Особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби

 

 

 

 

 

Введение

 

Актуальность. В соответствии с программой по математике в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в V и VI классах. Это значит, что в начальных классах надо создать конкретные представления о доли и дроби.

В настоящее время появляется большое число новых моделей обучения в начальной школе, каждая из которых имеет свой взгляд на данную тему. Так в системе Л.В. Занкова более широко представлена обыкновенная дробь, а также сложение и вычитание обыкновенных дробей. Этой же позиции придер-живается и модель «Школа 2100» и соответствующая ей программа Л.Г. Петерсон. В системе Эльконина – Давыдова наряду с обыкновенной дробью в 4 классе дети знакомятся с десятичными дробями и с правилами их сложения и вычитания1.

Несмотря на то, что доли и дроби изучаются практически во всех современных моделях образования, эта тема до сих пор остается наиболее сложной для учащихся и вызывает у них определенные трудности.

Все вышесказанное позволило определить тему курсовой работы: методика изучения доли и дроби в начальной школе.

Объект исследования: учебно-воспитательный процесс в начальной школе.

Предмет исследования: методические особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби.

Цель исследования: выявить особенности методики обучения младших школьников долям и дробям.

Гипотеза исследования: обучение младших школьников долям и дробям будет проходить наиболее эффективно, если учитель будет использовать прак-тический метод.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы были определены следующие задачи:

1. Подобрать и изучить методическую и психологическую литературу по данной теме.

2. Раскрыть понятия «доля» и  «дробь».

3. Выявить основные проблемы, возникающие  у учащихся в процессе изучения  данной темы.

4. Раскрыть особенности методики  работы с долями и дробями  в начальной школе.

В первой главе работы рассмотрены теоретические аспекты изучения доли и дроби в начальной школе.

Для написания работы использовалась методическая,  психологическая литература и периодика.

 

Глава 1. Теоретические аспекты изучения доли и дроби в начальной школе.

 

1. История возникновения понятий «доля» и «дробь».

 

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа – 2/3 - у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе      единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … .  Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей2. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5.  Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски  эта задача решалась так:   Дробь  7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому,   папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

 

 

 

Умели египтяне также умножать и делить  дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной.  А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям3.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12   пути или прочтено  5/12  книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия4.

Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности  не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия 1/288   асса   -  «скрупулус». В ходу были и такие названия: «семис»- половина асса, «секстанс»- шестая его доля, «семиунция»- половина унции, то есть 1/24   асса и так далее. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса  (1/3  асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы5.

 

 

 

1.2. Проблемы изучения долей и  дробей в начальной школе.

 

Рассмотрим проблемы, возникающие у младших школьников при изучении долей и дробей:

- при делении геометрической  фигуры на доли получаются  неравные доли. Учитель должен  обучить получению правильных  долей путем сложения фигуры  на равные части;

- смешивание понятия «доля»  и «дробь». Учитель объясняет  детям, что доля – это 1 часть  от целого (1/2, 1/4, 1/6 и другие), а  дробь – любая другая часть  целого (2/3, 4/8 и так далее). Можно  провести математические диктанты  на разведение этих понятий6;

- ошибки при сравнении дробей. Здесь рассматривается несколько  случаев: 1) если у дробей одинаковые  знаменатели, то больше та дробь, числитель которой больше; 2) если  у дробей одинаковые числители, то больше та дробь, у которой  знаменатель меньше. Сравнение дробей  рассматривают на конкретных  примерах с использованием наглядного  материала. Дети хорошо видят, что  дробь 2/3 больше, чем дробь 2/4, так  как в первом случае делили  на 3 части, а во втором – на 4 части, поэтому во втором случае  сами части получились меньше7;

- ошибки при переводе неправильной  дроби в смешанное число. Данная  операция основывается на делении  с остатком, поэтому перед изучением  данной темы необходимо повторить  деление с остатком. Покажем на  конкретном примере. «Преобразовать  неправильную дробь 21/6 в смешанное  число». Рассуждают: «Так как целое  делили на 6 равных частей и  взяли 21 часть, то целых было несколько. Узнаем, сколько целых частей  умещается в 21. 21: 6 = 3 (ост.3). Значит 21/6 = 3 3/6.» Дети легко приходят  к выводу, что частное, получаемое  в результате деления числителя  на знаменатель, - это целая часть, а остаток – числитель новой  дроби. Знаменатель остается без  изменения8;

- ошибки при переводе смешанного  числа в неправильную дробь. Эта  операция основывается на проверке  деления с остатком, поэтому изучается  после перевода неправильной  дроби в смешанное число. Но  по аналогии дети уже легко  могут сами вывести правило: «Чтобы  перевести смешанное число в  неправильную дробь, нужно целую  часть умножить на знаменатель  и к полученному произведению  прибавить числитель. Это будет  числитель новой дроби. Знаменатель  оставляем без изменения.»9;

- ошибки при сложении и вычитании  дробей. Учащиеся часто складывают/вычитают  и числители, и знаменатели. Для  предупреждения этих ошибок учитель  при объяснении данной темы  должен опираться на наглядный  материал. Данные операции проводятся  в пределах одной геометрической  фигуры10;

- ошибки при выборе решения  задач, связанных с дробями и  долями. Очень часто учащиеся  путают вид задачи и неверно  избирают решение задачи. Учитель  должен работать над различением  видов задач, связанных с дробями. Рассмотрим две задачи на нахождение  доли числа («В классе 32 ученика. Из них 1/4 играют в хоккей. Сколько хоккеистов в классе?») и на нахождение числа по доле(«Сколько стоит книга, если 2/6 часть ее цены составляет 14 р.?»). Дети должны понять, что в задачах первого вида нужно целое (32) делить на знаменатель (4), то есть находить значение одной части, и умножить на числитель дроби (1). В задачах второго вида нужно искать целое. Для этого нужно узнать сколько приходиться на одну часть (делят 14 на 2), а затем умножить на знаменатель, то есть количество частей. Получают целое11.

Очень хорошо данная работа показана в программе по математике Л.Г. Петерсон в 4 классе. Решение задач, связанных с дробями, раскрывается с помощью модели отрезка, на котором хорошо просматривается связь между данными и искомыми12.

Таким образом, большая роль в работе с долями и дробями принадлежит учителю, так как данная тема сложна для учащихся начальной школы. Вся работа ведется в тесной связи с наглядным материалом.

 

 

 

 

Глава 2. Методика изучения долей и дробей в начальной школе.

 

2.1. Методика ознакомления с понятиями «доля» и «дробь» и сравнением долей и дробей.

 

Ознакомление с долями и дробями традиционно начинается в 3 классе. С этой целью предусматривается ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 4 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби,  научить решать задачи на нахождение дроби числа13. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.

Работа над данной темой ведется в 2 этапа.

1. Ознакомление с долями.

Ознакомить детей с долями -  значит сформировать у них  конкретные представления о долях, то есть научить детей образовывать доли практически. Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть14.

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; можно использовать рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах (круги, прямоугольники, треугольники, бруски, отрезки и другие). Очень важно, чтобы пособия были не только у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представления о долях, а позднее о дробях. Будут сформированы тогда, когда ученики будут своими руками получать, например, половину круга, квадрата15.

Познакомить детей с долями можно таким образом. У каждого из учащихся и  у учителя по несколько одинаковых кругов, прямоугольников.   Учитель: «Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части (показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2) . Покажите их. Возьмите квадрат. Как полу-чить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две  равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.»16

Учащиеся могут сделать это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали и получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части (рис.1.1)

Рисунок 1.1.

 

 

 

 

Учитель: «Как получить одну вторую долю круга (разделить круг на две равные части и взять одну такую часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата?  (Половина круга, половина квадрата.) Сколько половин круга в целом круге (2)?»

Доли записывают с помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.

Учащиеся записывают на половине круга  1/2 и объясняют, что пока-зывает в этой записи каждое число.

Так же образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски) надо данный отрезок (прямоугольник , полоску) разделить на 5 равных  частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.

Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей (рис.1.2.) Назовите и запишите, какая доля квадрата (круга) отрезана (закрашена)17.

Рисунок 1.2.

 

 

 

 

Можно предлагать самим детям изобразить  какую-либо долю отрезка и записать эту долю.

В каждом случае  надо спрашивать, сколько всего долей в целом. Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и другие.

Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же  величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.

Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2  и поставить знак « > »,  « < ».