Непрерывность и дифференцируемость функции 2-х переменных

Так как абсолютная величина каждой из этих производных, согласно условию теоремы, меньше числа М, то:

При достаточно малых значениях |h| и |k| делается сколь угодно малой и правая сторона этого неравенства, а это доказывает непрерывность функции f(x,y).

2.3.  Непрерывность частных производных в точке и дифференцируемость функции в этой точке

В математическом анализе доказывается теорема, которая  устанавливает связь между непрерывностью частных производных и дифференцируемостью  функции в точке.

Теорема 6. Если функция z = f(x,y) имеет в точке P(x,y) непрерывные частные производные f¢_x(х,у) и f¢_у(х,у), то в этой точке функция дифференцируема.

Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции z = f(x,y):

Рис. 6

 

Если к правой части  этого равенства прибавить и  отнять величину f(x, y+∆y), то выражение для ∆z, запишется в виде:

 

Иными словами  приращение функции при переходе от точки P к точке P₁      (рис. 7) мы представили в виде суммы двух приращений: приращения, которое получает функция при постоянном x, то есть при переходе от точки P к точке N, и приращения при постоянном y, то есть при переходе от точки N к точке P₁.

Выражение в  первой скобке является приращением  функции f(x,y) при постоянном втором аргументе (y+∆y), когда x получает приращение ∆x. Рассматривая это приращение функции одного x, применим формулу Лагранжа. Будем иметь:

где положение  точки Q(ξ₁, y+∆y) показано на рисунке 7.

Точно так же, применяя формулу Лагранжа к выражению  во второй скобке как к приращению функции одного y, получим:

где точка R(x,ξ₂) лежит на отрезке PN.

Таким образом:

Но по условию  производные f¢_x и f¢_у – функции непрерывные. Так как при точки Q и R также стремятся к точке P, то можно положить:

 

где ε₁ и ε₂ будут стремиться к нулю вместе с ∆x и ∆y, а следовательно, вместе с ρ=PP¢= . Подставляя эти выражения в формулу для ∆z, получим:

или

 

 

где .

В силу неравенств , имеем:

.

Следовательно,

так как ε₁ и ε₂ при стремятся к нулю, то стремится к нулю и отношение , то есть α является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ. Поэтому сумма первых двух слагаемых, в правой части равенства (3), линейная относительно ∆x и ∆y, и представляет собой согласно определению дифференциал функции в точке P(x,y), то есть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке P(x,y), что и требовалось доказать. 

 

2.4.  Непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке

Установим связь  между непрерывностью и дифференцируемостью  функции в точке. В связи с  этим докажем теорему.

Теорема 7. Если функция дифференцируема в точке P₀, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если ∆x→0 и ∆y→0, то из определения дифференцируемости следует, что ∆f(x₀,y₀)→0, а это и означает непрерывность функции f в точке (x₀,y₀).

Здесь обратное утверждение не верно, то есть из непрерывности  функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке. В этом можно убедиться, рассмотрев следующий пример:

Пусть дана функция  . Эта функция всюду непрерывна, но , поэтому частная производная по x в точке (0,0) не существует. Между тем ввиду того, что если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке обе частные производные, если бы функция была дифференцируема в точке (0,0), то существовали бы и частные производные в этой точке; значит функция в точке (0,0) не является дифференцируемой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основные понятия  функций двух переменных, а именно непрерывности и дифференцируемости этих функций.

Для этого мы дали определение непрерывности, дифференцируемости функций двух переменных, нашли частные производные.

Установили  связь между непрерывностью и ограниченностью функции в точке; непрерывностью и существованием частных производных в точке; непрерывностью частных производных в точке и дифференцируемостью функции в точке; существованием частной производной по х и частной производной по y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Валенкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа М. 1971 г.г. – 350 с.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебн. Пособие. – 18-е изд., испр. – М, 1997 – 624 с.
3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б.Х Математический анализ – М, 1979 – 719 с.
4. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа том 1, том 2 – М., 1968 г.
6. http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-1-04.html