Исследование систем управления

 

Где

(3.4)

 

Эти соотношения  значительно упрощаются, если представить  их через

спектральные  плотности, используя соотношения  Винера – Хинчина 

(3.5)

 

При моделировании  в качестве входного сигнала используют

стационарный  белый шум со следующими характеристиками

(3.6)

 

где S0 – интенсивность  белого шума.

Белый шум представляет собой сумму гармонических колебаний

всех частот, имеющих одну и туже дисперсию амплитуды.

При наличии  на входе линейной системы белого шума на ее выходе формируется случайный сигнал, характеристики которого легко определяются через параметры системы с помощью формул (3.2) – (3.5).

(3.7)

 

Очевидно, что  успех и точность статистического моделирования зависят в основном от качества формирования последовательности случайных чисел имеющих свойства белого шума.

Задача получения  последовательности случайных чисел  обычно

разбивается на две. Вначале получают последовательность случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале [0,1]. Затем из нее получают последовательность случайных чисел, имеющих произвольный закон распределения. Один из способов такого преобразования состоит в использовании нелинейных преобразований. Пусть необходимо получить случайную величину х, функция распределения вероятностей которой

(3.8)

 

Значения искомой  функция распределения вероятностей лежат в

диапазоне 0 ≤ F (y) ≤ 1 . Если теперь придавать функции F(y) произвольные

случайные значения, лежащее в диапазоне ее существования [0,1], то значения ее аргумента будут иметь заданный закон распределения. Значения функции F(y) задаются от датчика случайных чисел имеющих равномерное

распределение в диапазоне [0,1], а значения аргумента  находятся как обратная функция от F(y).

(3.9)

 

Таким образом, основная проблема моделирования случайных

последовательностей заключается в получении независимых, равномерно

распределенных  чисел в интервале [0,1]. Различают  два способа получения

таких чисел  – физический (аппаратный) и алгоритмический (программный).

При аппаратном генерировании чаще всего используют шумящие

электронные устройства, шум которых связан с шумами электронных  ламп или транзисторов. При усилении этих шумов получается напряжение, которое является случайным процессом. Если брать его значения, достаточно далеко отстоящие друг от друга, так чтобы они были некоррелированы, то величины получаемых напряжений образуют последовательность независимых случайных величин.

Для программной  генерации случайных чисел разработано большое количество специальных программ, имеющихся практически в каждом языке

программирования. На ЦВМ принципиально невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел из-за конечного числа разрядов, поэтому такие последовательности являются псевдослучайными. Псевдослучайные последовательности характеризуются длиной отрезка периодичности и длиной периода. Под длиной отрезка периодичности понимается совокупность последовательно полученных случайных чисел, в которой ни одно число не встречается дважды. Под длиной периода последовательности случайных чисел понимается такая длительность этой последовательности, при превышении которой, числа начнут периодически повторяется. У современных программ эти характеристики имеют порядок 1010-1030 , что вполне приемлемо для задач моделирования случайных процессов.

При моделировании  непрерывных систем в качестве генератора белого

шума можно  использовать телеграфную волну, порождаемую  процессом

Пуассона, который  в свою очередь является частным случаем марковского процесса. Функция, задаваемая телеграфной волной, принимает только положительные и отрицательные значения равные по модулю, причем

последовательность  изменений знака представляет собой  процесс Пуассона со средней скоростью  изменения λ. Такой процесс стационарен и эргодичен, если он начинается с −∞ → t и для него

 

(3.10)

 

Если выбрать  среднюю скорость изменения знака  телеграфной волны в

несколько раз  большей частоты генерируемого  случайного сигнала, то

приближенно можно  считать, что телеграфная волна  обладает свойствами

белого шума.

Пример. Сгенерируем последовательности псевдослучайных чисел

имеющих равномерный, нормальный и экспоненциальный законы

распределения. Генерация псевдослучайных чисел rn имеющих равномерный

закон распределения  в диапазоне [0,1] осуществляется программно

рекуррентным  мультипликативным способом с последующим усечением

старших разрядов по формуле:

(3.11)

 

где D – операция выделения дробной части числа n Kr , К – любое достаточно большое простое число, выбрано (К=37), n=1,2,3,….. Для запуска программы необходимо задать начальное значение r1<1 , т.е. провести рандомизацию. По умолчанию выбрано r1=0,1234567.

Для получения  случайных чисел имеющих равномерное  распределение в другом диапазоне [a,b] используют случайные числа rn имеющих равномерный закон распределения в диапазоне [0,1] с последующем пересчетом искомых чисел по формуле:

(3.12)

 

Генерация случайных  чисел с нормальным законом распределения,

имеющим нулевое  математическое ожидание (m=0) и единичную дисперсию

(σ2 =1) проводится по формуле

(3.13)

 

Для получения  случайных чисел Nn с другими параметрами закона

распределения используют формулу:

(3.14)

 

Генерация случайных  чисел с экспоненциальным законом  распределения проводится методом обратной функции по формуле

(3.15)

 

Программа и  результаты расчетов приводятся ниже.

r(1)=.1234567; % Начальное значение случайного числа

l=.01; % Параметр  экспоненциального закона распределения

for i=2:1000

x=37*r(i-1);

z=floor(x); % Выделение  целой части числа х

r(i)=x-z; % Вычисление  случайных чисел с равномерным  законом

n(i)=sqrt(2*log(1/r(i)))*cos(2*pi*r(i-1)); % Вычисление случайных чисел с

нормальным  законом

end

rr=rand(1000,1); % Вычисление  случайных чисел с равномерным  законом в

MATLAB

hist(r) % Построение  гистограммы для r

pause

hist(rr) % Построение  гистограммы для rr

pause

nr=randn(1000,1); % Вычисление случайных чисел с нормальным законом в

MATLAB

hist(n)

pause

hist(nr)

pause

ex=-log(1-r)/l; % Вычисление  случайных чисел с экспоненциальным  законом

hist(ex)

pause

exr=-log(1-rr)/l; % Вычисление  случайных чисел с экспоненциальным законом в MATLAB

hist(exr)

Рис. 3.1 Гистограммы выборки 1000 случайных чисел с равномерным законом

Рис. 3.2 Гистограммы выборки 1000 случайных чисел с нормальным законом                                                      Рис. 3.3 Гистограммы выборки 1000 случайных чисел с экспоненциальным законом

 

Глава 4. Идентификация переменных состояния объектов управления

4.1 Идентификация  переменных состояния с использованием  наблюдателей состояния

 

Очень часто  в задачах управления возникает  ситуация когда не все

переменные  состояния объекта могут быть непосредственно определены с

использованием  прямых или косвенных методов измерения. В этом случае

для полностью  наблюдаемого объекта с известными параметрами

задаваемого уравнением

(4.1)

 

и измеряемыми  переменными

(4.2)

 

можно вычислить (оценить) его переменные состояния, непосредственно, используя математическую модель объекта

(4.3)

 

 

 

Очевидно, что если то решение уравнения (4.1) точно

совпадает с решением уравнения (4.3).

Если или имеет место ошибки идентификации параметров объекта, то возникает ошибка восстановления переменных состояния, удовлетворяющая уравнению

(4.4)

 

 

Если объект управления асимптотически устойчив, то ошибка

восстановления  будет с течением времени уменьшаться, в пределе приближаясь к нулю.

Этого ограничения  свойств объекта можно избежать и улучшить

сходимость  оценки восстановления, если использовать измеряемые переменные у. Для этого в уравнение ошибки (4.4) вводится взвешенная невязка фактически измеренных у и смоделированных yˆ переменных. С учетом (4.2) это приводит к следующему уравнению

(4.5)

 

где К – некоторая прямоугольная весовая матрица, называемая матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Матрица К должна удовлетворять условиям асимптотической устойчивости уравнения (4.5).

Для полностью  наблюдаемого объекта удовлетворяющего условию

 

(4.6)

 

где n – порядок  объекта, такая матрица всегда существует.

Уравнение наблюдателя, оценивающего переменные состояния  объекта

можно получить путем подстановки в уравнение объекта (4.1) вместо истинных переменных их оценки e x x +

(4.7)

 

Подставляя сюда вместо производной от ошибки ее выражение (4.5)

приходим к  уравнению наблюдателя

(4.8)

 

Поскольку размерность  вектора состояния наблюдателя  равна

размерности вектора  состояния объекта, то такие наблюдатели  называются

наблюдателями полного порядка.

Рис. 4.1 Показана структурная схема наблюдателя

 

Данную структуру  можно реализовать программными или техническими средствами и оценить тем самым неизменяемые компоненты вектора переменных состояния.

Замыкая обратную связь в системе с наблюдателем по оцениваемым

переменным  состояния, как показано на рис. 4.2, в соответствии с теоремой

разделения  можно реализовать оптимальное  стохастическое управление, для которого расчет коэффициентов матрицы обратной связи проводится методом АКОР при полностью измеряемом векторе переменных состояния.

Рис. 4.2  Замыкая обратную связь в системе с наблюдателем по оцениваемым переменным состояния, как показано

 

Покажем справедливость применения теоремы разделения для построения закона управления и наблюдателя. Характеристический полином

такой системы  будет выглядеть

 

(4.9)

 

Из этого  выражения следует, что корни  характеристического уравнения

оптимальной системы  с наблюдателем состоят из корней характеристического уравнения наблюдателя и корней характеристического уравнения оптимальной системы, у которой все переменные состояния доступны непосредственному измерению. Следовательно, можно проводить раздельное построение закона управления и наблюдателя.