Случайные функции

где Р(х) — вероятность появления значения х', представляет собой среднее

значение данной дискретной величины, полученное по результатам  большого числа опытов.

Хотя закон распределения  полностью определяет случайную  величину для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.

Одной из таких характеристик  является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величины. Оно определяется из выражения:

Часто используется так  называемое среднеквадратичное значение случайной

величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата

случайной величины:

Иногда рассматривается  центрированное значение случайной  величины  х— х,

где х — среднее  значение. Тогда аналогично формуле  можно ввести понятие

центрального момента  м-го порядка

Из формулы  следует, что центральный момент первого  порядка

всегда равен нулю.

Обратимся теперь к характеристикам  рассеяния дискретной случайной

величины.

Если х — случайная  величина, x` — среднее значение этой величины, то величина х —х` есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина х.

Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т. е.

Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной  величины от ее

среднего значения. Она  совпадает с центральным моментом второго порядка

Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина может принимать все значения в каком-либо заданном ограниченном интервале (а < х < b) или все значения от —оо до +оо.

Следовательно, функция  распределения (интегральный закон  распре- деления) для непрерывной случайной величины будет изображаться непрерывной кривой. На рисунке 13 показаны оба упомянутых выше варианта.

Рисунок 13

Вероятность того, что  непрерывная случайная величина примет определенное

числовое значение х, бесконечно мала (например, вероятность  попадания центра

тяжести снаряда в  определенную точку цели). Вероятность  же того, что

непрерывная случайная  величина окажется в некотором промежутке х1<х.

х<х1 будет иметь конечное значение, а именно:

Вероятность того, что  непрерывная случайная величина содержится в промежутке между х и х + dх, будет

Величина

называется плотностью вероятности.

Закон распределения  для непрерывной случайной величины в отличие от

дискретной задается не в виде значений вероятности, а  в виде плотности вероятности w(х), называемой также дифференциальным законом распределения. На рисунке 14 показаны дифференциальные законы распределения для

Рисунок 14

двух вариантов функции  распределения F (x), показанных на рисунке 13.

Если бы здесь использовалось то же понятие закона распределения, что и для

дискретной случайной  величины, то получились бы бесконечно малые ординаты Р(х).

Рассеяние непрерывной  случайной величины можно оценивать  одним из следующих значений, словесные формулировки которых остаются прежними.

Среднее отклонение (мало удобная для вычислений величина)

Дисперсия (наиболее удобная  для вычислений величина)

Среднеквадратичное отклонение

    

2.2 Понятие о стационарном случайном процессе

 

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

 

Рисунок 15

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рисунок 15).

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.

На рисунке 11 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса — процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени.

 

Рисунок 16

 

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего

развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела на неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер.

Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии — с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.

Случайная функция X(t) называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от t (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси ().

В данном элементарном изложении теории случайных функций - мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

т_х (t) = т_х = const.

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции X (t) всегда можно перейти к центрированной случайной функции X (t), для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию. Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не помешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, — это условие постоянства дисперсии:

D_x (t) = D_X = const.

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию X(t) (рисунок 17).

Рисунок 17

Положим в выражении K( t, t') t’ = t+ τ    и    рассмотрим K_x(t,t+ τ) — корреляционный момент двух сечений случайной функции,  разделенных интервалом времени т. Очевидно,  если  случайный процесс X(t) действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси Ot мы взяли участок т, а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков I и II на рис. 12, имеющих одну и ту же длину х, значения корреляционной функции К_х (t,t+ τ) и K_x(t₁,t₁ + τ) должны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения t первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка r между первым и вторым аргументами:

K_x(t, t+τ) = k_x(τ).

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие, требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия. Действительно, полагая в формуле t+τ=t (τ=0), имеем:

D_x (t) = К_х (t, t) = k_x (0) = const.

Таким образом, условие есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов t и t’, а только от разности τ между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

K_x(t, t') = K_x(t,t’).

Отсюда для стационарного процесса, полагая t' — t = τ, имеем:

k_x(τ)=k_x(-τ),

т. е. корреляционная функция k_x(x) есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рисунок 13).

На практике, вместо корреляционной функции k_x(x), часто пользуются нормированной корреляционной функцией

где D_x = k_x(0) — постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция ρ_х(τ) есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом х по времени. Очевидно, что ρ_х(t)=1.

 

2.4 Применения теории стационарных случайных процессов

 

В предыдущем п° был рассмотрен вопрос о преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой и получены простые математические приемы решения этой задачи. Преобразование случайной функции свелось к простейшему преобразованию (умножению на квадрат модуля частотной характеристики) одной-единственной функции: спектральной плотности. Такая простота спектральной теории стационарных случайных процессов делает ее незаменимым аппаратом при исследовании линейных динамических систем, работающих в условиях наличия случайных возмущений (помех).

Обычно при решении практических задач нас интересует не сама по себе корреляционная функция k_y(τ) на выходе системы, а связанная с нею дисперсия

D_y=k_y(0),

которая характеризует ошибки системы, вызванные поступающими на нее случайными возмущениями, и во многих случаях может служить критерием точности работы системы.

При исследовании динамических систем методами теории случайных функций решаются два вида задач, которые можно назвать «прямыми» и «обратными».

Прямая задача состоит в следующем. Анализируется заданная линейная динамическая система с вполне определенными параметрами, работа которой описывается линейным дифференциальным уравнением:

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₁p+a₀)y(t)=(b_mp^m+b_m-1p^m-1+...+b₁p+b₀)x(t).