Начало формирования математики

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

1 Начало формирования  математики………………………………………..4

2 Древний Египет……………………………………………………………..6

   2.1 Задачи математических папирусов……………………………………8

3 Вавилон…………………………………………………………………….11

4 Древняя Греция……………………………………………………………14

   4.1 Древнегреческие школы ……………………………………………...19

      4.1.1Элейская школа…………………………………………………….19

      4.1.2 Милетская школа…………………………………………………..20

5 Индия и Арабы……………………………………………………………..22

6 Средние Века и  Возрождение……………………………………………..23

7 Древняя Русь………………………………………………………………..25

Вывод ………………………………………………………………………....33

Список используемых источников………………………………………… 34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Вопросы о том, как  складывались первичные математические представления, какой вид они  принимали, как проходили первые этапы их совершенствования, никогда не теряли своей актуальности и не потеряют ее в будущем. В том, чтобы правильно освещать эти вопросы, заинтересованы весьма широкие слои человеческого общества: и те, кто начинает свое математическое образование; и те, кто учит детей математике, так как это способствует отысканию и использованию наиболее эффективных методических приемов.

Своеобразие проблемы состоит  в том, что поиски действительного  начала математических знаний человечества уводят нас в седую, еще дописьменную древность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Начало формирования математики

Начнем с описания того, как складывалось понятие о  числе (на первых порах натуральном, т.е. целом положительном). Очевидным  представляется высказывание, что это понятие возникло и сформировалось в результате многократно применяемой (в силу практической необходимости) операции счета, перечисления предметов. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, естественность, свою «изначальность», операции счета не является на самом деле первичной, простейшей. Она возникает и применяется на уже сравнительно высоком уровне развития математических элементов мышления. Ей предшествовало, как выясняется, несколько ступеней усовершенствования логических суждений.

История человечества со всей очевидностью показывает, что даже самые. Казалось бы, изначальные понятия людей не являются врожденными (и уж тем более не посланы «свыше»). Они суть отражения свойств и отношений реальных предметов объективно существующего мира. Приобретены они в ходе активной деятельности людей. Именно благодаря труду и сопровождающей его членораздельной речи, мозг и органы чувств человека достигли значительного совершенства. В результате после длительной эволюции, мозг человека выработал способности создавать абстракции, необходимые для счета и измерения.

По мере перехода людей  на более высокий уровень интеллектуального  развития чувствительный счет оказался недостаточным. Появляется необходимость  сравнивать множества, например, поэлементно  сопоставляя их численность. Появляется она преимущественно в процессе общения людей. Так начинают появляться записи, где фигурируют символические обозначения чисел и действия над ними.

Прежде всего, заслуживает  внимание то, что в ряде ранних источников содержатся высказывания, говорящие о преемственности математических и вообще научных знаний. Так, в них упоминается о поездках купцов и образованных граждан древнегреческих полисов в другие страны. Чаще речь идет о Египте и иных странах Ближнего Востока, о развитии в них науки и о технических достижениях. Практический характер математики и успехи ее в этих странах были оценены высоко и восприняты полностью.

Далее мы рассмотрим, как  проходило развитие математики в  различных цивилизациях и почему возрастала потребность передачи знаний из поколения в поколение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Древний Египет

Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес  тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей  и количество камней, требуемое для  возведения тех или иных сооружений. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – около 3500 до н.э. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна.

Но главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне.

Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло, так называемое, иератическое письмо – скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались в виде суммы дробей с числителем, равным единице. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой.

Геометрия, у египтян, сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной.

Задачи и решения, приведенные  в папирусах, сформулированы чисто  рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида. Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

Хотя майя, жившие в  Центральной Америке, не оказали  влияния на развитие математики, их достижения, относящиеся примерно к 4 в., заслуживают внимания. Майя, по – видимому, первыми использовали специальный символ для обозначения нуля в своей двадцатеричной системе. У них были две системы счисления: в одной применялись иероглифы, а в другой, более распространенной, точка обозначала единицу, горизонтальная черта – число 5, а символ обозначал нуль. Позиционные обозначения начинались с числа 20, а числа записывались по вертикали сверху вниз.

В те времена бумаги еще  нигде не было. В Месопотамии писали, например, на табличках из сырой  глины, которые потом обжигали. В некоторых странах писали на пергаменте. Египтяне же изобрели дешевый и удобный писчий материал, по своим качествам очень близкий к бумаге – листы из папируса, которые можно было склеивать в свитки любой длины. Ученые долгие годы пытались разгадать секрет древних мастеров. Он должен был быть простым, так как папируса требовалось много.

Источниками для изучения древнеегипетских математических знаний являются два папируса – папирус Ринд, (Лондон, Британский музей) и Московский математический папирус (Москва, ГМИИ им. А.С.Пушкина). Оба - копии более ранних текстов: папирус Ринда был переписан в XVIII династию с оригинала эпохи Среднего царства; Московский папирус, датируемый временем правления фараонов XII династии, отражает еще более ранний документ. Эти памятники трудно назвать научными трактатами в нашем понимании данного определения, ибо они не содержат свойственного современным работам осмысления теоретических проблем, таких как анализ или доказательство правильности того или иного решения. Напротив, в них даны условия разнообразных практических задач – измерения площади поля, вместимости амбара, раздел имущества и т.д. (в папирусе Ринда их 80, в Московском - 25). 

Математические папирусы показывают высочайшие достижения Древнего Египта в области математического знания. Однако они не дают представления о степени осмысления этого знания самими египтянами – интересовало ли их теоретическое развитие математики или же они заботились только о ее практическом применении? Кроме того, нет неоспоримых доказательств, что пропорции архитектурных сооружений, таких как пирамиды, не были результатом богатого опыта и чутья строителей, а заранее просчитывались. Но одно, несомненно: за тысячу лет до Архимеда и Пифагора египтяне открыли и успешно применяли на практике законы, вошедшие в сокровищницу античной, а затем и мировой математической мысли.

 

2.1 Задачи математических папирусов

Среди задач математических папирусов можно выделить чисто  алгебраические, показывающие, что  египтяне могли решать линейные уравнения  с одной неизвестной х, называемой «куча» (типа ax + bx+...+cx =d), а также возводить в степень и извлекать корень.

Папирус Ринда содержит задачи на вычисление геометрической и арифметической прогрессии: «Тебе сказано разделить 10 "хекат" ячменя между 10 людьми так, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла 1/8 «хекат» ячменя. Средняя доля есть 1 «хекат». Возьми 1 из 10, остаток есть 9. Составь половину разницы - это есть 1/16 «хекат». Приложи ее к средней доле. Теперь ты должен высчитать для каждого лица по 1/8 «хекат», пока не достигнешь конца».

Египтяне также решали и геометрические задачи – вычисляли площадь треугольника, прямоугольника, круга и даже поверхности шара. Они рассчитали число ∏ - отношение длины окружности к диаметру - с точностью до 0,6% (3,16 вместо 3,14).

Математические папирусы являются свидетельством знакомства египтян  со стереометрией. Описаны способы  вычисления объема цилиндра, призмы и пирамиды: «Если тебе называют усеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 – в нижней стороне, 2 – в верхней, вычисляй с четырех. Возводя их в квадрат, получаешь 16. Удвой 4, получишь 8. Сложи 16 с этими 8 и с этими 4. Получается 28. Вычисли 1/3 от 6. Получается 2. Вычисли 28 2 раза. Получается 56. Смотри! Он есть 56. Ты нашел правильно» (Московский папирус).

Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного  характера. При решении этих задач  производятся действия с дробями, вычисляются  площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объёмы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

В московском папирусе собраны  решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объём усечённой пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т.е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

При изучении содержания математических папирусов обнаруживается следующий уровень математических знаний древних египтян.

Ко времени написания  этих документов уже сложилась определённая система счисления: десятичная иероглифическая. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы.

Сложились также определённые приёмы производства математических операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является её аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению.

При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных  произведений.

При делении также  используется процедура удвоения и  последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблюдается самое большое разнообразие приёмов. Так, иногда в качестве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т.п.

При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение их на вспомогательные числа. Способы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приёме как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции во многом ещё спорны и не подтверждены достаточным количеством фактов.

Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать , что за 20 веков до нашей эры  в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы ещё только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений ещё примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы судить о развитии математики в Египте, ещё недостаточно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Вавилон

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые  датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии.