Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

Зміст

Вступ……………………………………………………………………..………..3

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження………………………………...…….5

1. Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів…………………………………………………………………..……5
2. . Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників……6
3. . Теоретичні відомості про нерівності…………………………………….....7
1. Числові нерівності……………………………………………………..….10

1.3.2. Нерівності, що містять змінну………………………………………..….10

4. . Основні методи доведення нерівностей……………………………..……12

1.4.1. Доведення нерівностей за допомогою означення………………..……..12

1.4.2. Доведення методом від супротивного…………………………………...13

1.4.3. Метод математичної індукції…………………………………………….14

1.4.4. Метод зведення до очевидної нерівності………………………………..15

1.4.5. Метод використання класичної нерівності…………………………...…16

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях………………………………………………………………………..…19

2.1. Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи…………………………………………………………………..19

2.2. Методика навчання учнів доведення нерівностей на факультативних заняттях……………………………………………………………………..……28

Висновки…………………………………………………………………………33

Список використаної літератури…………………………………………….….34

 

Вступ

Задачі на доведення нерівностей, як правило, є необхідним елементом кожної математичної олімпіади. Довести – це означає показати, що ця нерівність виводиться з відомих або очевидних тверджень. При цьому часто використовуються різні допоміжні співвідношення.

У курсі алгебри 9–го класу на доведення числових нерівностей відводиться мало часу. Розв’язування задач, що пропонуються в підручнику з алгебри, зводиться до оцінювання різниці лівої та правої частин нерівності, яка після перетворень є або повним квадратом, або числом. У процесі розв’язування значної кількості таких задач в учнів формуються міцні вміння та навички, але й виникає переконання, що доводити нерівності можна лише в такий спосіб. Якщо вчитель обмежиться розглядом лише таких задач, то учні не навчаться доводити нерівності іншими способами. Тому доцільним є розглянути на уроках, додаткових або факультативних заняттях й інші методи доведення нерівностей.

Тема курсової роботи є актуальною, так як містить теоретичні і практичні рекомендації щодо застосування різних методів доведення нерівностей як в курсі основної школи, так і під час роботи з обдарованими учнями з метою якісної підготовки їх до участі в олімпіадах різного рівня.

Об’єкт дослідження курсової роботи – курс алгебри основної школи.

Предметом дослідження є нерівності та методи їх доведення.

Метою даної курсової роботи є – на основі опрацьованої наукової та навчально–методичної літератури систематизувати теоретичні відомості про нерівності та методи їх доведення, створити систему задач на доведення нерівностей, призначену для опрацювання на уроках алгебри основної школи та на факультативних заняттях, розробити методику навчання учнів доводити нерівності з даної системи.

Завдання курсової роботи:

1. Дослідити стан проблеми в науковій, навчально-методичній літературі;
2. З’ясувати теоретичні основи дослідження (загальні відомості про нерівності, суть методів доведення нерівностей);
3. Підібрати систему задач на доведення нерівностей для курсу алгебри основної школи та факультативного курсу математики основної школи;
4. Розробити методику навчання учнів доведення нерівностей.

Курсова робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури, що містить 20 найменувань.

У вступі обґрунтовується актуальність обраної теми, описана структура курсової роботи.

Перший розділ курсової роботи присвячений загальним відомостям про нерівності (1.3.) та деяким методам їх доведення (1.4.), з якими необхідно познайомити учнів. У другому розділі наведено методику навчання учнів доведення нерівностей різними методами (2.1., 2.2.).

У висновку підведено підсумок про виконану роботу.

 

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1. Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів

За чинною програмою з математики [16] тему «Нерівності» вивчають у 9 класі. Орієнтовано на її вивчення відводиться 16 годин.

К-ть год

Зміст навчального матеріалу

16

Тема 1. Нерівності   Числові нерівності. Основні властивості числових  нерівностей.   Почленне додавання  і множення нерівностей.   Застосування властивостей  числових нерівностей для оцінювання значення виразу.   Нерівності зі змінними. Лінійні нерівності з однією  змінною. Розв’язок нерівності.   Числові проміжки. Об’єднання  та переріз числових проміжків.   Розв’язування лінійних  нерівностей з однією змінною. Рівносильні нерівності.   Системи лінійних  нерівностей з однієї змінною, їх розв’язування.

Учні повинні:

• наводити приклади нерівностей; нерівностей зі змінними; лінійних нерівностей з однією змінною, подвійних нерівностей;
• формулювати означення розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; рівносильних нерівностей; властивості числових нерівностей;
• розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною; системи двох лінійних нерівностей з однією змінною. [16]

Навчання учнів доведенню нерівностей програмою з математики для загальноосвітніх навчальних закладів не передбачено.

У класах з поглибленим вивченням тему «Нерівності» починають вивчати у 8 класі. Окремою темою курсу алгебри 9 класу є тема «Доведення нерівностей». Орієнтовано на її вивчення відводиться 15 годин. [17]

К-ть год	Зміст навчального матеріалу
15	Тема 2. Доведення нерівностей   Основні методи доведення нерівностей.   Нерівність Коші для  двох чисел та її застосування. Нерівність між середніми величинами двох додатних чисел (середнє гармонічне, середнє арифметичне, середнє геометричне, середнє квадратичне).   [Нерівність Коші-Буняковського].   Метод використання  відомих нерівностей.

Учні повинні:

• описувати методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності;
• доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел;
• розв’язувати вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.
1. Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників

Розглянемо вивчення нерівностей в курсі середньої школи за підручниками алгебри Бевз Г. П. [2], Кравчук В. Р. [10] та Мерзляк В. Г. [13]  для 9 класів.

У підручнику Бевза Г. П. та інші «Алгебра, 9 клас» [2] для теми доведення нерівностей виділений окремий параграф. Наведено метод доведення нерівностей на основі означення поняття більше і менше. Також розглядається залежність між середнім арифметичним і геометричним двох чисел, її застосування до доведення нерівностей.

Параграф 1 підручника Кравчука В. Р. «Алгебра, 9 клас» [10] присвячений вивченню нерівностей.  У цьому параграфі розглядаються числові нерівності, доведення нерівностей, властивості числових нерівностей, нерівності зі змінною та системи нерівностей зі змінними, розв’язування нерівностей та їх систем.

Але в обох підручниках дуже мало вправ, в яких необхідно довести нерівності.

Тема «Доведення нерівностей» є окремим розділом у підручнику Мерзляка В. Г. «Алгебра, 9 клас» [13] для класів з поглибленим вивченням математики, в якому розглядаються основні методи доведення нерівностей, нерівності між середніми величинами, нерівність  Коші—Буняковського, ефективні прийоми доведення нерівностей, а також ціла низка вправ на кожний підрозділ.

У статті Бевза Г. П. «Нерівності» [3] розглядається означення нерівності, види нерівностей та методи їх розв’язування. Окремою частиною теми є доведення нерівностей. Розглядаються найпростіші і найважливіші нерівності, такі як нерівності між середнім геометричним, середнім арифметичним і середнім  квадратичним. Також доступно розписано про класичні нерівності.

У статті Марченко Л. «Основні методи доведення нерівностей» [12] розглядається урок з теми «Доведення нерівностей», на якому діти повинні знати основні методи доведення нерівностей та вміти доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел, а також розв’язувати вправи, в яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

1.3. Теоретичні відомості про нерівності

Якщо число менше або більше від числа b, то записують відповідно < b або > b. Наприклад, 3 < 5, –7 > –13.

Зміст співвідношень «більше» і «менше» можна розкрити таким означенням.

Означення 1: Число більше від b, якщо різниця – b) — число додатне; число менше від b, якщо різниця – b)  — число від’ємне. [2]

Оскільки різниця – b) може бути додатною, від’ємною або дорівнювати нулю, то для довільних дійсних чисел і b  виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: > b, < b або = b.

Користуючись сформульованим вище означенням, можна порівнювати числа, тобто встановлювати, яке з них більше, а яке — менше.

Крім знаків < (менше) і > (більше) часто використовують також знаки: ≤ — менше або дорівнює (не більше), ≥ — більше або дорівнює (не менше).

Запис ≤ b означає, що < b або = b. Запис ≥ b означає, що > b або  = b.

Знаки < і > називають знаками строгої нерівності. Вони протилежні один одному: якщо < b, то b > , і навпаки. Знаки ≤ і ≥ також протилежні один одному, їх називають знаками нестрогої нерівності. Будь–який із знаків <, >, ≤ і ≥ називають знаком нерівності.

Означення 2: Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють

нерівність. [2]

Основні властивості нерівностей:

1. Якщо , то це означає, що .
2. Якщо , то і навпаки, якщо a, то b.

Доведення. Нехай . За означенням це означає, що додатне число. Якщо ми перед ним поставимо знак мінус, то буде від’ємним, тобто  ,  , а це означає, що . Доведено.

3. Якщо і , то .

Доведення. Нехай і . Це означає, що числа і додатні. Сума двох додатних чисел є число додатне, або . А це означає, що . Доведено.

4. Якщо до обох частин числової нерівності додати або відняти від обох частин одне й те саме число, то нерівність не зміниться.

Доведення. Нехай . Це означає, що . Але . Тому , а це означає, що . Аналогічно доводиться, що . Доведено.

Наслідок:  Будь–який доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний.

5. Нехай . Якщо , то . Якщо ж , то .
6. Якщо і , то , тобто при почленному додаванні двох нерівностей однакового смислу дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. З нерівності випливає нерівність , а з нерівності - нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, дістанемо . Доведено.

6.* Властивість 6 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

7. Якщо і , то .

Доведення. Оскільки , то , отже , тобто  . Доведено.

8. Якщо – додатні числа і , то , тобто при по членному множенні двох нерівностей однакового смислу з додатними членами, дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. Оскільки , то , а з нерівності випливає нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, маємо . Доведено.

8.* Властивість 8 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

9. Якщо , то при будь-якому натуральному , , тобто нерівність з додатними членами не порушиться, якщо обидві її частини піднести до степеня з одним і тим самим натуральним показником.

Доведення. Доведемо за допомогою методу математичної індукції. При , твердження вірне за умовою. Припустимо, що воно справедливе при . Доведемо, що нерівність справедлива при , нерівність  помножимо почленно на нерівність , дістанемо , тобто твердження справедливе при . Отже, . Доведено.