Особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби

Из одной крайности — обучения решению сложных и не всегда хорошо организованных в учебнике задач на дроби — начальная школа попала в другую. Теперь она выпускает детей не только не умеющих найти 2/3 числа, но и не видевших такое обозначение в учебнике. Все сказанное говорит за то, что в изучении задач на дроби в начальной школе произошли не самые лучшие изменения. При этом изложение материала, связанного с дробями, в учебниках 5 класса практически не изменилось. Этот методический просчет требует определенной компенсации.

Справедливости ради сделаем оговорку. В последнее время появилось много разных учебников для начальной школы, и в некоторых из них изучение дробей достаточно продвинуто. Например, в учебниках Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для начальной школы «пройдены» почти все задачи на дроби. Думается, такое забегание вперед вряд ли оправдано. Оно ведь не сопровождается изучением теоретических сведений о дробях, как это принято в 5–6 классах. Следовательно, обучение может строиться только на подражании учителю.

С чего же нужно начинать работу с задачами на дроби? Очевидно, что сначала учащимся нужно напомнить задачи, которые они решали в начальной школе. При этом на первых порах доли должны задаваться словами: половина, треть, четверть и т.п. Потом — для упрощения чтения и записи — с помощью дробей. Знакомство с терминами «дробь», «числитель», «знаменатель», уяснение их смысла и назначения вполне могут проходить до специально организованной работы по учебнику, так как при решении первых задач сами дроби еще не воспринимаются учащимися как числа, над которыми нужно выполнять действия. Такие задачи есть в разделе 2.1 — их можно решать уже в первом полугодии 5 класса. Здесь же есть и задачи, готовящие учащихся к решению задач «на бассейны». Их решение будет способствовать углублению понимания учащимися смысла дроби.

В разделе 2.1 есть такая задача из раздела «Задачи повышенной трудности» учебника Н.Я. Виленкина и др. (1984 г.):

Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок?

С этой задачей связана история, которую стоит вкратце рассказать. Газета «Московский комсомолец» опубликовала 26.04.87 г. в разделе «Сатира & юмор» реплику В. Сумина, которую мы приводим с сокращениями: «Встречали вы в магазине, чтобы продавали по половине яйца? Нет? Я тоже. А на рынке — пожалуйста! Мы-то, взрослые, знаем, почему. Там целое яйцо не каждому и по карману. И дети пусть об этом знают, пусть! ... А все-таки ушлый народец, эти продавцы!.. И как они умудряются? Я целый день потратил, сотню яиц извел, а пополам ни одного не разделил. Может, мне кто поможет, а?..»

Такой вот грустный получается юмор. Особенно, если учесть, что автор реплики окончил московскую физико-математическую школу № 2, славную своими победителями математических олимпиад различного уровня, и сам написал учебник для металлургических техникумов. Ну, — скажет читатель, — с кем не бывает! И мы бы согласились, да вот беда! После получения 11 писем читателей газета еще раз вернулась к обсуждению «Дела о яйце», напомнив содержание предыдущей публикации следующим образом: «Теперь — о реплике. В ней высказывается нехитрая и в общем-то, на наш взгляд, справедливая мысль, что учебник должен учить не только математике, но и отражать реальные отношения между людьми и предметами. В задаче № 1513 математическая логика вступила в противоречие с обыкновенным здравым смыслом. Математика утверждает, что пол-яйца и пол-яйца будет одно целое яйцо. Здравый смысл говорит, что ни одного...»

В завершение развернутой дискуссии газета опять предоставила слово В. Сумину, который прочитав письмо Н.Я. Виленкина, содержащее ответ «43 яйца», пишет: «...Это что же получается? Били-били яйцо, разбили пополам, всучили в таком виде покупателям (и где таких смирных отыскали-то?), а оно опять оказалось целым!» и т. д. в том же духе.

Трудно поверить, чтобы взрослые люди, зная ответ, не поняли всю бессмысленность развернутой«научной дискуссии». Трудно также поверить и в то, что это был розыгрыш (хоть это и «Сатира & юмор»). Видимо, дело здесь в другом. Весь сыр-бор разгорелся из-за буквального понимания операции «взять половину всех яиц и еще пол-яйца» и выполнения ее «физически» — в области тех величин и предметов, о которых идет речь в условии задачи. Если следовать такой логике, то нам, конечно же, не удастся из трех яиц взять половину и еще пол-яйца, т. е. два целых яйца. В этом смысле В. Сумин прав. Но так ли уж серьезно здесь обвинение математиков в отрыве от практики, ведь они решают практические задачи с помощью математических моделей — в данном случае арифметических операций с рациональными числами. Промежуточные результаты решения внутримодельной задачи могут не иметь интерпретации, приемлемой с точки зрения тех величин, о которых идет речь в условии задачи.

На практике часто приходится находить, например, 25 % от 36 человек. Первая операция приводит к результату 0,36 человека, но означает ли это что сама задача не отражает «реальные отношения между людьми и предметами» или не отвечает «обыкновенному здравому смыслу»? Совсем нет! Этот результат, скорее, показывает, что данную задачу лучше предлагать школьникам тогда, когда они научатся соединять два действия (36:100·25), не интерпретируя промежуточного результата, или получать тот же результат умножением 36 на 0,25. А до тех пор нужно находить 25 % от 36 метров, 36 рублей, 3600 человек и т.п., то есть от таких величин, сотая часть которых может быть легко истолкована.

Из следующего издания учебника (1990 г.) задача № 1513 была исключена (вместе с разделом«Задачи повышенной трудности»). Мы привели эту историю совсем не для того, чтобы развлечь читателя. Она затрагивает важные методические вопросы, связанные с взаимоотношением практической ситуации и ее арифметической модели, которые нам хотелось прокомментировать.

Задачи раздела 2.2 посвящены нахождению части числа и числа по его части. Первые задачи каждого из этих типов надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не уяснят себе назначение первого шага в решении. Потом эти действия объединяются в одно выражение.

Если по вашему учебнику умножение и деление дробей не изучаются в 5 классе, то следующий шаг в решении задач (нахождение части числа умножением на дробь и числа по его части делением на дробь) придется отложить почти на год. Решения задач из разделов 2.3 и 2.4 основываются на ранее изученном материале и умении выполнять действия с дробями. В 5 классе можно использовать только те из них, в решении которых требуется выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а остальные задачи — годом позже. В 6 классе следует решать и задачи «на бассейны» (раздел 2.5) — классические задачи, известные с древнейших времен. Про них следует сказать отдельно.

Достойно сожаления, что в начале 70-х годов из учебников  
математики 4–5 классов исчезли задачи, отражающие важнейшую, часто встречающуюся зависимость:

1/a  + 1/b = 1/c.                              (1)

Впрочем, решение самих задач не требует восприятия зависимости между известными и неизвестными величинами в виде равенства (1). Но хотя бы из чисто практических соображений учащимся 5–6 классов необходимо решать задачи типа:

Через первый кран сосуд наполняется за 20 мин, а через второй — за 30 мин. За сколько минут можно наполнить сосуд через оба крана?

Ведь в 8 классе они встретятся с той же арифметической ситуацией, но иначе поставленным вопросом в задаче типа:

Через два крана сосуд наполняется за 12 мин. Известно, что через один первый кран сосуд наполняется на 10 мин быстрее, чем через один второй. За сколько минут можно наполнить сосуд через каждый кран в отдельности?

Отсутствие в учебном процессе первой задачи при наличии второй является просчетом, который необходимо устранить. Ведь для проверки решения второй задачи учащиеся должны составить ей обратную задачу (первую) и решить ее.

Есть и менее очевидные соображения за возвращение в учебный процесс задач «на бассейны». Когда их в свое время исключали, шла борьба против решения задач «по шаблону» — довольно странная борьба, если учесть, что по шаблону, по ранее показанным образцам решается большинство задач, и не только в математике. Кроме того задачи «на бассейны» критиковались за искусственность и оторванность от практики. Ведь в реальных ситуациях обычно бывают известны объем бассейна, который надо наполнить, задание, которое надо выполнить, расстояние, на которое должны приблизиться участники движения и т.п. Что здесь можно возразить?

Во-первых, ребенок не может сам открыть способы решения всех задач. Проблема заключается совсем не в том, чтобы вовсе избежать шаблонов — это невозможно, а в том, чтобы при изучении способов решения составных задач начинать не с демонстрации учащимся решения, а подводить их к«открытию» этого решения с помощью специально подобранных подготовительных задач.

Использование способов решения нескольких опорных задач и выстраивание из них решения составной задачи — это самостоятельная проблема, решение которой может способствовать развитию ребенка. На следующем этапе обучения эта составная задача сама может выступать как опорная, к которой ученик будет сводить решение более сложной составной задачи. Чтобы не создавать ситуаций, когда ученики запоминают шаги решения и даже воспроизводят их, но не понимают смысла каждого отдельного действия, нужно было изменить методику обучения, но этого-то как раз и не было сделано.

Во-вторых, ценность задач «на бассейны» и многих других типовых задач, решаемых арифметическими методами, заключается совсем не в непосредственной применимости на практике способов их решения. Думается, китайцы, составившие во II в. задачу о дикой утке и диком гусе, вылетевших одновременно навстречу друг другу от северного и южного морей (см. № 207), вряд ли имели в виду такую практическую пользу. Ценность арифметических способов решения задач заключается в их влиянии на развитие мышления ребенка, в конечном счете — в применимости на практике развитого мышления. Есть и другие соображения в пользу задач «на бассейны», связанные с лишними данными, введением отвлеченной единицы, общностью математической модели для различных практических ситуаций — на них мы остановимся в комментариях к решениям задач.

Покажем на примере обсуждаемых здесь задач «на бассейны» как можно выстроить систему задач, готовящую к решению составной задачи. Пусть мы хотим подвести учащихся к решению такой задачи:

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через обе трубы?

Приведем ее решение без пояснений:

1) 1:10 = 1/10;                      3) 1/10 + 1/15 = 1/6;

2) 1:15 = 1/15;                      4) 1:1/6 = 6.

Очевидно, что для самостоятельного выстраивания такого решения (в худшем случае — для его понимания) ученик должен научиться решать три задачи:

A. Бассейн наполняется  за 10 ч. Какая часть бассейна наполняется  за 1 ч?

B. В каждый час первая  труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая — 1/15 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

C. В каждый час труба  наполняет 1/6 бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Сначала нужно научить школьников решать задачи A и C — для их решения не требуется выполнять деление. Достаточно, опираясь на понимание смысла дроби, проводить такие рассуждения:

Бассейн наполняется за 10 ч, значит, в час наполняется 1/10 бассейна.

В каждый час наполняется 1/6 бассейна, значит, весь бассейн наполнится за 6 ч.

По мере того как учащиеся будут осваивать действия с дробями, эти рассуждения можно заменять приведенными выше действиями, а после усвоения способа решения задачи B им можно предложить задачи-связки A ® B и B ® C и составную задачу с промежуточным вопросом:

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая — 1/15 бассейна. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

Для отработки решения каждой из предложенных задач желательно иметь достаточное число дублей с разными данными и фабулами, а для первой предъявляемой учащимся составной задачи — с промежуточным вопросом. Столь подробная и упорядоченная система задач должна быть составлена в интересах наиболее слабых учащихся, в работе с которыми лучше следовать известному принципу, сформулированному С.И. Шохор-Троцким: «Каждый раз надо стремиться к преодолению только одной трудности». [29]

Представляется более разумным и экономным, более гуманным по отношению к детям предлагать им «цепочки» задач, с помощью которых учитель может целенаправленно подводить учащихся к«открытию» решения составной задачи, учить их при поиске решения новой задачи опираться на хорошо усвоенные способы решения опорных задач. По таким «цепочкам» учащиеся смогут с большей самостоятельностью продвигаться от простых задач к сложным. При этом более подготовленные из них по указанию учителя могут идти вперед более крупными шагами, пропуская ненужные им дубли и промежуточные задачи и переходя к решению необязательных для всех задач. Такая организация работы с задачами повысит эффективность учебного процесса как с точки зрения его результата — научить детей определенным способам действий в определенных ситуациях, так и с точки зрения его влияния на их развитие. Когда же решение составной задачи будет усвоено, ее дубли и более сложные варианты можно предлагать учащимся в порядке повторения вперемешку с задачами других типов.

Описанный порядок организации задачного материала и подготовки учащихся к решению составных задач дает учителю достаточный простор в организации уроков и в создании ситуаций, в которых школьники будут учиться связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач. Этот порядок позволит учителю отказаться от практикуемого сейчас экстенсивного пути обучения — хаотичного предложения учащимся большого числа задач на разные темы в надежде на то, что до них когда-нибудь «дойдут» способы их решения. Этот порядок поможет учителю в обучении школьников решению текстовых задач занять более активную методическую позицию.