Случайные функции

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

На практике часто  приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися  в процессе опыта. Примерами таких  случайных величин могут служить: ошибка радиодальномера при непрерывном  измерении меняющейся дальности; угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения. Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта называются случайными функциями.

Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей — теория случайных функций (иначе — теория случайных или стохастических процессов). Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явлений». Теория случайных функций — новейший раздел теории вероятностей, развившийся, в основном, за последние два-три десятилетия.

В настоящее время  эта теория продолжает развиваться  и совершенствоваться весьма быстрыми темпами. Это связано с непосредственными требованиями практики, в частности с необходимостью решения ряда технических задач. Известно, что за последнее время в технике все большее распространение получают системы с автоматизированным управлением. Соответственно все большие требования предъявляются к теоретической базе этого вида техники — к теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений (так называемых «помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого  исследования, является  аппарат теории случайных функций.

 

1 Случайные функции

1.1 Понятие о случайной  функции

 

Первым из основных понятий  является само понятие случайной функции. Это понятие настолько же шире и богаче понятия случайной величины, насколько математические понятия переменной величины и функции шире и богаче понятия постоянной величины.

Случайной величиной  называется величина, которая в результате опыта может принять то или  иное значение, неизвестно заранее.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее.

Конкретный вид, принимаемый  случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции.

В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стержня могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения х. Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты Н.

На практике встречаются  также случайные функции, зависящие  не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат х, y, z и времени t.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t). Предположим, что над ней произведено п независимых опытов, в результате которых получено п реализаций (рисунок 1) . Обозначим их соответственно номеру опыта x₁(t), х₂(t).....x_n(t).

                                                                Рисунок 1

 

Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким  образом, в результате каждого опыта  случайная функция X (t) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Фиксируя некоторое значение аргумента  t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция X (t). Очевидно, она превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Эту случайную величину называют сечением случайной функции, соответствующим данному t. Если провести «сечение» семейства реализаций при данном t (рисунок 1), мы получим п значений, принятых случайной величиной X (t) в я опытах.

Мы видим, что случайная функция  совмещает в себе черты случайной  величины и функции. Если зафиксировать  значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

 

1.2 Понятие о случайной функции  как расширение понятия о системе  случайных величин. Закон распределения  случайной функции

 

Рассмотрим некоторую случайную  функцию Х(t) на определенном отрезке времени (рисунок 2).   

Строго говоря, случайную функцию  не изображают с помощью кривой на графике: начертить можно лишь ее конкретные реализации. Однако в целях наглядности можно позволить условно изобразить на чертеже случайную функцию X (t) в виде кривой, понимая под этой кривой не конкретную реализацию, а всю совокупность возможных реализаций X (t). Эту условность отмечают тем, что кривую, символически изображающую случайную функцию, изображают пунктиром.

Рисунок 2

 

Предположим, что ход изменения  случайной функции регистрируется с помощью некоторого прибора, который  не записывает случайную функцию  непрерывно, а отмечает ее значения через определенные интервалы —  в моменты времени t₁,t₂, ..., t_m.

При фиксированном значении t случайная функция превращается в обычную случайную величину. Следовательно, результаты записи в данном случае представляют собой систему т случайных величин:

X(t₁), X(t₂), .... X(t_m)

Очевидно, при достаточно высоком темпе работы регистрирующей аппаратуры запись случайной функции через такие интервалы даст достаточно точное представление о ходе ее изменения. Таким образом, рассмотрение случайной функции можно с некоторым приближением заменить рассмотрением системы случайных величин (2). По мере увеличения т такая замена становится все более и более точной. В пределе число значений аргумента — и соответственно число случайных величин (2) — становится бесконечным. Таким образом, понятие случайной функции можно рассматривать как естественное обобщение понятия системы случайных величин на случай бесконечного (несчетного) множества величин, входящих в систему.

Исходя из такого толкования случайной  функции попытаемся ответить на вопрос: что же должен представлять собой закон распределения случайной функции?

Зная, что закон распределения одной случайной величины есть функция одного аргумента, закон распределения системы двух величин — функция двух аргументов и т. д. Однако практическое пользование в качестве вероятностных характеристик функциями многих аргументов настолько неудобно, что даже для систем трех-четырех величин мы обычно отказываемся от пользования законами распределения и рассматриваем только числовые характеристики. Что касается закона распределения случайной функции, который представляет собой функцию бесчисленного множества аргументов, то такой закон в лучшем случае можно чисто формально записать в какой-либо символической форме; практическое же пользование подобной характеристикой, очевидно, совершенно исключено.

Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.

Рассмотрим случайную величину X (t) — сечение случайной функции в момент t (рисунок 3). Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t. Обозначим его f (х, t). Функция f (x, t) называется одномерным законом распределения случайной функции X (t).

Рисунок 3

Очевидно, функция f (x, t) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X (t). Действительно, эта функция характеризует только закон распределения X(t) для данного, хотя и произвольного t; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X (t) при различных t. С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции X (t) является так называемый двумерный закон распределения:

f(x₁ x₂; t₁ ,t₂).

Это — закон распределения  системы двух случайных величин X (t₁), X (t₂), т. е. двух произвольных сечений случайной функция X (t). Однако и эта характеристика а общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон:

f(x₁ , х₂,, х₃; t₁ ,t₂, t₃).

Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать  число аргументов и получать при  этом все более подробную, все более исчерпывающую характеристику случайной функции, но оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, знания функции (2) (так называемые «процессы без последействия»).

 

1.3 Характеристики случайных  функций

 

Есть много случаев убедиться в том, какое большое значение в теории вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия — для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица — для системы случайных величин. Искусство пользоваться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, — основа прикладной теории вероятностей. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи.

Совершенно аналогичным  аппаратом пользуются и в теории случайных функций. Для случайных  функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные  числовым характеристикам случайных  величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции X (t) определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции X (t) при фиксированном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от t, т. е, представляет собой некоторую функцию t : 

m_x(t)=M [ X (t) ].

Рисунок 4

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

На рисунок 5 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией — ее математическое ожидание.

Аналогичным образом  определяется дисперсия случайной  функции.

Дисперсией случайной  функции X (t) называется неслучайная функция D_x (t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции :

D_x (t) = D [ X (t) ].

 

Рисунок 5

Дисперсия случайной  функции при каждом t характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.

Очевидно, D_x(t) есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию a_x  (t) — среднее квадратическое отклонение случайной функции:

Рисунок 6

Математическое ожидание и дисперсия представляют собой  весьма сажные характеристики случайной  функции; однако для описания основных особенностей случайной функции  этих характеристик недостаточно. Чтобы  убедиться в этом, рассмотрим две  случайные функции Х₁ (t) и X₂(t), наглядно изображенные семействами реализаций на рисунках 5 и 6.

У случайных функций Х₁(t) и Х₂ (t) примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии; однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной функции X_x(t) (рисунок 5) . характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке t случайная функция Х₁ (t) приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке t' она также примет значение больше среднего. Для случайной функции Х₁(t) характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных t. Напротив, случайная функция X₂(t) (рисунок 6) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения расстояния по t между ними.