Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 3. Довести нерівність + + > 6, де  , ,  , .

Доведення. Розглянемо різницю + + – 6.Зведемо дроби до спільного знаменника, отримаємо . Розкриємо дужки у чисельнику , розкладемо і запишемо , з першого доданка винесемо за дужки , з другого – , з третього – с, отримаємо  . Отримаємо в дужках квадрати різниць . Оскільки за умовою  , ,  , , то >0. Отже, + + > 6, де  , ,  , . Нерівність доведена.

Приклад 4. Довести нерівність , де .

Доведення. Визначимо знак різниці .

.

 Винесши спільний множник  за дужки і звівши подібні доданки, отримаємо

 . Винесши з других дужок спільний множник , отримаємо в дужках квадрат різниці

 .

 Якщо , то . Рівність досягається лише, якщо . Різниця невід’ємна, отже нерівність доведена.

Довести самостійно:

1. ;
2. , якщо   ;
3. якщо х та у – додатні дійсні числа.

Метод доведення від супротивного.

Спочатку доцільно разом з учнями повторити правило–орієнтир даного методу. Можливий такий варіант: 1) припустити супротивне тому, що потрібно довести; 2) використовуючи припущення, відомі аксіоми і доведені раніше твердження за допомогою міркувань дійти висновку, який суперечить умові твердження, що доводиться; 3) зробити висновок, що припущення неправильне, а правильне те, що потрібно довести.

Неможливість і єдиність чого–небудь у математиці завжди доводять методом від супротивного. Інколи цим методом доводять обернені твердження.

Проілюструємо застосування даного методу на практиці.

Приклад 5. Довести, що при всіх дійсних значеннях і .

Доведення. Припустимо, що це не так, тобто

 . Можемо записати

 .

Але сума невід’ємних доданків більша або рівна нулю. Отже, наше припущення було хибним.

. Нерівність доведена.

Приклад 6. Довести, що при всіх дійсних значеннях числа .

Доведення. Припустимо супротивне, тобто .

Виконаємо деякі тотожні перетворення, а саме

 .

. Останню нерівність  можна записати . Ми одержали хибне твердження, оскільки сума додатних доданків не може бути від’ємною. Наше припущення було невірним.

 Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 7. Довести нерівність для довільних значень змінних.

Доведення. Припустимо, що нерівність, яку треба довести, неправильна. Тоді знайдуться числа такі, за яких справджується нерівність:

, звідси

;

;

.

Одержана нерівність неправильна, тобто наше припущення неправильне. Отже, при будь-яких значеннях змінних виконується нерівність , що й треба було довести.

 

Довести самостійно:

1. , якщо a 0, b 0, c 0;
2. , якщо a 0, b 0, c 0,d 0.

Метод математичної індукції.

Цей метод застосовується при доведенні нерівностей, що містять усю множину натуральних чисел.

Перш, ніж приступити до доведення нерівностей методом математичної індукції, слід пригадати принцип математичної індукції, який є основою даного методу. А саме, твердження буде справедливим для будь–якого натурального , якщо:

1. Воно справедливе для  .
2. Із справедливості твердження для будь–якого довільного натурального числа випливає його справедливість і для числа на 1 більшого, тобто для числа .

Потрібно звернути увагу учнів на те, що доводячи твердження для числа  , треба обов’язково використовувати ту залежність, яка за припущенням вірна для числа . Бо часто діти намагаються виконати потрібні перетворення без цієї залежності і лише марнують час.

Розглянемо на прикладах застосування методу математичної індукції до доведення нерівностей.

 Приклад 8. Довести, що при довільному справедлива нерівність .

Доведення. Спочатку зазначимо, що нерівність вірна при ,

,  .

Припускаємо, що нерівність вірна для , . Доведемо, що вона вірна для , тобто

. Піднесемо ліву частину нерівності до квадрату, а в правій частині розкриємо дужки. Тоді, отримаємо

.

Тоді .

Отже, для . Нерівність доведена.

Приклад 9. Довести нерівність .

Доведення. Нехай . Доведемо, що , при

Переконаємось, що нерівність виконується при ,

При задана нерівність правильна, оскільки .

Припустимо, що нерівність виконується при , тобто .

Доведемо, що нерівність правильна при , тобто .

Маємо .

Отже, за принципом математичної індукції, дона нерівність правильна для довільного натурального . Нерівність доведена.

Довести самостійно:

1. ;
2. , для будь–якого натурального ;
3. .

 Метод зведення до очевидної нерівності.

Доцільно пояснити учням в чому полягає даний прийом: задану нерівність отримують у результаті перетворення очевидної нерівності чи додавання або множення кількох очевидних нерівностей.

Також нерідко раніше доведена нерівність може бути використана для доведення іншої, більш складної нерівності. Але це може викликати трудність, адже іноді важко учням здогадатися, з якої саме нерівності потрібно починати, тому вчитель повинен наштовхнути їх на відшукання очевидної нерівності.

Розглянемо на прикладах застосування методу.

Приклад 10. Довести нерівність , при .

Доведення. Врахуємо, що . Тоді маємо

,

,

.

Додавши нерівності, дістанемо

.

Розкривши дужки та згрупувавши доданки, отримаємо

,

.

Винесемо спільні множники , , , в результаті отримаємо

.

Згідно з нерівністю Коші можемо записати, що

.

Тепер матимемо ,

звідки ,

тобто .

Нерівність доведена.

Приклад 11. Довести нерівність , де ,

Доведення. Розглянемо очевидні нерівності > і >.

Додамо їх почленно:

+ > ;

2 >.

Обидві частини додатні, то піднесемо їх до –го степеня. Маємо:

.

Отже, , , . Нерівність доведена.

Довести самостійно:

1. , якщо ;
2. , .

Метод використання класичних нерівностей.

Спочатку варто записати класичні нерівності та сформулювати словами дані твердження. Важливо розглянути теореми та наслідки з них, які виражають зв'язок між середнім квадратичним, середнім  арифметичним, середнім  геометричним та середнім гармонічним, а також проілюструвати застосування теорем на прикладах.

Теорема 1: При будь–яких значеннях виконується нерівність .

Теорема 2 (нерівність Коші для двох чисел): При будь–яких значеннях виконується нерівність .

Теорема 3: Якщо , то

Приклад 12. Доведіть нерівність .

Доведення. Застосуємо до кожного з множників лівої частини нерівності нерівність Коші:

;

;

.

Перемножимо три останні нерівності, і отримаємо

 , що й треба було довести. Рівність досягається при .

Приклад 13. Доведіть нерівність , .

Доведення. Розкриємо дужки у лівій частині нерівності, і отримаємо

 ,

а тепер згрупуємо і винесемо спільний множник за дужки

 .

Отже, тепер нам треба довести, що .

Застосуємо до кожного з множників лівої частини нерівності нерівність Коші:

;

.

Перемножимо дві останні нерівності, і отримаємо:

, що й треба  було довести.

Приклад 14. Довести нерівність , де .

Доведення. Згідно з нерівністю Бернуллі .

Приймаючи в цій нерівності маємо

, . Додамо всі ці нерівності

, що й треба було довести.

Довести самостійно:

1. ;
2. .

2.2 Методика навчання  учнів доведення нерівностей на факультативних заняттях

На заняттях факультативу головну увагу необхідно звертати на питання, вивчення яких поглиблює знання, набуті учнями на уроках, і сприяє оволодінню методами розв’язування конкретних видів задач, рівнянь тощо.

Розвиваючи тему «Доведення нерівностей» на факультативах, вчитель, враховуючи інтереси й нахили учнів, сприяє розвитку інтелектуальних здібностей дітей, їх аналітичних якостей та розвитку інтуїції; поглиблює вивчення програмового матеріалу, ознайомлює школярів з деякими загальними математичними ідеями, підвищує роль самостійної роботи учнів.

Факультатив – це допомога вчителю якісно підготувати учнів до олімпіад.

Проілюструємо доведення нерівностей, які можна використати на факультативних заняттях.

Приклад 1. Довести нерівність для обернених величин

.                                                                                               (1)

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність , далі одержимо:

.                                                           (2)

Нерівність (1) не має смислу при .

Поділимо обидві частини нерівності (2) на , одержимо , що й треба було довести. Рівність досягається лише при , тобто лише при . При , а при .

Приклад 2. Довести нерівність трьох квадратів

.

Доведення. Додамо три очевидні нерівності

.

У результаті одержимо нерівність , а потім поділивши на 2, отримаємо, , що й треба було довести. Рівність досягається лише при .

Варто наголосити учням, що нерівність трьох квадратів і нерівність для взаємно обернених величин є опорними під час розв’язування різних задач і, зокрема, під час доведення нерівностей.

Приклад 3. Довести нерівність   для будь–яких дійсних і

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність: Для того,щоб нею скористатися виділимо повні квадрати в лівій частині нерівності:

Рівність досягається за умови: звідки , .

Отже, нерівність доведена.

Приклад 4. Довести, що якщо і , то

 .

Доведення. Перший спосіб. Розглянемо нерівність

 , або . Оскільки , то з останньої нерівності випливає, що

   .

Так само, виходячи з нерівності , отримаємо:   .

З та робимо висновок, що .

Другий спосіб. Перемноживши почленно дані нерівності, отримаємо:

.

Тоді маємо:

 ,

звідки

.

Оскільки , то , тобто .

Приклад 5. Довести, що при і   нерівність є правильною.

Аналіз доведення: За означенням нерівності розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності . Нам потрібно довести, що ця різниця додатна. Для цього проаналізуємо умову.

Оскільки і , то і Виникає запитання: як використати ці дані під час доведення нерівності ?

Вчитель пропонує учням два способи доведення зазначеної нерівності.

Доведення. Перший спосіб. За означенням нерівності розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності . Нам потрібно довести, що ця різниця додатна. Для цього проаналізуємо умову.

Розкладемо даний вираз на множники, отримаємо:

Оскільки і то добуток . Остання нерівність рівносильна нерівності . Нерівність доведена.

Другий спосіб. Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число , дістанемо або , . Що й треба було довести.

Варто звернути увагу учнів, другий спосіб доведення називається синтетичним, оскільки з очевидної нерівності ми отримали нерівність, яку треба було довести.

Приклад 6. Довести, що .

Доведення. Перший спосіб. Розкриємо дужки і погрупуємо:

.

Використовуючи нерівність , маємо: