Особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби

Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков (рис.1.3.). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.

Рисунок 1.3.

1/3

 

1/2

 

 

Решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное  назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе18.

В 3 классе рассматривается только простые задачи, а в 4 классе они включаются в составные.

2. Ознакомление с дробями.

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

Ознакомление начинается с упражнений вида: «Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили дробь - три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.»19

Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа20.

Для сравнения дробей обычно используются иллюстрации с равными прямоугольниками (рис.1.4.). Учащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник.

Учитель: «Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на  2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.»21

Рисунок 1.4.

 

1
1/2				1/2
1/4		1/4		1/4		1/4
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

 

 

Учитель: «Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?»     Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на рисунок.

Предлагаются специальные вопросы на сравнение дробей22:

1. Вставьте пропущенный знак  « > » ,  «  < »     или  «   = »:

3/8 * 3/4 ;   4/5 * 1 ;   4/8 * 1/2 ;

Подбираете  такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:

5/10 = */2 ;  3/8 > */4 ;   ½ < */4

Выполняя такие и подобные упражнения, учащиеся прибегают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками, или заново изображают дроби  с помощью, например отрезков.

Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли числа («В классе 32 ученика. Из них 1/4 играют в хоккей. Сколько хоккеистов в классе?»), на нахождение числа по доле(«Сколько стоит книга, если 1/6 часть ее цены составляет 14 р.?»), на нахождение части, которую одно число составляет от другого(«Около дома стоит 8 машин. Из них 3 машины белые. Какую часть всех машин составляют белые машины?»)23. Решение этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий и практического материала24.

Например,   предлагается   задача:   «У   монтёра   было   12   м провода.  2/3   всего провода  он  израсходовал.  Сколько  метров провода израсходовал монтер?»

Учащиеся под руководством учителя выполняют чертеж (рис.1.5.)

Рисунок 1.5.

2/3

12 м

 

- Изобразим отрезком  кусок провода, приняв 1 см за 1 м. Какой длины отрезок надо начертить? (12 см.) Что сказано об израсходованном проводе?  (Израсходовано  2/3 всего провода.)

- Как изобразить израсходованный  кусок провода? (Отрезок разделить на 3 равные части и взять 2 такие части.) Значит, сначала мы 12 разделим на 3. Что этим узнаём? (Чему равна 1/3 провода.) Чему же она равна? (4 м) Затем результат умножим на 2. Что этим узнаем? (Чему равны 2/3 провода.) Сколько же метров провода израсходовал монтер? (8 м.)

Запись: 12:3-2 = 8 (м)  Ответ: 8 м.

В дальнейшем, решая такие задачи, учащиеся должны самостоя-тельно выполнять подобные рассуждения. Например, надо узнать, сколько минут в 3/4 ч. Ученик рассуждает:   «Найду, сколько минут составляет 1/4 ч, для этого 60 разделю на 4, получится  15; теперь найду, сколько минут в 3/4  ч, для этого 15 умножу   на 3,   получится 45;  значит, 3/4  ч — это 45 мин».

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Несколько позднее задачи на нахождение дроби числа должны включаться в составные задачи, например: «Мотоциклист проехал за 3 дня  1250 км. В  первый день он проехал 2/5 всего  пути,  а  во  второй  день 3/10 всего  пути.   Какое  расстояние проехал мотоциклист в третий день?»25

Записывать решение таких задач лучше в виде отдельных действий:

1) 1250:5-2 = 500 (км) — проехал мотоциклист в первый день;

2) 1250: 10-3 = 375 (км) — проехал мотоциклист во второй день;

3) 500 + 375 = 875   (км) — проехал   мотоциклист   за  2   дня;

4) 1250— 875 = 375 (км)— проехал мотоциклист в третий день.

Ответ: 375 км.

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ на протяжении всего учебного года.

 

 

Сравнение долей и дробей.

 

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12  отрезок AВ   равен  отрезку CD; отрезок EF больше   отрезка QH;   отрезок  KL  меньше   отрезка  MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении   дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие  этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице  измерения). Возьмём отрезок СК  и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1/2. Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2/4 ; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать  дробь 4/8. Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1/2, 2/4  и 4/8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными   числителями: 1/4 и 1/8,   и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части,  а во втором случае о н а  же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1/4 больше 1/8. Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными  знаменателями: 5/8 и 3/8.   Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с  разными числителями и знаменателями, то судить об их величине  можно путём сравнения  каждой из них с единицей. Например,2/3 меньше 4/5, потому что первая дробь отличается от единицы на 1/3, а вторая на 1/5, т. е.  у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.

 

 

 

Сравнение долей и дробей.

 

Доли – это равные части, на которые разделили одно целое.

А теперь разделим каждую долю прямоугольника пополам. Получим всего 10 долей

Легко заметить, что долей стало больше, а каждая доля стала меньше. Отсюда следует, чточем больше долей целого, тем меньше каждая доля. А значит:

целое разделили на 5 равных частей, а знаменатель второй дроби показывает, что целое разделили на 10 равных частей. Помним, что чем больше долей, тем меньше каждая доля.

Исходя из этого, можно сделать вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

·         числители дробей одинаковые, равны 3;

·         

·         

·         

Покажем это на рисунке.

•                    знаменатели этих дробей одинаковые и показывают, что целое разделили на 9 равных частей;

•                    

•                    

•                    4 части целого будут меньше 7 частей целого;

•                    

Покажем это на рисунке.

Исходя из этого, можно сделать вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

 

 

 

 

 

 

2.2. Методика  работы над задачами  с долями и дробями .

 

 

 

Начнем с небольшой исторической справки о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь 2/3, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение«две трети от трети скота» (см. № 162) — выразить эту часть стада дробью 2/9 египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: 2/3 + 1/30. Решение более сложных задач на дроби, аналогичных задаче 172, было для египтян довольно сложной проблемой.

Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде:1/41/61/121/22, что выражает дробь 6/11, получающуюся сложением указанных дробей.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». Это обстоятельство как будто бы отразилось и на методике обучения решению задач на дроби. До сих пор методисты особо выделяют аликвотные дроби, называя их «долями», и различают терминологически, например, нахождение доли числа и дроби числа. Спору нет, изучение дробей должно начинаться с аликвотных дробей также как обучение решению составной задачи — с выделения его первого шага. Но ниоткуда не следует, что методическая терминология учителя должна доводиться до учащихся и быть их рабочей терминологией. Тем более, что теперь дробь не определяется как доля или совокупность нескольких долей, как это было в учебниках А.П. Киселева или И.Н. Шевченко. В противном случае с дробями, частями и долями будет трудно избежать вряд ли понятных ученикам формулировок вроде такой: «Вы умеете решать задачи на нахождение числа по заданной его доле. Научимся решать задачи на нахождение числа по заданной его дроби». [3, с. 167] Мы считаем малополезным для учащихся выделение «долей» из всех дробей и задач на нахождение доли числа и числа по его доле из соответствующих задач на дроби, так как в русском языке слова «доля» и «часть» являются синонимами. Слово «доля» употребляют и в тех случаях, когда часть не выражается аликвотной дробью. Имея в виду, что часть числа может быть выражена обыкновенной дробью (в том числе аликвотной), десятичной дробью или в процентах, мы будем говорить о нахождении части числа и числа по его части как общих задачах, частные случаи которых приводят к нахождению доли, процентов числа и обратным задачам. Это небольшое терминологическое уточнение позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения простейших задач на дроби и проценты. Однако проблема не только в терминологии.

В прошлые годы задачам на дроби уделялось много внимания в начальной школе. Теперь в этом вопросе произошли существенные изменения, о которых не всегда знают учителя, работающие в 5–6 классах. Вернемся на несколько лет назад и рассмотрим задачи на дроби в учебнике математики для 3 (выпускного для начальной школы) класса 1976 года издания. Еще до раздела «Дроби» в нем имеется 8 задач на нахождение доли числа и 3 задачи на нахождение числа по его доле. Причем в первых задачах каждого типа доли записывались словами, а потом — с помощью дроби. Даже эти первые задачи были составными — в 3–4 действия. Правда, простые задачи, связанные с долями (в том числе и с обозначением долей в виде дроби) встречались до этого в учебнике для 2 класса.

В разделе «Дроби» после разнообразной работы по формированию самого понятия «дробь», знакомства с терминами «числитель», «знаменатель», после приведения дробей к новому знаменателю и сравнения дробей с разными знаменателями (все с опорой на рисунки) давался образец решения задачи на нахождение дроби числа в два действия. Дальше на 100 страницах учебника были разбросаны 32 задачи на нахождение дроби числа и 5 задач на нахождение числа по его доле (четыре из них составные). Чтобы читатель получил представление о быстроте нарастания сложности задач, приведем шестую после разобранного образца задачу на нахождение дроби числа и следующую за ней задачу на нахождение числа по его доле.

574. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали 2/5, а во второй день — 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

575. Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал 1/3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги? [14]

Разумеется, недостаток более простых задач и большие временные перерывы между задачами не позволяли добиваться хороших результатов в обучении, но эти и другие недостатки можно было легко устранить. Однако при переходе к четырехлетнему обучению в начальной школе произошла странная вещь — дроби вообще исчезли из учебников. Программа по математике 1988 года предусматривала обучение детей лишь нахождению доли числа и числа по его доле в 3 классе и решение задач на нахождение нескольких долей числа в 4 классе [20]. Но и это требование программы не было выполнено в новом комплекте учебников под редакцией Ю.М. Колягина. Если в учебнике для 4 класса содержится около 16 задач первого и 4 задач второго типа (в учебнике для 3 класса — 18 и 14 соответственно), то в нем нет ни одной задачи на нахождение нескольких долей числа. Таким образом, в начальной школе не предполагалось обучение школьников нахождению дроби числа и числа по его дроби.

Здесь нам хочется подчеркнуть, что требования программы 1988 года являлись шагом назад даже по сравнению с требованиями программы трехлетних начальных народных училищ, утвержденной в 1897 году, в которой на втором году обучения предполагалось знакомство учащихся с долями, а на третьем — вычисления с ними. В программе был указан «наибольший размер сведений о долях, какие могут быть допускаемы... : 1) нахождение одной или нескольких частей, которые сами выражаются целым числом; 2) нахождение таких частей единицы, которые наиболее употребительны в жизни (например, 1/2, 1/4, 1/8, 1/10, 1/5, 1/3, 1/6);  
3) употребление нескольких из числа уже знакомых долей единицы, 4) образование целых из частей единицы и выражение целых в долях единицы; 5) сложение и вычитание одинаковых частей единицы; 6) повторение частей единицы несколько раз; 7) нахождение по целому части и по части целого, когда и данное, и искомое суть целые числа; 8) сложение и вычитание различных долей могут быть допущены только относительно употребительнейших в жизни случаев, например 1/2 с 1/8, и если ученики сейчас же угадывают, в каких долях может быть выражена сумма. Все эти упражнения могут быть допускаемы только при решении задач, без всяких теоретических объяснений и выводов».