Начало формирования математики

Но время шло и  постепенно накопление научных сведений объективно вынуждало к тому, чтобы  их упорядочить, классифицировать. То же стремление к разделению, дифференциации знаний вырастало из практики школьного  обучения. Известно, что все дети свободных граждан рабовладельческих Афин и других полисов с семилетнего возраста учились в школах. Там их обучали как дисциплинам практического назначения, так и начаткам теоретического научного знания, в том числе основам теоретической арифметики и геометрии. Став взрослыми, они вследствие привилегированного положения в обществе передавали подневольным людям не только физический труд, но и решение практических задач, связанных с необходимостью счета и измерений. Такое разделение математических занятий, возникшее в силу социального неравноправия людей, ускоряло объективное течение исторического процесса дифференциации научных знаний и выделения слоя людей, занимающихся теоретическими проблемами математики. Этому же способствовало деятельность учебно-научных объединений натурфилософского направления (научных школ). Это были по преимуществу небольшие группы молодых людей, собиравшихся вокруг известных ученых; преподавание велось главным образом устно.

4.1 Древнегреческие школы

4.1.1Элейская школа

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями Элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида  заключается в следующем: всевозможные системы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие, небытия нет; 2) существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и небытие тождественны. Истинный Парменид признает только первую посылку. Согласно ему – бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С возражением выступил его ученик Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения.

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял за основу своей концепции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке, фундаментальные философские представления существенно опирались на математические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно  большого числа любых, хотя  бы и бесконечно малых, но  протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя  бы и бесконечно большого числа  непротяженных величин всегда  равна нулю и никогда не  может стать некоторой заранее  заданной протяженной величиной. 

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний. Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого, несомненно, истинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить наиболее важные методические вопросы.

 

4.1.2 Милетская школа

Милетская школа –  одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских представлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э.; основными деятелями ее являлись Фалес (около 624-547 гг. до н.э.), Анаксимандр (около. 610-546 гг. до н.э.) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н.э.). Рассмотрим на примере милетской школы основные отличия греческой науки от догреческой и проанализируем их. Если сопоставить исходные математические знания греков с достижениями египтян и вавилонян, то вряд ли можно сомневаться в том, что такие элементарные положения, как равенство углов у основания равнобедренного треугольника, открытие которого приписывают Фалесу Милетскому, не были известны древней математике. Тем не менее, греческая математика уже в исходном своем пункте имела качественное отличие от своих предшественников. Ее своеобразие заключается, прежде всего, в попытке систематически использовать идею доказательства. Фалес стремится доказать то, что эмпирически было получено и без должного обоснования использовалось в египетской и вавилонской математике. Возможно, в период наиболее интенсивного развития духовной жизни Вавилона и Египта, в период формирования основ их знаний, изложение тех или иных математических положений сопровождалось обоснованием в той или иной форме.

Однако, как пишет Ван  дер Варден, «во времена Фалеса египетская и вавилонская математика давно уже были мертвыми знаниями. Можно было показать Фалесу, как  надо вычислять, но уже неизвестен был  ход рассуждений, лежащих в основе этих правил». Греки вводят процесс обоснования как необходимый компонент математической действительности – доказательность, которая действительно рассматриваемого положения, уверенность в силе человеческого являлась отличительной чертой их математики. Техникой доказательства ранней греческой математики, как в геометрии, так и в арифметике, первоначально являлась простая попытка придания наглядности. Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметике было доказательство при помощи камешков, в геометрии - путем наложения. Но сам факт наличия доказательства говорит о том, что математические знания воспринимаются не догматически, а в процессе размышления. Это, в свою очередь, обнаруживает критический склад ума, уверенность (может быть, не всегда осознанную), что размышлением можно установить правильность или ложность Греки в течение одного – двух столетий сумели овладеть математическим наследием предшественников, накопленного в течении тысячелетий, что свидетельствует об интенсивности, динамизме их математического познания. Качественное отличие исследований Фалеса и его последователей от догреческой математики проявляется не столько в конкретном содержании исследованной зависимости, сколько в новом способе математического мышления. Исходный материал греки взяли у предшественников, но способ усвоения и использования этого материала был новый. Отличительными особенностями их математического познания являются рационализм, критицизм, динамизм. Эти же черты характерны и для философских исследований милетской школы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Индия и Арабы

Преемниками греков в  истории математики стали индийцы. Индийские математики не занимались доказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных  методов. Именно они впервые ввели  нуль и как кардинальное число, и  как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде. Махавира (850 н.э.) установил правила операций с нулем, полагая, однако, что деление числа на нуль оставляет число неизменным. Правильный ответ для случая деления числа на нуль был дан Бхаскарой (р. в 1114), ему же принадлежат правила действий над иррациональными числами. Индийцы ввели понятие отрицательных чисел (для обозначения долгов). Самое раннее их использование мы находим у Брахмагупты (ок. 630). Ариабхата (р. 476) пошел дальше Диофанта в использовании непрерывных дробей при решении неопределенных уравнений.

Наша современная система  счисления, основанная на позиционном  принципе записи чисел и нуля как  кардинального числа и использовании  обозначения пустого разряда, называется индо – арабской. На стене храма, построенного в Индии около 250 до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим очертаниям наши современные цифры.

Около 800 индийская математика достигла Багдада. Термин «алгебра»  происходит от начала названия книги Аль-джебр вал – мукабала (Восполнение и противопоставление), написанной в 830 астрономом и математиком аль-Хорезми. В своем сочинении он воздавал должное заслугам индийской математики. Алгебра аль-Хорезми была основана на трудах Брахмагупты, но в ней явственно различимы вавилонское и греческое влияния. Другой выдающийся арабский математик Ибн аль – Хайсам (около 965–1039) разработал способ получения алгебраических решений квадратных и кубических уравнений. Арабские математики, в их числе и Омар Хайям, умели решать некоторые кубические уравнения с помощью геометрических методов, используя конические сечения. Арабские астрономы ввели в тригонометрию понятие тангенса и котангенса. Насирэддин Туси (1201–1274) в Трактате о полном четырехугольнике систематически изложил плоскую и сферическую геометрии и первым рассмотрел тригонометрию отдельно от астрономии.

 

 

 

6 Средние Века и Возрождение

Средневековая Европа. Римская  цивилизация не оставила заметного  следа в математике, поскольку  была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (около 400–1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.

Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой  период освоения сохраненного арабами  и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.

Первым заслуживающим  упоминания европейским математиком  стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В  своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо – арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.

Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404–1472) ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг (1593–1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 Древняя Русь

Многие и по сию  пору уверены, что в допетровскую эпоху на Руси вообще ничему не учили. Более того, само образование тогда  якобы преследовала церковь, требовавшая  только, чтобы ученики кое-как  твердили наизусть молитвы и понемногу разбирали печатные богослужебные книги. Да и учили, мол, лишь детей поповских, готовя их к принятию сана. Те же из знати, кто верил в истину «учение - свет...», поручали образование своих отпрысков выписанным из-за границы иностранцам. Остальные же обретались «во тьме незнания».

Все это опровергает  Мордовцев. В своих исследованиях  он опирался на любопытный исторический источник, попавший к нему в руки, - «Азбуковник». В предисловии к монографии, посвященной этой рукописи, автор написал следующее: «В настоящее время я имею возможность пользоваться драгоценнейшими памятниками 17 – го века, которые еще нигде не были напечатаны, не упомянуты и которые могут послужить к объяснению интересных сторон древней русской педагогики. Материалы эти заключаются в пространной рукописи, носящей название «Азбуковника» и вмещающей в себя несколько разных учебников того времени, сочиненных каким-то «первопроходцем», отчасти списанных с других, таких же, изданий, которые озаглавлены, были тем же именем, хотя и различались содержанием и имели различный счет листов».

Исследовав рукопись, Мордовцев делает первый и важнейший  вывод: в Древней Руси училища  как таковые существовали. Впрочем, подтверждает это и более древний документ - книга «Стоглав» (собрание постановлений Стоглавого Собора, проходившего с участием Ивана IV и представителей Боярской думы в 1550 – 1551 годах). В ней содержатся разделы, говорящие об образовании. В них, в частности, определено, что училища разрешено содержать лицам духовного звания, если соискатель получит на то разрешение у церковного начальства. Перед тем, как выдать ему таковое, надлежало провести испытания основательности собственных познаний претендента, а от надежных поручителей собрать возможные сведения о его поведении.

Но как были устроены училища, как управлялись, кто в них обучался? На эти вопросы «Стоглав» ответов не давал. И вот в руки историка попадает несколько рукописных «Азбуковников» - книг весьма любопытных. Несмотря на свое название, это, по сути, не учебники (в них нет ни азбуки, ни прописей, ни обучения счету), а скорее руководство для учителя и подробнейшие наставления ученикам. В нем прописан полный распорядок дня школяра, кстати, касающийся не только школы, но и поведения детей за ее пределами.

Из «Азбуковника» мы узнаем очень важный факт: образование в описываемые времена не было на Руси сословной привилегией. В рукописи, от лица «Мудрости», содержится призыв к родителям разных сословий отдавать отроков для обучения «прехитрой словесности»: «Сего ради присно глаголю и глаголя не престану людям благочестивым во слышание, всякого чина же и сана, славным и худородным, богатым и убогим, даже и до последних земледельцев». Ограничением к обучению служили лишь нежелание родителей либо уж совершеннейшая их бедность, не позволявшая хоть чем-нибудь оплатить учителю за обучение чада.

Но последуем за учеником, вошедшим в училище и уже положившим свою шапку на «общую грядку», то есть на полку, поклонившимся и образам, и учителю, и всей ученической «дружине». Школяру, пришедшему в школу ранним утром, предстояло провести в ней целый день, до звона к вечерней службе, который был сигналом и к окончанию занятий.