Случайные функции

Требуется исследовать точность работы системы при наличии па ее входе стационарного случайного воздействия — так называемой «стационарной помехи». Для этого прежде всего исследуется случайная помеха, определяются ее корреляционная функция и спектральный состав. Далее, описанными выше методами находятся спектр и дисперсия случайной функции на выходе системы. Дисперсия на выходе, очевидно, зависит как от характеристик случайного воздействия на входе, так и от коэффициентов уравнения. Решая такую задачу, можно оценить точность работы заданной системы в условиях различного рода помех.

Обратная задача состоит в том, чтобы так выбрать коэффициенты уравнения, чтобы при заданном спектральном составе помехи ошибки на выходе системы были минимальными. При заданных характеристиках случайной функции (помехи) на входе системы дисперсия на выходе зависит от всей совокупности коэффициентов уравнения:

D_y = D_y(a_n, а_n-1,..,. а₁, a₀, b_т, b_т-1,...,b₁, b₀).

Коэффициенты уравнения зависят от конструктивных параметров системы, и некоторыми из них при проектировании системы можно в достаточно широких пределах распоряжаться. Задача выбора рациональных значений этих параметров может быть решена исходя из того требования, чтобы дисперсия D_y была минимальна.

Следует оговориться, что на практике часто не удается полностью удовлетворить этому требованию. Действительно, выведенные нами выражения для корреляционной функции и дисперсии на выходе системы справедливы только для значений времени t, достаточно удаленных от начала случайного процесса, когда все переходные процессы в системе, связанные с ее свободными колебаниями, успели уже затухнуть. В действительности же часто приходится применять линейные динамические системы (прицелы, счетно-решающие механизмы, следящие системы и т. п.) на ограниченном участке времени; при этом быстрота затухания переходных процессов в системе существенно зависит от ее конструктивных параметров, т. е. от тех же коэффициентов уравнения. Если выбрать эти коэффициенты так, чтобы они обращали в минимум дисперсию на выходе (для достаточно удаленных моментов времени), это, как правило, приводит к тому, что на выходе системы появляются другие ошибки, связанные с тем, что переходные процессы в системе еще не успели затухнуть. Эти ошибки обычно называют динамическими ошибками.

В связи с ограниченностью времени применения линейных систем и наличием динамических ошибок на практике обычно приходится решать задачу о рациональном выборе параметров системы не на чистом принципе минимума дисперсии, а с учетом динамических ошибок. Рациональное решение задачи находится как компромиссное, при котором, с одной стороны, дисперсия на выходе системы достаточно мала, с другой стороны — динамические ошибки не слишком велики.

В случае, когда ищутся оптимальные параметры системы с учетом как дисперсии, так и систематических динамических ошибок, часто в качестве критерия точности работы системы выбирают второй начальный момент α₂ на выходе системы:

α₂ = D_y + m²_y,

где D_y — дисперсия, т_у — систематическая ошибка на выходе системы. При этом параметры системы выбирают так, чтобы они обращали в минимум величину α₂.

Иногда в качестве критерия для оценки системы выбирают не дисперсию и не второй начальный момент, а какую-либо другую величину, связанную с целевым назначением системы. Например, при исследовании прицельных устройств и систем управления, предназначенных для стрельбы, к выбору их параметров часто подходят, исходя из максимума вероятности поражения цели.

Упомянем еще об одной типичной задаче, связанной с рациональным конструированием динамических систем. До сих пор мы рассматривали только задачу о рациональном выборе коэффициентов уравнения, самый же вид уравнения считался заданным. При решении задач, связанных с так называемым синтезом динамических систем, задача ставится более широко. В частности, ставится вопрос о рациональном выборе самого вида уравнения или, еще шире, задача об определении оптимального оператора динамической системы. Такого рода задачи в настоящее время успешно решаются методами теории случайных функций.

При решении практических задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем, часто не удается ограничиться кругом стационарных случайных процессов и относящимся к нему аппаратом спектральной теории. Однако в ряде случаев, несколько видоизменив этот аппарат, можно применить его и для нестационарных процессов. На практике часто встречаются так называемые «квазистационарные» случайные функции и «квазистационарные» динамические системы; они характерны тем, что изменения характеристик случайных функций и параметров системы со временем протекают сравнительно медленно. Для таких случайных процессов В. С. Пугачевым разработан метод, по структуре мало отличающийся от спектрального, но применимый в более широком диапазоне условий.

 

3 Практическая часть

 

Задача: Заданы случайные функции X(t)=tU, Y(t)=t²U, где U и V – некоррелированные случайные величины, причем M (U)=3, M(V)=6, D(U)=0,2, D(V)=5.

 

Найти:

1. математическое ожидание;
2. корреляционную функцию;
3. дисперсию суммы Z(t)=X(t)+Y(t).

 

Решение:

1. Найдем математическое ожидание суммы заданных функций:

 

m_z(t)=m_x(t)+m_y(t)=M(tU)+M(t²V)=tM(U)+t²M(V)=3t+6t²

 

2. Найдем корреляционную функцию суммы Z(t). Так как случайные величины U и V не коррелированны, то их корреляционный момент равен нулю:

M[(U-3)(V-6)]=0

Следовательно, взаимная корреляционная функция:

а значит, функции X(t) и Y(t) не коррелированны. Поэтому искомая корреляционная функция:

K_z(t₁,t₂)=K_x(t₁,t₂)+K_y(t₁,t₂)

Выполнив выкладки, окончательно получим:

K_x(t₁,t₂)=0,2t₁t₂+5t₁²t₂²

 

3. Найдем дисперсию суммы:

D_z(t)=K_z(t,t)=0,2t²+5t⁴

 

Ответ:

1. математическое ожидание: 3t+6t²
2. корреляционная функция: 0,2t₁t₂+5t₁²t₂²
3. дисперсия суммы Z(t)=X(t)+Y(t): 0,2t²+5t⁴

 

 

Заключение

 

Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Примерами случайных  процессов могут, например, являться: координаты

самолета, замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т. п. Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости х (t). Каждая кривая множества является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс. Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками.

В каждый отдельный момент времени наблюдаются случайные величины каждая из которых имеет свой закон распределения. Поскольку это — непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

1. Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание);
2. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М: Всш. шк., 2000 – 480 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятности и математической статистике. Учебное пособие для студентов ВУЗов.- М: Всш. шк., 2001 – 400 с.