Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

10. Якщо числа та одного знака і , то .

Доведення. Нехай і – числа однакового знака, тому . Оскільки також і , то . Отже, , а це означає, що або . Доведено.

11. Якщо – додатні числа і , то .

Доведення. З нерівності випливає, що . Перемноживши почленно нерівності і , дістанемо нерівность . Доведено.

12. Якщо , то при будь-якому натуральному справджуватиметься нерівність .

Доведення. Припустимо, що справджується нерівність . Тоді за властивістю 9, справджується нерівність , що суперечить умові. Отже,  якщо . Доведено. [15]

1.3.1. Числові нерівності

Означення 3: Якщо обидві частини нерівності — числові вирази, її називають числовою нерівністю. [2]

Такі нерівності бувають правильні або неправильні. Наприклад, з нерівностей 2 < 3, ≥1, –3 < –5 дві перші правильні, а третя — неправильна, бо число –3 більше від –5. [2]

2. Нерівності, що містять змінну

Поряд з числовими нерівностями в математиці часто доводиться зустрічатися з такими нерівностями, окремі частини яких, виражені буквами, можуть набувати різних числових значень. Наприклад, , .

Означення 4: Допустимими значеннями букв, які входять у нерівність, називаються такі значення цих букв, при яких обидві частини нерівності мають смисл. [8]

Існують нерівності, які задовольняють одні допустимі значення, а інші не задовольняють. Наприклад, . Ця нерівність визначена для всіх невід’ємних значень . Проте не кожне із зазначених чисел задовольняє цю нерівність. При , . Оскільки , то задовольняє нерівність . А число її не задовольняє, .

Означення 4: Дві нерівності, які мають однакові знаки (обидві знак або обидві знак ), називаються нерівностями однакового смислу. Наприклад, і однакового смислу. [8]

Означення 5: Якщо одна з нерівностей має знак , а друга знак , то такі нерівності називаються нерівностями протилежного смислу. [8]

Означення 6: Дві нерівності на певній множині називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються. [8]

Означення 7: Рівносильними є також ті нерівності, у кожної з яких множина розв’язків порожня. [8]

Заміну нерівності рівносильними їй нерівностями виконують на основі таких властивостей:

1. Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини нерівності, що не змінюють допустимі значення змінної, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо з однієї частини нерівності в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те ж додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

4. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на на одне й те ж від’ємне число і при цьому змінити знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. [10]

1.4. Основні методи доведення нерівностей

Очевидно, що нерівності виконуються  при всіх значеннях змінних , які до них входять.

Нерівність також виконується при будь–яких значеннях змінних та , хоча цей факт не настільки очевидний. У його справедливості слід переконатися.

У  таких випадках говорять, що потрібно  довести нерівність , тобто довести, що дана нерівність із змінними правильна при всіх вказаних значеннях змінних

Маємо:

Вираз набуває тільки невід’ємних значень. Отже, при будь–яких значеннях змінних та є правильною нерівність .

Для  доведення  нерівностей  використовують  різні  прийоми. Наприклад, дану нерівність ми довели, виділивши квадрат  двочлена. [13]

Існує багато методів доведення нерівностей. У даній роботі розглянемо такі методи доведення нерівностей.

1. Доведення нерівностей з допомогою означення.
2. Доведення від супротивного.
3. Метод математичної індукції.
4. Метод зведення до очевидної нерівності
5. Метод використання класичної нерівності.

1.4.1 Доведення нерівностей за допомогою означення

Щоб довести, що нерівність (, де – деякі вирази, правильна для будь–яких значень змінних треба:

1) знайти різницю лівої  та правої частин нерівності:;

2) перетворити (спростити, виділити  повний квадрат тощо) різницю  так, щоб можна було визначити  її знак (<0, >0, =0);

3) скориставшись означенням, зробити висновок.

Приклад 1. Довести, що для всіх дійсних значень виконується нерівність .

Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності та виконаємо перетворення:

 <0.

Отже, для будь якого . Нерівність доведена.

Приклад 2. Довести нерівність .

Доведення. Розглянемо різницю між лівою і правою частинами нерівності і визначимо знак різниці:

, оскільки сума квадратів дійсних чисел додатна чи рівна нулю. Отже, . Нерівність доведена.

1.4.2 Доведення від супротивного

Суть цього методу полягає в наступному. Нехай необхідно довести нерівність , де – деякі вирази. Роблять припущення, що істинною є нерівність супротивного смислу, тобто існує принаймні одне значення змінної , що виконується нерівність . Виконуючи певні перетворення над останньою нерівністю, на певному етапі одержимо нерівність, хибність якої є очевидною, а значить хибною буде і нерівність . Отже, наше припущення було невірне. Нерівність є істинною.

Приклад 3. Довести, що для всіх дійсних виконується нерівність .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай існує дійсне, для якого . Тоді

() .

Ввівши позначення , останню нерівність подамо так: . Дістанемо . Для всіх дійсних , є хибним. Виконавши заміну , дістанемо . Очевидно, що остання нерівність є хибною, отже наше припущення, що хибне і твердження, яке пропонувалось довести, істинне. Отже, . Нерівність доведена.

1.4.3. Метод математичної індукції

Метод математичної індукції ґрунтується на використанні принципу математичної індукції, що формулюється так: Деяке твердження істинне для будь-якого натурального , якщо:

1. Воно істинне для .
2. З того, що істинне для (де - довільне натуральне число), випливає, що воно істинне для натурального числа .

Кожне доведення методом математичної індукції передбачає обов’язкових два етапи. На першому показуємо, що твердження істинне, на другому припускаємо, що істинне, потім доводимо, що з істинності слідує істинність .

Нерідко використовують узагальнений принцип математичної індукції. Якщо твердження , де , істинне для і з того, що воно істинне для числа , причому , випливає, що воно істинне для натурального числа , то твердження істинне для будь-якого значення , .

Описаний метод широко використовується для доведення нерівностей.

Приклад 4. Довести нерівність .

Доведення. Спочатку зазначимо, що нерівність вірна при ,

,  .

Припускаємо, що нерівність вірна для , . Доведемо, що вона вірна для , тобто .

Cправді, маємо:

.

Звідси, . Проте, при будь–якому натуральному значенні . Тоді .

Згідно принципу математичної індукції можна зробити висновок про те, що нерівність справедлива при всіх .

 Нерівність доведена. [11]

1.4.4. Метод зведення до очевидної нерівності

Часто можна довести нерівність, зводячи її за допомогою тотожних перетворень до очевидної, або відомої нерівності.

Існують два методи доведення нерівностей у такий спосіб.

1. Метод наслідків має вигляд .

- деяка нерівність, або система нерівностей, - відома, (або очевидна нерівність), - нерівність, яку треба довести. Цей метод називається синтетичним.

Правило-орієнтир пошуку доведення синтетичним методом за допомогою аналізу Евкліда можна задати так.

1. Припустити, що висновок (вимога) задачі на доведення правильний.
2. Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.
3. Переконатися, що отриманий висновок-наслідок є або очевидною, або встановленою раніше істиною.
4. Взявши отриманий істинний висновок за вихідний, проаналізувати твердження у зворотному напрямі та перейти до висновку про правильність твердження, яке доводять. [15]
2. Метод рівносильних перетворень має вигляд .

- нерівність, яку  треба довести, - деякі нерівності, або системи, - очевидна (або відома) нерівність. Цей метод називають аналітичним. [15]

Міркування виконуються від того, що потрібно довести. При цьому з припущення правильності того, що слід довести (основа), виводять наслідки, які приводять до очевидної правильної нерівності (наслідку). Проте цей аналіз не можна вважати доведеним, хоча ми дістали очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, , де - хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо правильну рівність . Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок – правильні взаємно обернені судження.

Поширеним видом очевидної нерівності є нерівність . Рівність досягається лише при .

Приклад 5. Довести нерівність для .

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність

.

, .

Що й треба було довести. Рівність досягається лише при .

1.4.5. Метод використання класичної нерівності

Під час навчання математики за програмою [17] учні повинні ознайомитися з такими класичними нерівностями, як: нерівність Коші, нерівність Коші-Буняковського, нерівність Чебишова та вміти застосовувати їх до доведення нерівностей. Але найчастіше для доведення нерівностей використовують нерівність Коші та нерівність про суму взаємно обернених чисел. З рештою класичних нерівностей учні можуть ознайомлюватись на факультативних заняттях.

Нерівність Коші 

, де .

Нерівність Коші–Буняковського

.

Нерівність Чебишова

.

Нерівність Бернуллі

, де .

Нерівність суми взаємно обернених величин

, при .

Приклад 6. Доведіть нерівність , якщо >0, b>0, c>0 і + b +c = 1.

Доведення

Застосуємо нерівність Коші для кожного доданка

, ;

, ;

, .

Знак рівності можливий лише тоді, коли 4 + 1 = 1, тобто, якщо = 0, а це суперечить умові.

Додаємо почленно отримані нерівності, маємо

, якщо  >0, b>0, c>0 і + b +c = 1.

Отже, , якщо >0, b>0, c>0 і + b +c = 1.

 

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

2. Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи

Відомо, що не існує загального способу доведення нерівностей, проте за умов середньої школи доцільно ознайомити учнів з деякими методами доведення нерівностей.

Метод доведення нерівностей за означенням (метод різниць).

Іноді виникає потреба довести, що дана нерівність зі змінними правильна при всіх вказаних значеннях змінних. Це можна зробити на основі означення понять більше і менше: А > В, якщо різниця А – В – число додатне і т. п.

Для кращого засвоєння учнями даного методу рекомендується при виконанні відповідних вправ неодноразово повторювати означення, виконати усні вправи на порівняння з нулем буквеного виразу та на повторення формул скороченого множення, зокрема квадрата двочлена, а також слід вимагати від учнів чітких і послідовних записів у зошитах та докладних коментарів при усних поясненнях.

Приклад 1. Довести нерівність .

Доведення. Оцінимо різницю між лівою і правою частинами нерівності:

.

Оскільки сума квадратів завжди число невід’ємне, то різниця між лівою та правою частинами невід’ємна. А отже, нерівність істинна. Слід зауважити, що рівність досягається, якщо .

Приклад 2. Довести, що .

Доведення. Розглянемо  різницю  лівої  і  правої  частин  нерівності:

. Об’єднаємо члени многочлена в такі групи, які мають спільний множник і винесемо цей спільний множник за дужки:

При ≥ обидва множники невід’ємні, тобто нерівність виконується, при < обидва множники від’ємні і нерівність теж виконується.