Непрерывность и дифференцируемость функции 2-х переменных

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

 

Кафедра математического

  анализа

Курсовая работа

«Непрерывность и дифференцируемость функций двух переменных»

 

 

 

 

                                                                                              Выполнил:

студент 3 курса, гр. МПрг-109

физико-математического факультета

очной формы обучения

Куканова В.М.

 

                                                                                             Научный руководитель:

к. физ.-мат. наук, доцент кафедры

математического анализа

Жукова А.А.

 

 

 

Владимир, 2011

Содержание

Введение……………………………………………………………….…………3

Глава 1. Дифференцируемость функций двух переменных…………..…4

1.1.   Понятие функции двух переменных ……………………………..4

1.2.    Предел функции в точке …………………………………………..5

1.3. Непрерывность функции двух переменных в точке.…………….6

1.4.    Частные производные ……………………………………………..8

1.5 Дифференцируемость функции двух переменных, дифференциал……………………………………………………………14

6. Геометрический смысл дифференциала ……………..……...…...15
7. Экстремумы функции двух переменных…………………………17

Глава 2. Связь между основными понятиями………………………….…21

2.1. Непрерывность и ограниченность функции………………….…21

2.2. Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке…………….………………………………………21

2.3. Непрерывность частных производных в точке и дифференцируемость функции в этой точке………………………..….24

2.4.  Непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке………………..………………………………………………..27

Заключение……………………………………………………………………….29

Список использованной литературы……………………………………..…….30

 

 

 

Введение

Предмет математики и основные периоды ее развития.

Математика  представляет собой один из самых  важных фундаментальных наук. Слово "математика" произошло от греческого слова "матема", что означает знания. Возникла математика на первых же этапах человеческого развития в связи с практической деятельностью людей. С самых древних времен люди, производя различные работы, встречались с необходимостью выделения и образования тех или иных совокупностей объектов, участков земли, жилищных потребностей объектов, жилищных помещений.

Во-первых, во всех этих случаях нужно было устанавливать  количественные оценки рассматриваемых  множеств, измерять их площади и  объемы, сравнивать, вычислять, преобразовывать. По определению, данному Ф.Энгельсом:

Математика – это наука изучает количественные отношения и пространственные формы реального мира.

 Основные  математические понятия, такие  как число, геометрическая фигура, функция, производная, интеграл, случайное событие и его вероятность  и т.д. За свою историю математика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельностью людей и общественной культуры, превратилась в стройную дедуктивную науку, представленную как мощный аппарат для изучения окружающего нас мира.

Академик А.Н. Калинов выделил четыре основных развития в истории математики.

Первый –  период зарождения математики, начало которого лежит и теряется в глубинах тысячелетий истории человечества и продолжается до VI – V веков до нашей эры. В этом периоде создается арифметика, а также зачатки геометрии. Математические сведения этого периода состоят в основном из свода правил решения различных практических задач.

Второй период – элементарной математики, т.е. математики, постоянных величин (VI – V вв. до н.э. – XVII в. н.э.). Уже в начале этого периода (около 300 лет до н.э.) Евклид создает теорию трех книг ("Начало Евклида" - первый из дошедших до нас больших теоретических исследований по математике), в которых, в частности изучается дедуктивным образом на базе система аксиомы вся элементарная геометрия. Изданной в IX веке сочинения ал-Хорезми "Кибат ал-Джарап ал-Мукабана" содержит общие приемы решения задач, сводящие к управлению первой и второй степени. В XV веке вместо громких выражений стали употреблять знаки + и -, знаки степеней, корней, скобки. В XVI веке Ф.Виет применяет буквы для обозначения данных и не известных величин. К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраическая символика, и этим были созданы основы формального математического языка.

Третий период – период создания математики переменных величин (XVII век – середина XIX века). Начиная с XVII века, в связи с изучением количественного отношения в процессе их изменения, на первый план выносили понятия переменной величины и функции. В этом периоде в работах Р.Декарта на базе мирового исследования метода системных координат создается аналитическая геометрия. В ра ботах И.Ньютона и Г.В.Лейбница завершает создание дифференциального интегрального исчисления.

Четвертый период – современные математики. Его начало следует относить к двадцатым годам XIX века – этот период начинается с работ Э.Гаусса, в которых заложены идеи теории алгебраических структур, В.И.Лобачевского, который открыл первую неевклидовую геометрию – геометрию Лобачевского.

В последствии дальнейшего распространения получил аксиоматический метод, в новую фазу вступили работы по обоснованию математики, математической логики и математическому моделированию. Создание в середине прошлого века ЭВМ привело не только более к глубокому и широкому применению математики в других областях знания, в технических науках, в вопросах организации и управления производством, но и зарождению развития новых областей теоретических и прикладных математических функций. Проникновения методов современной математики и ЭВМ в другие наук и практику применяет на столько всеобщий и глубокий характер, что одно из способностей нынешнего этапа развития человеческой культуры считается процесс математизации знаний и компьютеризации всех сфер трудовой деятельности и жизни людей.

В математическом анализе мы часто встречаемся  с понятиями, такими как непрерывность  и дифференцируемость функций. Данная курсовая работа раскрывает основные понятия функций двух переменных.

Курсовая работа состоит  из двух основных разделов.

В первом разделе раскрываются основные понятия функций двух переменных. Такие как предел функции, непрерывность функции, частные производные функции, дифференцируемость и дифференциал функции, экстремумы функции.

Во втором разделе показаны связи между основными понятиями функции двух переменных.  Как связаны между собой непрерывность и ограниченность функции двух переменных. Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке и т.д.

 

 

Глава 1. Дифференцируемость функций двух переменных

1.    Понятие функции двух переменных

Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂, ..., x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).

Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y - функцией от n переменных.

Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение.

Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y)ÎD ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Поскольку любую  пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f( ), причем аргументами функции являются координаты вектора  .

Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

 

1.2. Предел функции в точке

 

Пусть задана функция z=f(x,y), M(х,у)-текущая точка, M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f). (Рис. 1).

Определение 3. Число А называется пределом функции z=f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀), если для любой M_n не принадлежащей множеству D(f), M_n ≠ M₀, выполняется равенство:    

При этом пишут   

 
 или                       

 

 

 Определение 4. Если   , то функция называется бесконечно малой.

Определение 5. Если  , то функция называется бесконечно большой.

 

1.3.  Непрерывность функции двух переменных в точке

 

Определение 6. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция f называется непрерывной в точке M₀, если:

.

Переходя к  координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀ как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀), т. е.

Теперь учитывая определение предела функции  в точке, переформулируем определение  непрерывности.

Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M₀ÎD(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие:

.

Следовательно, функция является непрерывной в  точке, если:

1.     функция определена в этой точке;

2.     имеет предел в этой точке;

3.     предел равен значению функции в этой точке.

В противном  же случае функция терпит разрыв в  этой точке.

Пример 1.  Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция  определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y² непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной  всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 2.  Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

 

1.4.  Частные производные

 

Рассмотрим  функцию z=f(x,y), M₀(x₀,y₀) – рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х₀ приращение Dх: х₀+Dх, получим точку M₁(х₀+Dх,у₀), вычислим разность значений функции в точке M₀: D_хz = f(M₁)-f(M₀) = f(x₀+Dx,y₀) - f(x₀,y₀) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х₀. 

Определение 8. Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю, то есть частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) называется предел

 

 

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

; ; .

Частная производная  по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.