Непрерывность и дифференцируемость функции 2-х переменных

Совершенно  аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

=

 ;   

 

 

 

 

рис. 2

В пространстве XYZ условие y = y₀ описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y₀. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 2. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x₀,y₀ равен частной производной по x функции z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной  производной по y.

Если частные  производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

.

Сами частные  производные могут являться функциями  от нескольких переменных на некотором  множестве. У этих функций тоже могут  существовать частные производные  по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются:

     или   

Согласно определению:

,    

Последняя частная  производная второго порядка  называется смешанной.

А зависит ли смешанная  частная производная второго  порядка от того в какой последовательности берутся переменные по которым вычисляется производная. Ответить однозначно на этот вопрос нельзя, так как смешанные частные производные равны будут только в том случае, если они непрерывны, о чем и говорит следующая теорема.

Теорема 1. Если смешанные  частные производные второго  порядка непрерывны, то они не зависят от того в какой последовательности вычислялись частные производные.

В остальных  же случаях смешанные производные равны не будут.

Пример 1. Найти  частные производные функции u=z^-xy, z > 0.

Решение

Частные производные  неявно заданной функции нескольких переменных

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой  переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y :

Пример 2.

Уравнение 

неявно задаёт две функции: ,

А уравнение    не задаёт никакой функции.

Теорема 1 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f'_x и f'_y определены и непрерывны в некоторой окрестности U_M0 точки M₀(x₀y₀). Кроме того, f(x₀,y₀)=0 и f'(x₀,y₀)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности U_M0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x₀, причем y( x₀)=y₀.

Без доказательства.

Из теоремы 1 следует, что на этом интервале D:

 
то- есть имеет место тождество  по

Поэтому

 

где "полная" производная находится согласно (1.31)

;                                                      

 

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной  неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично  определяется и неявная функция  двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:

то при некоторых  условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся  так:

Пример 3. Считая, что уравнение

 

неявно задаёт функцию 

Найти ,

Решение

Имеем:

 

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Ответ.

 

 

1.5.  Дифференцируемость функции двух переменных, дифференциал

 

Рассмотрим  функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные f¢_x(х₀,у₀) и f¢_у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+Dx,y₀+Dу), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение:

Определение 9. Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде:

 

где

 

то функция  называется дифференцируемой в точке Р₀(х₀,у₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р₀ и обозначается df(x₀,y₀):

 

 

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом 

 

1.6.  Геометрический смысл дифференциала.

 

На рисунке 3 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀, то есть çР₀Рç = f(x₀,y₀) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P₀ положительны). Координатами точек Q₀, S₀ и R₀ являются пары чисел соответственно (x₀,y₀+Dу); (x₀+Dx,y₀) и (x₀+Dx,y₀+Dу), причём çQ₀Qç = f(Q₀), çS₀Sç = f(S₀) и çR₀Rç = f(R₀). Приращение Df(х₀,у₀) функции в точке Р₀ равно çRR₂ç.

 

 

  рис .3

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ ,расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: 

Из легко  доказываемого равенства 

 

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке  Р₀ равен çR₂R₁ç.

А это означает, что  дифференциал функции изображается приращением аппликаты точки касательной плоскости, проведенной к поверхности в ее точке.

 

1.7  Экстремумы функции двух переменных

 

Определение 10. Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x₀,y₀) ( f(x,y)> f(x₀,y₀)). (Рис. 4 и Рис. 5).

Точки максимума  и минимума называются точками экстремум.

 

 

 

рис. 4 рис. 5

 

Сформулируем  необходимое условие экстремума.

Теорема 2. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется  необходимое условие, экстремума, может  и не быть.

Пример:

Обе частные  производные в точке (0,0)  обращаются в 0. Однако точка (0,0)  не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y)>0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y)<0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения  функции точкой экстремума, нужно  использовать достаточное условие  экстремума.

Теорема 3. Пусть z_x¢(x₀,y₀) = 0 и z_y¢(x₀,y₀) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Введем обозначения: A = z_xx¢¢(x₀,y₀); B = z_xy¢¢(x₀,y₀); C = z_yy¢¢(x₀,y₀); D = AC - B².

Тогда, если D < 0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x₀,y₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование  функции двух переменных на экстремум  сводится к следующему алгоритму:

1.     Найти первые частные производные: .

2.     Найти стационарные точки, т. е. точки, в которых

 

        и       

 

             3.     Найти вторые частные производные

 

4.     Вычислить значения вторых производных в стационарных точках

5.     Для каждой стационарной точки найти значение D, и сделать выводы на основании теоремы 3.

Пример 1.

Исследовать на экстремум:

 

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

 

 

 

Следовательно:

 

то есть найдены четыре стационарные точки.

2.

 

по теореме  в точке  – минимум.

 
Причём 

по теореме  в точке 

- максимум.  
Причём

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.  Связь между основными понятиями

2.1.  Непрерывность и ограниченность функции

Установим связь  между непрерывностью и ограниченностью  функции в точке. Имеет место  следующая теорема:

Теорема 4. Если функция непрерывна на замкнутом  ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Допустим, что существует функция f непрерывная на компактном множестве Е, но не являющаяся ограниченной на этом множестве. Тогда для любого n принадлежащего множеству N, существует последовательность точек P_n принадлежащих множеству Е, для которых выполняется условие: |f(P_n)|>n. Из последовательности (P_n) точек множества E выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке P₀ из множества Е. Но теперь имеем:

ввиду непрерывности f в точке P₀. Эти два предельных результата несовместимы, значит наше предположение о неограниченности функции f на множестве Е – не верно, что и доказывает данную теорему.

 

2.2  Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке

 

У функции одного аргумента из существования производной в какой-либо точке вытекает непрерывность в этой точке. В противоположность этому уже у функции двух переменных из существования обеих частных производных еще не вытекает непрерывности функции. Возьмем, например, функцию:

 

с дополнительным определением эта функция имеет всюду обе частные производные. Во всех точках, кроме начала координат, это вытекает из того факта, что в этих точках знаменатель не обращается в нуль, а в начале координат имеем:

 

Очевидно, что  эта функция имеет разрыв в начале координат. Говоря геометрически, существование частных производных ограничивает поведение функции лишь по направлениям оси x и оси y, но не налагает ограничений на ее поведение во всех прочих направлениях.

Итак, существование  у функции двух переменных обеих частных производных не позволяет делать вывод, что она непрерывна. Однако из существования в замкнутой области ограниченных частных производных вытекает непрерывность функции, как показывает следующая теорема:

Теорема 5. Если функция f(x,y) имеет всюду в области G частные производные f¢_x(х,у) и f¢_у(х,у), удовлетворяющие неравенствам:

,

где число M не зависит от x и y, то f(x,y) непрерывна в области G.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим две точки (х, у) и (х+h, y+k) лежащие в области G. Предположим еще, что оба прямолинейных, взаимно перпендикулярных отрезка, соединяющих эти точки с точкой (x+h, k), лежат целиком внутри области G. Это во всяком случае верно, если (х, у) есть внутренняя точка области G, а точка (х+h, у+k) достаточно к ней близка. Тогда:

Оба члена в  первой фигурной скобке правой части  отличаются только значением аргумента у, а члены, заключенные во вторую фигурную скобку — только значением аргумента х. Поэтому каждую из этих фигурных скобок можно преобразовать по теореме дифференциального исчисления о среднем значении, рассматривая первую из этих скобок как приращение функции одного только у, а вторую — как приращение функции одного только х.

 В итоге получим:

 

где O₁ и O₂ — два числа, лежащих между 0 и 1. Другими словами, производная по у берется в некоторой точке вертикального отрезка, соединяющего точки (x+h,y) и (x+h,y+k), а производная по x — в какой-то точке горизонтального отрезка от точки (х,у) до (x+h,y).