Случайные функции

Очевидно, внутренняя структура обоих  случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо ввести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе — автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости

между сечениями случайной функции, относящимися к различным t.

Пусть имеется случайная функция  X (t) (рис. 7); рассмотрим два ее сечения, относящихся к различным моментам: t и t', т. е. две случайные величины X (t) и X (t').

Рисунок 7

 Очевидно, что при близких значениях t и t' величины X (t) и X (t') связаны тесной зависимостью: если величина X (t) приняла какое-то значение, то и величина X (t') с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями t, t' зависимость величин X(t) и X(t') вообще должна убывать.

Степень зависимости величин X (t) и X (t') может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов t и t'. Эта функция и называется корреляционной функцией.

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции X (t) называется неслучайная функция двух аргументов K_x  (t, t'), которая при каждой паре значений t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

,

где

Вернемся к примерам случайных функций X_l(t) и X₂(t) (рисунок 5, 6). Теперь видно, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции Х₁ (t) и X₂(t) имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции X₁(t) медленно убывает по мере увеличения промежутка (t, t'); напротив, корреляционная функция случайной функции X₂(t) быстро убывает с увеличением этого промежутка.

Выясним, во что обращается корреляционная функция K_x (t, t'), когда ее аргументы совпадают. Полагая t'= t, имеем:

т. е. при t' = t корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

 

Рисунок 8

Так как корреляционный момент двух случайных величин X (t) и X (t') не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов местами:

K_x (t, t') =K_x (t, t').

Если изобразить корреляционную функцию K_x(t, t') в виде поверхности, то эта поверхность будет симметрична относительно вертикальной плоскости Q, проходящей через биссектрису угла tOt' (рисунок 8).

Заметим, что свойства корреляционной функции естественно  вытекают из свойств корреляционной матрицы системы случайных величин. Действительно, заменим приближенно случайную функцию X(t) системой т случайных величин X (t₁ ), X (t₂).....X (t_m).

При увеличении т и соответственном уменьшении промежутков между аргументами корреляционная матрица системы, представляющая собой таблицу о двух входах, в пределе переходит в функцию двух непрерывно изменяющихся аргументов, обладающую аналогичными свойствами. Свойство симметричности корреляционной матрицы относительно главной диагонали переходит в свойство симметричности корреляционной функции. По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин; аналогично при t'=t корреляционная функция K_x(t, ¥) обращается в дисперсию D_x (t).

На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции X (t), обычно поступают следующим образом: задаются рядом равноотстоящих значений аргумента и строят корреляционную матрицу полученной системы случайных величин. Эта матрица есть не что иное, как таблица значений корреляционной функции для прямоугольной сетки значений аргументов на плоскости (t, t’). Далее, путем интерполирования или аппроксимации можно построить функцию двух аргументов K_x(t, t^f).

Вместо корреляционной функции  K_x(t, t’). можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:

,

которая представляет собой  коэффициент корреляции величин X (t), X (t). Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. При t’=t нормированная корреляционная функция равна единице:

 

Выясним, как меняются основные характеристики случайной функции при элементарных операциях над нею: при прибавлении  неслучайного слагаемого и при умножении на неслучайный множитель. Эти неслучайные слагаемые и множители могут быть как постоянными величинами, так в общем случае и функциями t.

Прибавим к случайной функции  X (t) неслучайное слагаемое φ(t). Получим новую случайную функцию:

Y(t)=X(t)+φ(t)

По теореме сложения математических ожиданий:

m_y(t)=m_x(t)+φ(t)

т. е. при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.

Определим корреляционную функцию  случайной функций Y (t):

 

т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется.

Умножим  случайную  функцию   X(t) на неслучайный   множитель φ(t):

Y(t)=φ(t)X(t)

Вынося неслучайную величину y(t) за знак математического ожидания, имеем:

M_y(t)=M[φ(t)X(t)]=φ(t)m_x(t)

т. е. при умножении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тот оке множитель.

Определяем корреляционную функцию:

т. е. при умножении случайной функции на неслучайную функцию ср(t) ее корреляционная функция умножается на (t)(t')

В частности, когда cp(£) = c (не зависит от t), корреляционная функция умножается на с².

Пользуясь выведенными свойствами характеристик случайных функций, можно в ряде случаев значительно  упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать  корреляционную функцию или дисперсию  случайной функции, можно заранее перейти от нее к так называемой центрированной функции;

X(t) = X(t) — m_x(t). 

Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией случайной функции X (t):

При исследовании вопросов, связанных с корреляционными  свойствами случайных функций, в дальнейшем всегда будем переходить от случайных функций к соответствующим центрированным функциям, отмечая это значком ° вверху знака функции.

Иногда, кроме центрирования, применяется еще нормирование случайных функций. Нормированной называется случайная функция вида:

Корреляционная функция  нормированной случайной функции X_N(f)

равна:

а ее дисперсия равна единице.

 

 

4. Сложение случайных функций

 

Во многих задачах  практики встречается то, что на вход динамической системы поступает не одна случайная функция X(t), а две или более случайные функции, каждая из которых связана с действием отдельного возмущающего фактора. Возникает задача сложения случайных функций, точнее — задача определения характеристик суммы по характеристикам слагаемых.

Эта задача решается элементарно  просто, если две складываемые случайные  функции независимы (точнее, некоррелированны) между собой. В общем же случае для ее решения необходимо знание еще одной характеристики—так называемой взаимной корреляционной функции (иначе — корреляционной функции связи).

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t) и У (t) называется неслучайная функция двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции X (t) и случайной функции Y(t):

Взаимная корреляционная функция, так же как и обычная корреляционная функция, не изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а следовательно, и при центрировании случайных функций.

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает следующее ее свойство:

Вместо   функции   R_xy(t, t')  часто  пользуются  нормированной взаимной корреляционной функцией:

Если взаимная корреляционная функция равна нулю при всех значениях t, t’, то случайные функции X (t) и У (t) называются некоррелированными (несвязанными).

На практике обычно суждение о некоррелированности случайных  функций составляют не на основании  равенства нулю взаимной корреляционной функции, а, наоборот, взаимную корреляционную функцию полагают равной нулю на основании физических соображений, свидетельствующих о независимости случайных функций.

Следствия сложения случайных  функций:

• при сложении двух случайных функций их математические ожидания складываются;
• при сложении  некоррелированных случайных функций их корреляционные функции складываются;
• корреляционная функция суммы взаимно некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых;
• при прибавлении к случайной функции некоррелированной с нею случайной величины к корреляционной функции прибавляется постоянное слагаемое, равное дисперсии этой случайной величины.

1.5 Комплексные случайные  функции

 

При практическом применении математического аппарата теории случайных  функций часто оказывается удобным  записывать как сами случайные функции, так и их характеристики не в действительной,

а в комплексной форме. В связи с этим необходимо дать определение комплексной случайной величины и комплексной случайной функции.

Комплексной случайной  величиной называется случайная величина вида:

Z = X + iY

где X, Y — действительные случайные величины;

— мнимая единица.

Рисунок 10

Комплексную случайную  величину  можно  геометрически интерпретировать как случайную точку Z на плоскости хОу (рисунок 10).

Для того чтобы аппарат числовых характеристик был применим и к комплексным случайным величинам, необходимо обобщить основные понятия математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента на случай комплексных случайных величин. Очевидно, эти обобщения должны быть сделаны так, чтобы в частном случае, когда Y = Q и величина Z действительна, они сводились к обычным определениям характеристик действительных случайных величин.

Математическим ожиданием комплексной  случайной величины Z=X+iY называется комплексное число

Это есть некоторое среднее  значение величины Z или, геометрически, средняя точка т_z, вокруг которой происходит рассеивание случайной точки Z (рисунок 10).

Дисперсией комплексной случайной  величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной величины:

где

Геометрически дисперсия  комплексной случайной величины есть не что иное, как среднее  значение квадрата расстояния от случайной  точки Z до ее математического ожидания т_z (рисунок 10). Эта величина характеризует разброс случайной точки Z около ее среднего положения.

Выразим дисперсию комплексной  случайной величины через дисперсии ее действительной и мнимой частей. Очевидно,

 

 

т. е. дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей.

Из самого определения  дисперсии следует, что дисперсия  комплексной случайной величины всегда действительна и существенно положительна. Обращаться в пуль она может только в случае, если величина Z не случайна.

Данные выше определения  математического ожидания и дисперсии, очевидно, удовлетворяют поставленному  требованию: при Y=0 и Z = X они превращаются в обычные определения математического ожидания и дисперсии действительной случайной величины.