Контрольная работа по "Дискретная математика"

Задание 1. Для универсального множества U = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, множества A = {-1, 1, 4, 3} и для B, являющегося множеством корней уравнения

1. Найти множества

2. Выяснить, какая из четырех возможностей выполнена для множеств A и C:

3. Найти семейство всех подмножеств P(B) и его мощность |P(B)|.

Решим данное уравнение. Подбором найдем корень x₁ = -1:

Подбором найдем корень x₂ = -2:

По теореме Виета

Так как x₂ = x₄, то множество B состоит из 3 элементов:

2. Ни одна из возможностей не выполняется: множества A и C пересекаются, но не совпадают и ни одно из них не является подмножеством другого.

3. Семейство всех подмножеств  B:

Мощность семейства всех подмножеств  равна

Задание 2. Пусть A, B и C - множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям α, β и γ соответственно. Изобразите в системе координат xOy множество D, полученное из множеств A, B и C по формуле δ.

Данная симметрическая разность включает все точки, находящиеся  выше параболы, за исключением точек прямоугольника, находящихся вне параболы, а также все точки, находящиеся одновременно внутри прямоугольника и внутри параболы.

Задание 3

а) Аналитически доказать тождества.

Тождество неверное. Пусть x принадлежит одновременно множествам B и C, но не принадлежит A. Тогда оно не принадлежит разности B и C и, следовательно, не принадлежит объединению этой разности с множеством A, то есть не принадлежит левой части. Так как x принадлежит одновременно B и C, то оно принадлежит и объединению A с B, и объединению A с C, то есть принадлежит правой части. То есть x не принадлежит левой части равенства, но принадлежит правой. Таким образом, между левой и правой частями нет равенства.

б) Упростить выражения.

Задание 4. 1. Выяснить, каким из свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность обладает данное отношение Ф = (A, G), где A - область задания отношения, G - график отношения, причем .

2. Выяснить, что представляет  из себя отношение

3. Построить на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное. Изобразить его графом и аналитически.

A: множество студентов вашего вуза, G: xφy ↔ x, y учатся в одной группе.

1. Отношение рефлексивно: x учится в одной группе с самим собой.

Отношение не является антирефлексивным, так как оно рефлексивно.

Отношение симметрично: если x и y учатся в одной группе, то y и x учатся в одной группе.

Отношение не антисимметрично: если x и y учатся в одной группе, y и x учатся в одной группе, то это не означает, что x = y.

Отношение транзитивно: если x и y учатся в одной группе, y и z учатся в одной группе, то x и z учатся в одной группе.

2. : x и z учатся в одной группе.

: x учится в одной группе сам с собой.

3. Пусть множество состоит из 4 элементов x, y, z, t и отношению принадлежат пары

Данное отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, но не антирефлексивно и не антисимметрично.

 

 

 

 

 

 

Задание 5. Выяснить, является ли данное бинарное отношение отношением эквивалентности или отношением порядка. Для отношения эквивалентности определить разбиение множества на классы эквивалентности, для отношения порядка уточнить его вид и построить диаграмму упорядочения множества.

на множестве подмножеств множества

Отношение не рефлексивно: неравенство x < x невозможно.

Отношение не симметрично: если x < y, то неравенство y < x невозможно. Отношение транзитивно: если x < y, y < z, то x < z.

Данное отношение является отношением строгого порядка. Диаграмма упорядочения:

Задание 6. Дано множество M = {a, b, c, d}. Записать комбинации (не более 10) и вычислить их количество.

Размещения  элементов M по 3.

<a, b, c>, <a, b, d>, <b, a, c>, <a, d, b>, <a, c, d>, <b, d, a>, <b, d, c>, <c, a, d>, <b, c, a>, <d, c, b> и т.д.

Количество размещений n = 4 элементов по k = 3 равно

Задание 7. Решите задачу:

Бросают три игральные  кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут  упасть так, либо все оказавшиеся сверху грани одинаковы, либо все попарно различны?

Число способов выпадение трех костей одинаковыми гранями равно 6 (111, 222, 333, 444, 555, 666). Если все грани различны, то первая кость может выпасть  любой из 6 граней, вторая - любой  из 5 оставшихся граней, третья - любой из 4 оставшихся граней, т.е. число способов 6 * 5 * 4 = 120. Общее число способов 6 + 120 = 126.