчатых, импульсных и других сигналов. В качестве случайных тестовых сигналов особенно широко применяют псевдослучайные двоичные последовательности, что объясняется простотой их получения и удобством обработки с помощью средств вычислительной техники. Достоинство активной идентификации заключается в нежесткости требований к - априорным данным об объекте. Основываясь на методах планирования эксперимента, такую идентификацию можно осуществлять целенаправленно, что позволяет ускорять выявление закономерностей в зависимостях между переменными объекта и сокращать тем самым временные и материальные затраты на его испытания.

При использовании  пассивных методов идентификации  объект находится в условиях нормального функционирования. При этом параметры его модели ищутся по результатам статистической обработки наблюдений естественных изменений величин на его входе и выходе. При пассивной идентификации применяют статистические принципы обработки данных измерений (методы корреляционного и регрессионного анализов, стохастической 319 аппроксимации и др.). Преимущество пассивных методов состоит в том, что для их применения достаточна регистрация переменных только в режимах рабочего функционирования объекта. Это особенно важно при идентификации реальных промышленных процессов с непрерывным производством дорогостоящего продукта. С другой стороны, пассивные методы идентификации сопряжены со значительными затратами - времени на накопление и обработку информации.

Кроме того, их применение возможно лишь в том случае, если воздействие на входе объекта обладает достаточно широким частотным спектром (по крайней мере, не меньше, чем полоса частот, в пределах которой необходимо оценить динамическую характеристику объекта). Снижение точности идентификации, обусловленное последней причиной, можно существенно уменьшить, если добавить к естественному входному воздействию объекта специального случайного сигнала небольшого уровня с заданными статистическими характеристиками. В этом случае ослабляется также и влияние обычно действующих на объект неконтролируемых помех.

При идентификации  объектов применяют как детерминированные, так и статистические методы обработки  данных наблюдений, что определяется характером анализируемых сигналов. Детерминированные методы могут быть использованы только при активной идентификации в случае, когда сигналы на входе и выходе объекта имеют детерминированную форму. Однако в реальных условиях из-за сильного влияния помех такие сигналы зачастую сильно зашумлены. Требуемая точность анализа здесь может быть достигнута дополнением детерминированных алгоритмов обработки статистическим усреднением (сглаживанием) получаемых результатов. Очевидно, что для этого необходимы более длительные испытания объекта с целью накопления данных.

По признаку временных затрат методы идентификации  разделяются на

оперативные и  ретроспективные. При оперативной  идентификации обеспечивается отслеживание меняющихся параметров объекта. С этой целью применяют рекуррентные алгоритмы обработки данных, которые удается реализовать аппаратными средствами в темпе, близком к скорости протекания процессов в изучаемом объекте. При ретроспективной - идентификации значительно упрощают условия решения задачи идентификации. В этом случае можно многократно обращаться к накопленным экспериментальным данным и подбирать наиболее эффективные алгоритмы их анализа.

Методы идентификации  часто различают также по признаку, указывающему на их приспособленность  к исследованию динамических объектов того или иного класса. Важной особенностью при идентификации является наличие или отсутствие процедур сравнения получаемой модели с объектом. Это определяет соответственно две возможные структуры построения систем идентификации: по разомкнутой и замкнутой схемам.

Результатом решения задачи идентификации является математическая модель, представленная во временной или частотной области. При этом полученная модель адекватна объекту по поведению, т. е. по динамическим свойствам, в соответствии с выбранным при идентификации критерием подобия. 

3.2 Математические модели внешних возмущений

 

Задача получения  математической модели внешних возмущений

заключается в  воспроизведении случайного, стационарного, эргодического

сигнала, имеющего заранее заданные статистические характеристики и

удовлетворяющего условиям марковского случайного процесса. У марковского процесса вероятность реализации текущего значения случайной величины зависит только от ее предыдущего значения и не зависит от всех остальных предшествующих значений.

Одним из наиболее распространенных подходов к моделированию

случайных сигналов является метод формирующих фильтров. Моделирование случайного сигнала этим методом осуществляется в предположении, что он является реакцией линейной системы на случайный входной сигнал, характеристики которого известны.

Пусть на вход линейной системы с передаточной функцией W(p) и

функцией веса ω(t) действует центрированный, стационарный, эргодический, случайный сигнал x(t) с известной корреляционной функцией Rxx(τ) и спектральной плотностью Sxx(ω) . Тогда случайный сигнал на выходе системы вычисляется с помощью интеграла Дюамеля по формуле

(3.1)

 

Умножив это  выражение на сначала на x(t + τ), а затем на y(t + τ), и

проинтегрировав обе части по τ в пределах от –T до T (при T → ∞), получим соотношения Винера – Ли:

(3.2)

 

Отсюда следует, что

(3.3)